1、第第3 3章章 动态电路时域分析动态电路时域分析3.1电感元件和电容元件电感元件和电容元件3.2动态电路方程及其解动态电路方程及其解3.3一阶动态电路的零输入响应、一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应零状态响应和全响应3.4阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应*3.5二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应3.6正弦激励下一阶电路的响应正弦激励下一阶电路的响应3.7小结小结3.1 电感元件和电容元件电感元件和电容元件 4.1.1 电感元件电感元件用良金属导线绕在骨架上就构成一个实际的电感器，常称为电感线圈，如图3.1-1所示。当电流i(t)通过电感线圈时，将激发磁场产生磁通(t)与线圈
2、交链，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链，记为(t)。若线圈密绕，且有N匝，则磁链(t)=N(t)。应用磁链与电流的关系(习惯上称为韦安关系)来定义电感元件。图 3.1-1 电感线圈 一个二端元件，如果在任意时刻t，其磁链(t)与电流i(t)之间的关系能用i平面上的韦安关系曲线描述，就称该二端元件为电感元件，简称电感。若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图3.1-2(a)所示，则称该元件为线性时不变电感，其理想电感电路模型符号如图3.1-2(b)所示。本书主要讨论线性时不变电感元件。图 3.1-2 线性时不变电感元件的韦安关系及电路模型 设电感元件的磁链(t)与电流i(t
3、)的参考方向符合右手螺旋定则，由图4.1-2(a)可知，磁链与电流的关系满足(t)=Li(t)上式称为电感元件的韦安关系式。式中L称为电感元件的电感量。在国际单位制中，磁通和磁链的单位都是韦伯(Wb)，简称韦；电感量的单位是亨利(H)，简称亨；电感量的常用单位还有毫亨(mH)和微亨(H)。通常，电路图中的符号L既表示电感元件，也表示元件参数电感量。(4.1-1)设电感元件的电流i、电压u与感应电动势e的参考方向如图3.1-1所示，且电流i与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，则根据电磁感应定律和式(3.1-1)，其感应电动势为 ttiLttted)(dd)(d)(3.1-2)而感应电压 ttiLt
4、ttetud)(dd)(d)()(3.1-3)该式称为电感元件VCR的微分形式。对式(3.1-3)从-到t进行积分，并设i(-)=0，可得电感元件VCR的积分形式 d)(1)(tuLti(3.1-4)设t=0为观察时刻，记t=0的前一瞬间为0,可将式(3.1-4)改写为 d)(1_)0(d)(1d)(1)(_0_0_0ttuLiuLuLtit0(3.1-5)式中，i(0-)是t=0时刻电感元件的电流，称为电感起始电流。在电流、电压参考方向关联时，电感元件吸收的功率为 ttitLititutpd)(d)()()()(3.1-6)对上式从到t进行积分并约定i()=0，求得电感元件的储能)(21)(
5、d)(dd)(d)(d)()(2)()(tLiiiLiiLptwtiittL(3.1-7)综上所述，对于电感元件有以下重要结论：(1)电感元件上的电压、电流关系是微积分关系，因此，电感元件是动态元件。而电阻元件的电压、电流关系是代数关系，它是瞬时元件。(2)由VCR的分形式可知：任意时刻的电感电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压为有限值时，其di(t)/dt也为有限值，相应电流必定是时间t的连续函数，此时电感电流不能跃变；当电感电流为直流时，则恒有u=0,即电感对直流相当于短路。(3)由VCR的积分形式可知：任意时刻的电感电流i(t)均与t时刻电压及该时刻以前电压的“全部历史”有关。式(
6、3.1-5)中，初始电流i(0-)体现了t=0以前电感电压的全部作用效果，积分项则反映了t=0-以后电压的作用效果。因此，电感电流具有“记忆”电压的作用，电感元件是一种记忆元件。与此不同，电阻元件的电流仅取决于该时刻的电压，是无记忆的元件。d)(1_0tuL (4)式(3.1-7)表明，对于任一电流i(t)，恒有L(t)0，即电感元件是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量形式储存于自身的磁场中。(5)如图3.1-3所示，若电感上的电压、电流参考方向非关联，则式(3.13)、(3.1-4)、(3.1-5)应改写为 d)(1_)0()(d)()(d)(d)(_0ttuLitiuLtitti
7、Ltu图 3.1-3 电感上电压电流参考方向非关联 例例 3.1-3.1-1图3.1-4(a)所示电感元件，已知电感量L=2H,电感电流i(t)的波形如图3.1-4(b)所示。求电感元件的电压u(t)、吸收功率p(t)和储能L(t)，并画出它们的波形。解解 写出电流i(t)的数学表达式为 0A5.05.1A)(ttti其余stsst3110电流、电压参考方向关联，由电感元件VCR的微分形式，得 0V1V2d)(d)(ttiLtus其余stsst31100W5.15.0W2)()()(tttitutp其余stsst3110将i(t)、u(t)表达式代入式(3.1-6)，得 将i(t)表达式代入式
