1、第7章 弯 曲u7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念u7.2 梁的内力与弯矩图梁的内力与弯矩图u7.3 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力u7.4 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算u7.5 梁的刚度概念梁的刚度概念u7.6 提高梁弯曲强度和刚度的措施提高梁弯曲强度和刚度的措施u思考与练习题思考与练习题7.1.1 弯曲的概念在工程中常遇到发生弯曲变形的构件，如车辆的车轴(如图7-1所示)、桥式起重机的主梁(如图7-2所示)等。这类构件受力与变形的主要特点是：在构件轴截面内承受力偶作用，或受垂直于轴线方向的外力作用，将使构件的轴线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的构件，通称
2、为梁。7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念图7-1 车轴图7-2 桥式起重机的主梁7.1.2 平面弯曲平面弯曲在工程实际中常见的梁，它们的横截面一般都具有一个对称轴，如图7-3(a)所示。通过梁的轴线和横截面对称轴的平面称为纵向对称面，即xy平面，如图7-3(b)所示。如果梁上的载荷与支座反力均作用于纵向对称面内，则梁变形后的轴线是一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。本章只研究平面弯曲问题。梁在平面弯曲时，按照支座对梁的约束情况，可将梁简化为如下三种典型形式：(1)简支梁。梁的一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座，是可自由弯曲的梁(如图7-2(b)所示)。(2)外伸梁。简支梁的一端或两端伸
3、出支座以外的梁(如图7-1(b)所示)。(3)悬臂梁。一端固定，另一端自由的梁。作用于梁上的载荷，可以简化成三种类型：集中力F作用于构件上一点的载荷，其单位是N(牛)或 kN(千牛)；力偶矩M由于力的平移而出现的转动作用，其单位是Nm(牛米)或N mm(牛毫米)；均布载荷q作用于构件上一定长度的力，q称为载荷集度，其单位是N/m(牛/米)或 kN/m(千牛/米)。图7-3 梁的对称轴和对称面7.2.1 梁的内力弯矩和剪力在确定了梁上的载荷与反力以后，为了计算梁的强度与刚度，还要进一步研究梁上各截面上的内力。内力分析与计算的方法仍用截面法。设一简支梁受集中力F作用，如图7-4(a)所示。先利用梁
4、的平衡方程求出其支座反力为7.2 梁的内力与弯矩图梁的内力与弯矩图 图7-4 简支梁受力为了求某一截面上的内力，可假想用一截面mn将梁分为左、右两段。左段梁在外力FA作用下，有向上移动的趋势，欲保持其平衡，横截面上必有一个与FA平行且方向向下的内力FQ作用。同时，在FA与FQ作用下，左段梁有沿顺时针方向转动的趋势，因此，横截面上必然作用着逆时针转向的内力偶矩M与之平衡，如图7-4(b)所示。这个使梁横截面发生错动的内力FQ称为剪力；使梁轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩。所以，左右两段梁的相互作用，可以用剪力FQ与弯矩M表示。lFaFlFbFBA,梁弯曲时横截面上的内力，一般包含剪力和弯矩这两个
5、内力分量。虽然两者都影响梁的强度，但对于跨度与截面高度之比较大的非薄壁截面梁(l/h5)，剪力的影响是很小的，一般均略去不计，仅对弯矩进行计算。由平衡方程得弯矩xlFbxFMxFMMAAC0,0 如取右段梁来分析，同样用平衡方程也可以求得该截面上的弯矩，即根据作用与反作用的关系，虽然取左段(或右段)梁为研究对象，分别求出的同一截面的弯矩值相等，但是其转向相反。为了使从左右两段梁上求得同一截面上的弯矩符号一致，可根据梁的变形情况，对弯矩的符号进行如下规定：以某一截面为界，使某段梁弯曲呈凹面向上的变形时，该截面上的弯矩为正，反之为负(如图7-5所示)。)()(0)()(,0 xaFxllFaMMx
