1、 1 相似三角形中的动点问题相似三角形中的动点问题 1.（2008梅州）如图所示，E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的动点，EFDE 交 BC 于点 F （1）求证： ADEBEF； （2）设正方形的边长为 4，AE=x，BF=y当 x 取什么值时，y 有最大值？并求出这个最大 值 2.如图，点 O 是ABC的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点)，联结 AO 交 CB 的 延长线于点 D，联结 CO 交 AB 的延长线于点 E，联结 DE.求证：ODEOCA。 2 3 （2005重庆）在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6） 、点 B（8，0） ，动点 P 从点 A 开 始在线段 AO
2、 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动， 同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒 （1）求直线 AB 的解析式； （2）当 t 为何值时，以点 A、P、Q 为顶点的三角形与 AOB 相似？ （3）当 t=2 秒时，四边形 OPQB 的面积多少个平方单位？ 3 1 （2008青岛）已知：如图，在 Rt ACB 中，C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速 运动，速度为 2cm/s；连
3、接 PQ若设运动的时间为 t（s） （0t2） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQBC； （2）设 AQP 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 Rt ACB 的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在，说明理由； （4）如图，连接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一 时刻 t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由 4 （2009青岛）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=1
4、0cm，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速 运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE若设运动时间为 t（s） （0t5） 解答下列 问题： （1）当 t 为何值时，PEAB； （2）设 PEQ 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S PEQ=S BCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说 明理由； （4）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积 是否发生变化？说明理由 5 8（2007温州） 在 ABC 中， C=Rt，
5、AC=4cm， BC=5cm， 点 D 在 BC 上， 并且 CD=3cm， 现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动过点 P 作 PEBC 交 AD 于点 E， 连接 EQ，设动点运动时间为 x 秒 （1）用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度； （2）当点 Q 在 BD（不包括点 B、D）上移动时，设 EDQ 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当 x 为何值时， EDQ 为直角三角形？
6、6 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同 时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s， 当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时， EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t=1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围 （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由
7、7、如图，已知 A（8，0） ，B（0，6） ，两个动点 P、Q 同时在OAB 的边上按逆时针方向 （OABO）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度 为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位 （1）在前 3 秒内，求OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式； （2）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于OAB 一边的情况，并求平行时点 P、Q 的坐标 y x OA B 7 3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90o，ACBC，AB=10cm,BC=6cm，F 点 以 2cm秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动
8、，E 点同时以 1cm秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5) 1）求证：ACDBAC； 2）求：DC 的长； 3）试探究：BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值； 若不能，请说明理由 9、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处已知折叠 CE= 55 ，且 4 3 DA EA （1）判断 OCD 与ADE 是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标； （3） 是否存在过点 D 的直线 L， 使直线
9、L、 直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和CDE 相似？ 如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存 在，请说明理由 O x y C B E D 8 12、如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点 M 以 每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动过点 M 作直线 l AD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒） （1）当 t=0.5 时，求线段 QM
10、 的长； （2）当 0t2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； （3）当 t2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 CQRQ 是否为定值，若是，试求这个 定值；若不是，请说明理由 9 变式练习变式练习 1：如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以 每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动， 设运动时间为 x。 （1）当 x 为何值时，PQBC？（2）当 3 1 ABC BCQ S S ，求 ABC BPQ S S 的值； （
11、3） APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由。 变式练习变式练习 2： 如图， 已知直线l的函数表达式为 4 8 3 yx ， 且l与x轴，y轴分别交于A B， 两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点A移动，同时动点P 从A点开始在线段AO上以每秒1 个单位长度的速度向点O移动， 设点QP，移动的时间为t 秒 （1）求出点A B，的坐标； （2）当t为何值时，APQ与AOB相似？ （3）求出（2）中当APQ与AOB相似时，线段PQ所在直 线的函数表达式 O P A Q B y x 10 变式练习变式练习 1：如图，在梯形 ABCD 中