8、(3.1-7),求得 0J)5.05.1(J)(21)(222tttLitwL其余stsst3110画出u(t)、p(t)和L(t)的波形如图3.1-4中(c)、(d)、(e)所示。由波形图可见，电感电流i和储能L都是t的连续函数，其值不会跳变，但电感电压u和功率p是可以跳变的。在图(d)中，p(t)0期间，表示电感吸收功率，储藏能量；p(t)0期间，表示电感供出功率，释放能量；两部分面积相等，表明电感元件不消耗功率，只与外电路进行能量交换。图 3.1-4 例 3.1-1 用图 3.1.2 3.1.2 电容元件电容元件电容器是最常用的电能储存器件。在两片金属极板中间填充电介质，就构成一个简单的
9、实际电容器，如图.1-5所示。接通电源后，会在两个极板上聚集起等量的异性电荷，从而在极板之间建立电场，电场中储存有电场能量。此时，即使移去电源，由于极板上电荷被介质隔离而不能中和，故将继续保留，电场也继续存在。因此，电容器具有储存电场能量的作用。应用电荷与电压的关系(习惯上称为库伏关系)，来定义电容元件。图 3.1-5 电容器元件在电容上电压参考极性与带正、负电荷的极板相对应时，由图.1-6(a)可知，电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足 q(t)=Cu(t)(3.1-8)图 3.1-6 线性时不变电容元件的库伏关系及电路模型 上式称为电容的库伏关系式。式中C称为电容元件的电容量，单位为
10、法拉(F)，简称法。1法=106微法(F)=1012皮法(pF)。通常，电路图中的符号C既表示电容元件，也表示元件参数电容量。在电路分析中，一般关心的是电容元件上的电压、电流关系和储能。若设电容电压、电流参考方向关联，则有 ttuCttqtid)(dd)(d)(3.1-9)对上式从到t进行积分，并设u()=0,可得 tiCtud)(1)(.1-10)式(3.1-9)和(3.1-10)分别为电容元件VCR的微分形式和积分形式。设t=0为观察时刻，并记t=0的前一瞬间为0，式(3.1-10)可改写为 d)(1_)0(d)(1d)(1)(_0_0_0ttiCuiCiCtu(3.1-11)式中 _0d
11、)(1_)0(iCu(3.1-12)是t=0-时刻电容元件上的电压，称为电容起始电压。在电压、电流参考方向关联的条件下，电容元件的吸收功率和储能分别为)(21)(21)(21)()(d)(d)(d)()(222)()(tCuCutCuduCuuCuptwtuuttC(3.1-13)dttdutCutitutp)()()()()(3.1-14)对于电容元件，我们有以下重要结论：(1)与电感元件一样，电容元件也是一种动态元件。(2)电容VCR的微分形式表明：任意时刻，通过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流i为有限值时，其du/dt也为有限值，相应电压必定是时间t的连续函数，此时电
12、容电压是不会跃变的；当电容电压为直流电压时，则电流i=0，即电容对于直流而言相当于开路。(3)电容VCR的积分形式表明：任意时刻，电容电压u(t)均与t时刻电流及该时刻以前电流的“全部历史”有关。或者说，电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容元件是记忆元件。(4)由式(3.1-14)可知，电容元件也是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量形式储存于自身的电场中。(5)如图3.1-7所示，若电容电压、电流的参考方向非关联，则式(3.1-9)、(3.1-10)、(3.1-11)应改写为 d)(1_)0()(d)(1)(d)(d)(_0ttiCutuiCtuttuCti图 3.1-7 电容上电
13、压电流参考方向非关联 例例 3.1-2 电路如图3.1-8所示，已知iC(t)=e-2tA(t0),uC(0)=2 V，求t0时的电压u(t)。V)e1012()1(e102de05.012d)(1_)0()(22_02_0ttttCCCiCutu解解 首先，根据电容元件VCR的积分形式，求得 由欧姆定律，计算电阻电流：A)e56(2e1012)()(22ttCRRtuti然后，应用KCL，求得电感电流为 A)e46(e)e56()()()(222tttCRLtititi依据电感元件VCR的微分形式，计算电感电压：Ve8e1d)(d)(22ttLLttiLti最后，应用KVL，得到电压为 V)
14、e212()e1012(e8)()()(222tttCLtututu图.1-8 例 3.1-2 用图 3.1.3 电感元件和电容元件的串并联等效电感元件和电容元件的串并联等效图4.1-9(a)是n个电感相串联的电路，流经各电感的电流是同一电流i。根据电感元件VCR的微分形式，第k(k=1,2,n)个电感的端电压为 tiLukkddk=1,2,n(3.1-15)由KVL，得端口电压 tiLtiLLLuuuunndddd)(2121(3.1-16)图 3.1-9 电感串联 图3.1-10(a)是n个电感相并联的电路，各电感的端电压为同一电压u。根据电感VCR的积分形式，有 d)(1tkkuLi k