6、aFslFMBC图7-5 弯矩符号的规定通过式(1)、(2)可以总结出计算弯矩的规则：某截面上弯矩的大小等于此截面以左(或右)所有外力对该截面形心力矩的代数和。截面左侧外力对截面形心之矩顺时针转向为正，逆时针转向为负；截面右侧外力对截面形心之矩逆时针转向为正，顺时针转向为负。因此，可以概括为“左顺右逆，弯矩为正，反之为负”。这样，在实际计算中就可以不必截取研究对象通过平衡方程去求弯矩了，而可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力来求截面上的弯矩。例例7-1 一受均布载荷的悬臂梁，如图7-6(a)所示。试求x截面上的弯矩。解解(1)求支座反力。取AB梁为研究对象，由平衡条件求得021,00,00,0
7、2qlMMqlFqlFFFFAAAyyAyxAx221qlMA (2)求弯矩。按照弯矩计算规则，以截面左侧外力可直接求得 (3)若取x截面以右为研究对象，如图7-6(c)所示，按弯矩计算规则求得2222)(21212121xlqqlqxqlxMqxFMAAy2)(21xlqM图7-6 悬臂梁7.2.2 弯矩图弯矩图梁横截面上的弯矩一般是随着截面位置改变而变化的。为了描述其变化规律，用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的弯矩表示为坐标x的函数，即MM(x)这个函数表达式称为弯矩方程，其图线称为弯矩图。弯矩图可以清楚表示弯矩随截面位置的变化规律。其绘制方法如下：以平行于梁轴线的坐标x表
8、示横截面的位置，以垂直于梁轴线的坐标M表示相应横截面上的弯矩，根据弯矩方程画出对应的函数图线。例例7-2 如图7-7(a)所示简支梁AB，在梁的全长受均布载荷q的作用，试画出梁的弯矩图。解解(1)求支座反力。全梁受均布载荷作用，其合力为ql，作用在梁的中点，由此得(2)列弯矩方程。计算距左端(A为坐标原点)x处横截面弯矩：qlFFBA21lxqxqlxxqxxFxMA021212)(2图7-7 简支梁 (3)弯矩图。由弯矩方程知弯矩图为二次抛物线，在x0和xl处(即梁的AB端面上)，M0，当x在0和l之间时，M为正值。为求M的最大值，可令dM/dx0，即得21021xqxql即在梁的中点弯矩M
9、值最大，其值为 由这三点的弯矩值可画出弯矩图，如图7-7(b)所示。2max812qllMM例例7-3 如图7-8(a)所示为一长度为l的简支梁，在C点处受集中力F作用，试画该梁的弯矩图。解解(1)求梁的支座反力。FlaFFlbFBA图7-8 简支梁受力F作用时的弯矩图(2)列弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力F，故应将梁分为AC和CB两段，分段列弯矩方程，并分段画弯矩图。对于AC段，以A点为原点，并用x1表示横截面的位置，则弯矩方程为对于CB段，为计算方便，选B点为原点，用坐标x2表示横截面的位置，CB段的弯矩方程为axFxlbxFMA11110bxFxlaxFMB22220 (3)画弯矩
10、图。由式(1)可知，在AC段内弯矩M是x的一次函数，弯矩图为斜直线，已知直线上的两点即可确定这条直线，因x0处M0，xa处MFab/l，故连接这两点就得到AC段内的弯矩图(如图7-8(b)所示)，同理，由式(2)可作出CB段内的弯矩图(仍为斜线)。由图可见，C截面上弯矩最大，其值为lFabMmax 例例7-4 如图7-9(a)所示为一简支梁，在C点处受到矩为MC的集中力偶作用，试画该梁的弯矩图。解解(1)求支座反力。lMFMlMFMCBACAB,0,0图7-9 简支梁受力偶作用时的弯矩图(2)列弯矩方程。由于在截面C处作用有集中力偶，应分别列出AC与CB两段上的弯矩方程，并均以A点为坐标原点，
11、则有lxaMxlMMCBaxxlMMABCCC段段0(3)画弯矩图。根据上述弯矩方程作弯矩图(如图7-9(b)所示)。若a b，则最大弯矩为lbMMCmax一般情况下，梁在发生弯曲变形时，其横截面上既有弯矩又有剪力。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，则所产生的弯曲称为纯弯曲。如图7-10所示的梁，在CD段内各截面上剪力都等于零，而弯矩MFa，为常量，所以该段梁的弯曲为纯弯曲。图中在AC和DB两段内，梁的各截面上既有剪力又有弯矩。这种弯曲称为剪切弯曲。7.3 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力图7-10 纯弯曲示例7.3.1 正应力的分布规律正应力的分布规律一矩形截面梁，在梁的侧面画上平行于轴线和垂
