1、12aa数与之间相差多少？12|eaaAxb 的解为向量两个向量之间相差多少怎么来表示呢？12 xxx即向量 的大小怎么来刻画呢？向量的范数向量范数如果向量 的某个实值函数 满足下列条件：N()xxRnx则称 是 上的一个向量范数.N()xRn称为范数称为1范数称为2范数称为p范数向量范数在 上的向量 ，三种常用的范数：T12(,)nxx xxnR解：例2：求全1向量 的各种范数.T1,1,1ne解：11 11 en2222111e1en向量范数例1：计算向量 的各种范数.T1,2,3x11niixx612221niixx141max ii nxx3范数的连续性定理1向量范数 nstR设两种向
2、量范数和是上任意,定理2向量范数的等价性向量范数12 RstsnC xCxxx12,.ntC xxCxxR 故sxx就证明：仅证明，1212,0,0.ntxC CCCxRxx 即证 常数，使,0,.ntf xxxR考虑泛函1,nSx xxRS记，则 是一个有界闭集 21,.f xSf xSC C在 上连续于 上达到最大 最小值0,nxxRxSx设,，则12xCfCx那么12,txCCx即8以(3)为例证明，221 maxii nxx 事实上，2221 niixx又21,(3)xxn故得证1(1)xxn x1211(2)xxxn221(3)xxxn向量范数例3：2221niixx2211maxn
3、ii nixnx 向量范数()*lim ,(1,2,)kiikxxin如果()*li m kk记为xx()()()()*1212(,),(,)kkkknnxxxx xx xx其中()*.kxx称序列按坐标收敛于向量 称()*knnxx RR设为中一向量序列，定理3*lim xx的充分必要条件是对任意一种范数，kk*lim0 xx有kk向量范数充分性证明:由向量范数等价性知道，只要对一种范数来证明，*0.设当时，kkxx()*1 max0 即kiii nxx()*()*1 max1,2,kkjjiii nxxxxjn()*01,2,当k时，有kjjxxjn*lim xx即kk则对任一种范数都成立
4、，为此取 来证明.向量范数必要性*lim xx设kk由向量序列的收敛性定义可知()*1,2,当时，kiikxxin()*1 max0 从而kiii nxx定理3*lim xx的充分必要条件是对任意一种范数，kk*lim0 xx有kk*0 即 kxxk注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任 何一种范数意义下研究。小结向量范数定理：Rn上的任意两个向量范数等价.范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性矩阵范数如果ARnn的某个非负实值函数 满足：N()AA0,0AAA0且(1)正定性：,;AA(2)正齐性：对任意实数 ,+;n nA BRA BAB有(3)三角不等式：对任意
5、 .ABA B(4)乘法不等式：A则称 为n阶矩阵A的范数。16验证：算子范数满足矩阵范数的4条公理及相容性条件.0AAmaxvvxvxx由定义可得,vvvAxAx1max()vvvxABABx显然，算子范数满足定义1中的条件（1）（2）现验证满足条件（3）（4）1maxvvxvABABx11maxmaxvvvvxxAxBxvvAB1maxvvvvxvABxAB矩阵范数例1：证明 不是矩阵的算子范数.FAFIn反例：单位矩阵的F范数为n 1Ixx而 FIn说明 不是矩阵的算子范数.FA矩阵范数11(1)=maxni ji njAa 证明：证12,00Tnxx xxA不妨设，0111 max,m
6、axnniiji jji njtxaa 令111|maxmaxnnijjijji nijjAxa xax 则1max，nijijta即|,0,.|nAxxRxx 有11(1)=maxni ji njAa 证明：证000|0.|Axxx下面说明 向量，使得|,0,.|nAxxRxx 有11maxnijji naA 从而。0012(,),(),1,2,Tnji jxx xxxsign ajn取其中，0|1x显然，000011|nni jji jjjAxia xa且的第 个分量为，0011|max|nnijji jijjAxa xa即,111(2)=maxni jj niAa：证明证11|,0,.|
7、nAxxRxx 有12,00Tnxx xxA设，01111=maxnni jijj niiAaa 11|,niitxx令11|(|)nnjijjixa11|nnijjjia x111|nnijjijAxa x 则1|,x即111(2)=maxni jj niAa：证明证11|,0,.|nAxxRxx 有111maxni jj niaA 从而。01001|0.|Axxx下面说明 向量，使得000,jxej取即单位矩阵的第 列，01|1x显然，0011|nijiAxa且，max()TA A22|0,TTnAxx A AxxR 由于max2(3)=TAA A明：证证120TnA A从而的特征值为非负
8、实数，设为12,nu uu对应的正交规范特征向量为.Tijiju u且,0,nxRx 1 niiixcu设，2222|TTTAxx A Axxx x21121niiniicc11,xu另一方面，取则上式等式成立，2202|max|xAxAx故1称为范数范数或或行范数行范数称为1 1范数范数或或列范数列范数称为2 2范数范数(其中max(ATA)表示ATA的最大特征值)称为F范数范数矩阵范数例2：计算A的各种范数.解：矩阵范数=1+4+9+16=30令即故最大的特征值为所以1 215221，解得max15221计算2-范数矩阵范数定理 上的任意两种矩阵范数都是等价的.n nRnnR 即对 上的任
9、意两种矩阵范数stAA和 存在常数 ，使得12,0C C 12stsCAACA矩阵范数的等价性例如21FFAAAn矩阵范数Ax：设是的任一特征值，为对应的证明特征向量，|Ax.Axx则|.A故|xAx|xAiiu：设 是 的任意特征值，为对应的证明特征向量，2iiu2max2TAA AiiAuiiA uTiiA AuAAu则21maxi ni 21maxi ni 2AA 2A证明：用反证法，0det()0()0.IBIB xx若，则有非零解00,Bxx 即00|1,|Bxx|1.B 故1()()IB IBI又由11()()IBIB IB有，11|()|()|IBIBIB则，11|()|.1|IBB故小结范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性和一般性矩阵范数定理：上的任意两个矩阵范数等价.n nR模Question:Question:极限的存在性？极限的存在性？极限点在原空间Cauchy列KeyKey：把不在原空间的“极限点”补充进去空间完备化空间完备化作业2：1.课堂小结2.课后作业第1119题