12、，ADBC，6cmAD，4cmCD， 10cmBCBD，点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交BD于 Q，连接 PE若设运动时间为t（s） （05t ） 解答下列问题： （1）当t为何值时，PEAB？ （2）设PEQ的面积为y（cm2） ，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使 2 25 PEQBCD SS ？ A E D Q P B F C 11 相似三角形的动点问题相似三角形的动点问题（二）（二） 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm点 E、F、G
13、分别从点 A、B、C 三点同 时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s， 当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第 t 秒时， EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t=1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围 （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由 12 2、如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从
14、 A、B 两点出发，分 别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ， （1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由； （2）设BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APR PRQ？ 13 3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，D=90o，ACBC，AB=10cm,BC=6cm，F 点 以 2cm秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同
15、时以 1cm秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5) 1）求证：ACDBAC； 2）求：DC 的长； 3）试探究：BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值； 若不能，请说明理由 14 4、 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， B=90， AD=6， BC=8， AB=33，点 M 是 BC 的中点点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后 立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位 长的速度在射线 MC 上匀速运动在点 P，Q 的运动过程中， 以 PQ 为边作等
16、边三角形 EPQ， 使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧 点 P， Q 同时出发， 当点 P 返回到点 M 时停止运动， 点 Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中， 写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围） ； （2）当 BP=1 时，求EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积； （3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时 刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若 不能，请说明理由 15
17、 5、如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个 单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出 发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平 分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t=2 时，AP= ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，
18、求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围 （3） 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中， 四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能， 求 t 的值 若 不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 16 6、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A、M、N 为顶点的三角形与ACD 相 似？若存在，求 t 的值
19、17 7、如图，已知 A（8，0） ，B（0，6） ，两个动点 P、Q 同时在OAB 的边上按逆时针方向 （OABO）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度 为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位 （1）在前 3 秒内，求OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式； （2）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于OAB 一边的情况，并求平行时点 P、Q 的坐标 y x OA B 18 8、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB，点 A、C 的坐标分 别为 A(-3,0)，C(1,0)， 4 3 AC BC , （1）
20、求过点 A、B 的直线的函数表达式； （2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB，使得ADB 与ABC 相似（不包括全等） ，并求点 D 的 坐标； （3）在（2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 AP=DQ=m，问 是否存在这样的 m 使得APQ 与ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说 明理由 A C O B x y 19 9、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处已知折叠 CE= 55 ，且 4 3 DA EA （1
21、）判断 OCD 与ADE 是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标； （3） 是否存在过点 D 的直线 L， 使直线 L、 直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和CDE 相似？ 如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存 在，请说明理由 O x y C B E D 20 10、 ABC 中， AB=AC=5，BC=6， 点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动， 点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于 点 D，交 BC 于点 E点 P，Q 分别从 B，C 两
22、点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q、 p 停止运动，设它们运动的时间为 x 1）当 x=2 秒时，射线 DE 经过点 C； 2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式； 3）当点 Q 运动时，是否存在以 P、Q、C 为顶点的三角形与PDE 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由 21 11、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=20cm，AD=40cm，D=120，点 P、Q 同 时从 C 点出发， 分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动， 当 Q 到达点 D， 点 P 也随之停止