12、直于轴线的直线，形成许多正方形的网格(如图7-11(a)所示)。然后在梁的两端施加一对力偶(力偶矩为M)，使之产生纯弯曲变形。梁的变形如图7-11(b)所示。从弯曲变形后的梁上可以看到：各纵向线弯曲成彼此平行的圆弧，内凹一侧的原纵向线缩短，而外凸一侧的原纵向线伸长。各横向线仍为直线，只是相对转了一个角度，但仍与纵向线垂直。图7-11 纯弯曲实验根据上述现象，可作如下假设：梁的横截面在变形后仍为平面，并垂直于变形后梁的轴线。即横截面只是绕着截面内的某一轴转过一个角度。横截面间没有相对错动。设想梁是由无数条纵向纤维所组成，各纵向纤维产生伸长或缩短，靠近凹面的纤维缩短，靠近凸面的纤维伸长。故知梁横截
13、面上只产生正应力。由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(如图7-12所示)。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力和压应力，中性轴上各点的应力为零。经分析可知，中性轴必然通过横截面的形心。图7-12 中性层和中性轴由平面假设可知，纯弯曲变形时梁横截面上只有正应力而无切应力。由图7-13可以看出，梁的横截面在变形前后保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的，即纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变与各点到中性轴的距离y成正比，中
14、性轴等远处各点的正应力相等，正应力的分布如图7-14所示。图7-13 纯弯曲时的变形在中性轴(y0处)上各点的正应力为零，在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处(yymax)，产生最大的正应力为max，根据正应力的分布规律(如图7-14所示)可得或maxmaxyyyymaxmax图7-14 弯曲时的正应力分布7.3.2 最大正应力的计算公式最大正应力的计算公式横截面上的弯矩M，是截面上各部分内力对中性轴z力矩之和。在图7-15中任意微面积dA上的微内力为dA，它对中性轴z轴的力矩为dAy，于是横截面上的弯矩M为将代入上式，则有AAyMd yymaxmaxAyyAyy
15、MAAdd2maxmax2maxmax图7-15 弯曲时正应力的计算分析式中的是一个仅与截面的形状和尺寸有关的几何量，称为横截面对中性轴z的轴惯性矩，其单位为m4或cm4。现令，则横截面上最大弯曲正应力为(7-1)式中:M为欲求应力点所在横截面上的弯矩，ymax为横截面上最远点到中性轴的距离。AAy d2AzAyId2zIMymaxmax式(7-1)可以改写为(7-2)式中(7-3)Wz称为横截面对于中性轴z的抗弯截面模量，其值与横截面的形状和尺寸有关，它是衡量截面抗弯能力的一个几何量。即对于某一横截面，其Wz值越大，在给定的最大正应力下梁能够抵抗的弯矩M也越大。由精确的分析证明，纯弯曲条件下
16、得到的式(7-1)、式(7-2)和式(73)对于剪切弯曲的梁也能适用。maxmaxyIWWMzzz7.3.3 截面的轴惯性矩截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量和抗弯截面模量Wz构件的承载能力与截面的几何性质有密切的关系。例如在拉伸与压缩的应力与变形计算中，要用到横截面面积A；在扭转的应力与变形计算中，要用到横截面对圆心的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP：弯曲应力计算中要用到截面的轴惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz等几何量。为了便于计算时查用，将常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量列于表7-1中。表7-1 常用梁截面的轴惯性矩和抗弯截面模量等截面梁弯曲时，最大正应力发生在最大弯矩所在截面上，这一截面称为危
17、险截面。在危险截面上、下边缘处的正应力最大，这些点首先发生破坏，故称为危险点。必须首先保证这些危险点的安全。由于横截面上、下边缘各点处于单向拉伸或压缩状态，因此，应按弯曲正应力建立梁的强度条件：最大弯曲正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即7.4 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算(7-4)各种材料许用弯曲应力的数值，可从有关规范中查得。应该指出，式(7-4)只适用于抗拉和抗压强度相等的材料。对于铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高于抗拉强度，其相应强度条件为 zWMmaxmax(7-5a)(7-5b)式中:、分别为梁的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。应用强度条件，可以进行三方面的强
18、度计算，即校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许可载荷。maxmaxmaxmax例例7-5 如图7-16(a)所示的车轴，已知a310 mm，l1440 mm，F15.15 kN，100 MPa，若车轴的横截面为圆环形，外径D100 mm，内径d80 mm，试校核车轴的强度。解解(1)求支座反力。由于梁所受载荷左、右对称，所以支座反力FAFBF15.15 kN图7-16 主轴 (2)画梁的弯矩图。如图7-16(c)所示，最大弯矩发生在CD段，其大小为 MmaxFAa15.151033104696.5103 N mm(3)校核梁的强度。危险截面的抗弯截面模量为334343mm10581008
19、0132100)1(32aDWz由梁的弯曲强度条件则车轴的最大正应力为所以车轴的强度足够。MPa811058105.469633maxmaxzWM zWMmaxmax例例7-6 如图7-17(a)所示螺旋压板装置，已知a50 mm，压板的许用弯曲应力140 MPa，试计算压板给工件的最大允许压紧力F。(1)压板的受力分析。将压板简化为外伸梁，受力如图7-17(b)所示。(2)画压板的弯矩图，如图7-17(c)所示。最大弯矩发生在B截面上，其值为 MmaxFa图7-17 螺旋压板装置解 (3)确定许可载荷。B截面的抗弯截面模量Wz为根据压板的强度条件，可得3333maxmm1007.110122
20、014122030yIWzz zWMmaxmax故有压板给工件的最大压紧力不得超过2996 N，其方向与F相反。zWMmax N2996501007.11403aWFaWFazz梁在载荷作用下，除应满足强度条件以防止发生破坏外，还应满足刚度条件，即弹性变形不得超过一定的限度，以保证机器和结构的正常工作。设梁AB在xAy平面内受载荷F作用发生弯曲变形(如图7-18所示)，梁轴线则由原来的直线变成一条连续的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线。由图可见，梁的各横截面将在该平面内同时发生线位移和角位移。7.5 梁的刚度概念梁的刚度概念图7-18 挠度和转角梁上任一横截面的形心在垂直于原来梁轴线方向的位移，
21、称为梁在该截面的挠度，以y表示。同时横截面绕其中性轴转过一个角度，称为该截面的转角，以表示。挠度y和转角是量度梁弯曲变形的两个基本量。梁的挠度和转角一般是随着截面的位置而变化的。在工程上，根据工作要求，常对挠度和转角加以限制而进行梁的刚度计算，梁的刚度条件为ymaxy(7-6)max(7-7)式中:ymax为梁的最大挠度，单位为 mm；max为梁横截面的最大转角，单位为rad；y为梁的许用挠度，单位为 mm；为梁横截面的许用转角，单位为rad。许用挠度和许用转角的数值可由有关规范中查得。常用的几种梁的最大挠度和最大转角的计算公式可由表7-2查得。因此，利用式(7-6)和式(7-7)就可以对梁进