23、运动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，CPQ 与ABP 相似； （2）设APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，写出自变量的取值 范围 22 12、如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点 M 以 每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动过点 M 作直线 l AD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q点 M 运动的时间为 t（秒） （1）当 t
24、=0.5 时，求线段 QM 的长； （2）当 0t2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值； （3）当 t2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R请探究 CQRQ 是否为定值，若是，试求这个 定值；若不是，请说明理由 23 13、如图 1，直角梯形 ABCD 中，A=B=90，AD=AB=6cm，BC=8cm，点 E 从点 A 出发沿 AD 方向以 1cm/s 的速度向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速 度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，AEF
25、 和ACD 相似？ （2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请 求出 t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时，AFE 的面积最大？最大值是多少？ 24 14、如图，在平面直角坐标系中四边形 OABC 是平行四边形直线 l 经过 O、C 两点点 A 的坐标为（8，0） ，点 B 的坐标为（11，4） ，动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个 单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 ABC 的方 向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x
26、轴，与折线 O 一 C-B 相交于点 M当 P、Q 两点中 有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（t0） MPQ 的面积为 S （1）点 C 的坐标为 ，直线 l 的解析式为 。 （2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围 （3）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交 于点 N试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值 25 相似三角形的动点问题相似三角形的动点问题（三）（三） 例例 1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，3AD
27、 ，5DC ，10BC ，梯形的高为4动 点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t（秒） （1）当MNAB时，求t的值； （2）试探究：t为何值时，MNC为直角三角形 变式练习变式练习 1：如图所示，在ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以 每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动， 设运动时间为 x。 （1）当 x 为何值时，PQBC？（2）当 3 1 ABC
28、BCQ S S ，求 ABC BPQ S S 的值； （3） APQ 能否与CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由。 D N CMB A 26 变式练习变式练习 2： 如图， 已知直线l的函数表达式为 4 8 3 yx ， 且l与x轴，y轴分别交于A B， 两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点A移动，同时动点P 从A点开始在线段AO上以每秒 1 个单位长度的速度向点O移动， 设 点QP，移动的时间为t秒 （1）求出点A B，的坐标； （2）当t为何值时，APQ与AOB相似？ （3）求出（2）中当APQ与AOB相似时，线段PQ所在直线的 函数表达式
29、 O P A Q B y x 27 变式练习变式练习 1：已知在 RtABC 中，ABC90，A30，点 P 在 AC 上，且MPN90 当点 P 为线段 AC 的中点，点 M、N 分别在线段 AB、BC 上时（如图 1） ，过点 P 作 PE AB 于点 E，PFBC 于点 F，可证 tPMEtPNF，得出 PN 3PM （不需证明） 当 PC 2PA，点 M、N 分别在线段 AB、BC 或其延长线上，如图 2、图 3 这两种情况 时，请写出线段 PN、PM 之间的数量关系，并任选取一给予证明 28 变式练习变式练习 2 2（备用） ：如图 1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC
30、和AFG摆放 在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为 2，若ABC固定不动，AFG 绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合), 设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围. （3）以ABC的斜边BC所在的直线为 x 轴，BC边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角 坐标系(如图 12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD 2 CE 2 =DE 2 . （4） 在
31、旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2 CE 2 =DE 2 是否始终成立,若成立,请证明,若不成 立,请说明理由. G y x 图 2 O F E D C B A G 图 1 F E D C B A 29 例例 3、如图，PMNRt中，90P，PMPN，8MN cm，矩形ABCD的长和 宽分别为 8cm 和 2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上令PMNRt不动， 矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒 1cm 的速度移动（如图） ，直到C点与N点重合 为止设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y 2 cm求y与x之间的函 数关系式 A B D P N C(M) 图 图 3
32、0 变式练习变式练习 1：如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，45A ，10cmAB， 4cmCD 等腰直角三角形PMN的斜边10cmMN ，A点与N点重合，MN和AB在 一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s 的 速度向右移动，直到点N与点B重合为止 （1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状 由 形变化为 形； （2） 设当等腰直角三角形PMN移动(s)x时， 等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重 叠部分的面积为 2 (cm )y，求y与x之间的函数关系式； （3）当4(s)x 时，求等腰直角三角形PMN与等
33、腰梯形ABCD重叠部分的面积 A （N） M P D C B A N M P D C B 31 变式练习变式练习 1：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，6cmAD，4cmCD， 10cmBCBD，点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交BD于 Q，连接 PE若设运动时间为t（s） （05t ） 解答下列问题： （1）当t为何值时，PEAB？ （2）设PEQ的面积为y（cm2） ，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使 2 25 PEQBCD SS ？ A E D Q P B
34、F C 32 变式练习变式练习 2：在 Rt ABC 中，C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直 平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在