22、行刚度计算。表表7-2 梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度表表7-2 梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续续)表表7-2 梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续续)表表7-2 梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度梁在简单载荷作用下端截面的转角和最大挠度(续续)从梁的弯曲正应力公式 Mmax/Wz可知，梁的最大弯曲正应力与梁上最大弯矩 Mmax成正比，与抗弯截面系数Wz成反比；在计算梁的挠度和转角时可以发现梁的变形与梁的跨度l的高次方成正比，与梁的抗弯刚
23、度EIz成反比。依据它们之间的关系，可以采用以下措施提高梁的强度和刚度，从而在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少材料的消耗。7.6 提高梁弯曲强度和刚度的措施提高梁弯曲强度和刚度的措施1.合理安排梁的支承合理安排梁的支承在梁的尺寸和截面形状已经设定的条件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大弯矩的作用，同时也可缩小梁的跨度，从而提高了梁的强度和刚度。以如图7-19(a)所示均布载荷作用下的简支梁为例，若将两端支座各向内移动0.2l(如图7-19(b)所示)，梁上的最大弯矩只有原来的1/5，同时梁上的最大挠度和最大转角也变小了。图7-19 均布载荷作用下的简支梁2.合理布置载荷合理布置载荷当梁
24、上的载荷大小一定时，合理布置载荷，可以减少梁上的最大弯矩，提高梁的强度和刚度。以简支梁承受集中力F为例(如图7-20(a)所示)，集中力F的布置形式和位置不同，梁的最大弯矩明显减少。传动轴上齿轮靠近轴承安装(如图7-20(b)所示)；运输大型设备的多轮板车(如图7-20(c)所示)；吊车增加副梁(如图7-20(d)所示)，均可为简支梁上合理布置载荷，提高抗弯能力的实例。图7-20 分布3.选择梁的合理截面选择梁的合理截面梁的合理截面应该使用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数。从梁横截面正应力的分布情况来看，应该尽可能将材料放在离中性轴较远的地方。因此工程上许多受弯曲构件都采用工字形、槽形、箱
25、形等截面形状。各种型材，如型钢、空心钢管的广泛应用就是这个道理。7-1 具有对称截面的直梁发生平面弯曲的条件是什么？7-2 弯矩的正、负号是如何规定的？它与坐标的选择有没有关系？与静力学中的力偶符号规定有何区别？7-3 若矩形截面的高度或宽度分别增加一倍，则横截面的抗弯截面模量各增加几倍？思考与练习题思考与练习题7-4 应用截面法计算横截面上的弯矩，其弯矩等于()。A.梁上所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和B.该截面一侧(左侧或右侧)梁上所有外力对任意点力矩的代数和C.该截面一侧(左侧或右侧)梁上所有外力对截面形心力矩的代数和D.该截面一侧(左侧或右侧)梁上所有外力对支座力矩的代数和
26、。7-5 如图7-21所示，求指定截面上的弯矩M(各截面无限趋近集中载荷作用处或支座)。图7-217-6 如图7-22所示，试列各梁的弯矩方程，作弯矩图，并求|M|max。7-7 一矩形截面如图7-23所示，试计算截面上A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。7-8 如图7-24所示，一根外径D25 mm，内径d20 mm，长l1m的钢管作为简支梁。钢的许用应力200 MPa，不计自重，梁的中点受到力F700 N作用，试校核钢管的强度。图7-22图7-237-9 如图7-25所示，空气泵的操作杆，右端受力为8.5 kN，和均为矩形截面，其高宽比均为h/b3，材料的许用应力50 MPa，试确定两截面的尺寸。7-10 四轮货车的载荷为40 kN，每一轮承受的载荷均相等，如图7-26所示。材料的许用应力60 MPa，车轴的直径d75 mm。试校核此车轴的强度。图7-24图7-25图7-26