35、点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值 A C B P Q E D 题 9 33 相似三角形动点相似三角形动点 4 一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1 （2014义乌市） 等边三角形 ABC 的边长为 6， 在 AC， BC 边上各取一点 E， F， 连接 AF， BE 相交于点 P （1）若 AE=CF； 求证：AF=BE，并
36、求APB 的度数； 若 AE=2，试求 APAF 的值； （2）若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长 2 （2014梅州）如图，在 Rt ABC 中，B=90，AC=60，AB=30D 是 AC 上的动点， 过 D 作 DFBC 于 F，过 F 作 FEAC，交 AB 于 E设 CD=x，DF=y （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）当四边形 AEFD 为菱形时，求 x 的值； （3）当 DEF 是直角三角形时，求 x 的值 34 3 （2012平和县模拟）已知：把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图甲摆放（点 C 与点 E 重合） ， 点
37、 B、C（E） 、F 在同一条直线上BAC=DEF=90，ABC=45，BC=9cm，DE=6cm， EF=8cm如图乙， DEF 从图甲的位置出发，以 1cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 匀速移动， 在 DEF 移动的同时，点 P 从 DEF 的顶点 F 出发，以 3cm/s 的速度沿 FD 向点 D 匀速移 动 当点 P 移动到点 D 时， P 点停止移动， DEF 也随之停止移动 DE 与 AC 相交于点 Q， 连接 BQ、PQ，设移动时间为 t（s） 解答下列问题： （1）设三角形 BQE 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取 值范围；
38、 （2）当 t 为何值时，三角形 DPQ 为等腰三角形？ （3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由 35 4 （2012绍兴模拟） 如图， 在 ABC 中， BAC=90， AC=3cm， AB=4cm， ADBC 于 D， 与 BD 等长的线段 EF 在边 BC 上沿 BC 方向以 1cm/s 的速度向终点 C 运动（运动前 EF 与 BD 重合） ，过 E，F 分别作 BC 的垂线交直角边于 P，Q 两点，设 EF 运动的时间为 x（s） （1）若 BEP 的面积为 ycm2，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变
39、量 x 的取值范围； （2）线段 EF 运动过程中，四边形 PEFQ 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时 x 的值； 若不可能，说明理由； （3）x 为何值时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？ 5 （2009甘南州）已知如图，ABCD 中，DBC=45，DEBC 于 E，BFCD 于 F，DE、 BF 相交于 H，BF、AD 的延长线相交于 G （1）求证：AB=BH； （2）若 GA=10，HE=2求 AB 的值 36 6 （2011卢湾区一模）如图，已知 ABC 与 BDE 都是等边三角形，点 D 在边 AC 上（不 与 A、C 重合） ，DE 与 AB 相交于点 F （
40、1）求证： BCDDAF； （2）若 BC=1，设 CD=x，AF=y； 求 y 关于 x 的函数解析式及定义域； 当 x 为何值时，？ 37 7 （2010包头）如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=a 厘米（a4） 动点 P、Q 同 时从 C 点出发，点 P 在线段 CB 上以 1 厘米/秒的速度由 C 点向 B 点运动，点 Q 在线段 CD 上以相同的速度由 C 点向 D 点运动， 过点 P 作直线垂直于 BC， 分别交 BQ、 AD 于点 E、 F， 当点 Q 到达终点 D 时，点 P 随之停止运动设运动时间为 t 秒（t0） （1）如图，若 a=5 厘米，在运动过程中，当
41、点 E 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上时，求 t 的值； （2）如图，若 a=6 厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得BFQ=90？若存 在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）若经过 t 秒后，恰好使矩形 ABPF 的面积与直角三角形 BCQ 的面积相等，求 a 的取值 范围 38 8 （2011萝岗区一模）在如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ADAB）中，将纸片折叠一 次， 使点 A 与 C 重合， 再展开， 折痕 EF 交 AD 边于 E， 交 BC 边于 F， 分别连接 AF 和 CE （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）过 E 作 EPAD
42、交 AC 于 P，求证：2AE2=ACAP； （3）若 AE=8cm， ABF 的面积为 9cm2，求 ABF 的周长 9 （2011庐阳区校级自主招生）如图，射线 AM 平行于射线 BN，ABBN，且 AB=3，C 是射线 BN 上的一个动点，连接 AC，作 CDAC，且 CD= AC，过 C 作 CEBN 交 AD 于点 E，设 BC 长为 t （1）AC 长为 ， ACD 的面积为 （用含有 t 的代数式表示） ； （2）求点 D 到射线 BN 的距离（用含有 t 的代数式表示） ； （3） 是否存在点 C， 使 ACE 为等腰三角形？若存在， 请求出此时 BC 的长度； 若不存在， 请
43、说明理由 39 10 （2012长春模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=6，点 M 在对角线 AC 上，AM= AC，过点 M 作 EFAB，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，求 ED 的长 11 （2013株洲）已知在 ABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4点 Q 是线段 AC 上的一 个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P （1）当点 P 在线段 AB 上时，求证： AQPABC； （2）当 PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长 40 12 （2013巴中） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 过点 A
44、 作 AEBC， 垂足为 E， 连接 DE， F 为线段 DE 上一点，且AFE=B （1）求证： ADFDEC； （2）若 AB=8，AD=6，AF=4，求 AE 的长 13 （2011聊城）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=8cm点 E、F、G 分别从点 A、 B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的 速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动设移动开 始后第 t 秒时， EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t=1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间
45、的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围； （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由 41 14 （2013阜宁县二模）如图，菱形 ABCD 的边长为 20cm，ABC=120动点 P、Q 同时 从点 A 出发，其中 P 以 4cm/s 的速度，沿 ABC 的路线向点 C 运动；Q 以 2cm/s 的速 度，沿 AC 的路线向点 C 运动当 P、Q 到达终点 C 时，整个运动随之结束，设运动时间 为 t 秒 （1）在点 P、Q 运动过程中，请判断 PQ 与对角线 AC 的位置关系，并说明理由； （2）若点 Q 关于菱形 ABCD 的对角线交点 O 的对称点为 M，过点 P 且垂直于 AB 的直线 l 交菱形 ABCD 的边 AD（或 CD）于点 N 当 t 为何值时，点 P、M、N 在一直线上？ 当点 P、M、N 不在一直线上时，是否存在这样的 t，使得 PMN 是以 PN 为一直角边的 直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由