15、=1,2,n(3.1-19)由KCL,得端口电流 d)(1d)(1112121ttnnuLuLLLiiii(3.1-20)式中 nkknLLLLL12111111(3.1-21)L称为n个电感并联的等效电感。由式(3.1-20)画出其等效电路如图3.1-10(b)所示。由式(3.1-20)或者等效电感VCR的积分形式可得 Liutd)(将上式代入式(3.1-19),得各电感电流与端口电流的关系为 iLLikki=1,2,n(3.1-22)图 3.1-10 电感并联 图3.1-11(a)是n个电容相串联的电路，流经各电容的电流为同一电流i。根据电容VCR的积分形式，有 d)(1iCutkkk=1
16、,2,n(3.1-23)应用KVL,经推导可求得n个电容相串联的等效电容C，其倒数表示式为 nkknCCCCC12111111(3.1-24)相应等效电路如图3.1-11(b)所示。图 3.1-11 电容串联 再将等效电容VCR的积分形式写成 Cuitd)(代入式(3.1-23)，求得各电容电压与端口电压的关系为 uCCukkk=1,2,n(3.1-25)图3.1-12(a)是n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同一电压u。根据电容VCR的微分形式，有 tuCikkddk=1,2,n(3.1-26)应用KCL，经推导可求得n个电容并联的等效电容C为 nkknCCCCC121(3.1-27)相
17、应等效电路如图3.1-12(b)所示。再将等效电容VCR的微分形式写成 iCtu1dd并代入式(3.1-26),求得各电容电流与端口电流的关系为 iCCikkk=1,2,n(3.1-28)3.2 动态电路方程及其解动态电路方程及其解 图 4.2 1 RC串联电路 如图3.2-1所示的RC串联电路，t0时开关S闭合，我们讨论t0时电容上的电压uC(t)。通常，电路中开关的接通、断开或元件参数、电源数值的突然变化，这些现象的发生统称为发生了“换路”。对于发生换路的动态电路，我们更关注换路后电路中响应随时间t的变化情况。图 3.2-1 RC串联电路)()()(tututusCRdtduRCRiudt
18、duCiCRC,sCCuRCuRCdtdu11由于 将它们代入上式，并稍加整理，得（3.2-1）对回路A列KVL方程，有图 3.2 2 RL并联电路)()()(tititisLRdtdiLuRuCiLLL,sLLiLRiLRdtdi 图3.2-2所示RL并联电路，以电感电流iL(t)作为电路的响应，根据KCL,有 由于 将它们代入上式，整理后可得（3.2-2）图 3.2 3 RLC串联电路 图3.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得)()()()(tutututusCRL由于 22dddd,dd,ddtuLCtiLutuRCRiutuCiCLCRCsC
19、CCuLCuLCdtduLRdtud1122 一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。将它们代入上式，经整理得 3.2.2 动态电路方程解动态电路方程解 1.初始值的计算动态电路的初始值即是动态电路在发生换路后瞬间响应的各阶导数值。若发生换路的时刻记为t0，常取t00。0+表示换路后瞬间，0表示换路前瞬间。设电路响应为y(t)(或电流响应或电压响应)，电路初始值即指y(0+)、y(0+)、，一阶动态电路有意义的初始值就只有y(0+)一个，二阶电路的初始值有y(0+)、y(0+)两个，依此类推，n阶电路的初始值应有n个。由(3.1-5)式和(3.
20、1-11)式可分别写得t0+时刻电感电流和电容电压为0000d)(1)0()0(d)(1)0()0(tLLLCCCuLiiiCuu（3.2-4）)0()0()0()0(LLCCiiuu图 3.2 4 例3.2-1用图 例3.2-1 如图3.2-4(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S打开，求初始值uC(0+)、i1(0+)、iC(0+)和u2(0+)。解 (1)计算独立初始值uC(0+)。先计算uC(0)。由于开关打开前电路处于直流稳态，由前述结论知，在t0时刻视电容为开路，所以V68626)0(s212URRRuCV6)0()0(CCuu(2)画t0+时刻的等效电路如图3.2-4(b)所示(
21、注意电容C用6 V电压源替代)。V6.36466)0()0(A6.0466)0()0(0)0(3222321CCCuRRRuRRuii(3)计算欲求的各非独立初始值。由图3.2-4(b)电阻电路可知图 4.2 5 例4.2-2用图 例3.2-2 如图3.2-5(a)所示电路，t0时,开关S处于位置1,且电路已达稳态。在t0时,开关S切换至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。图 3.2-5 例3.2-2用图解 本问题中要求的初始值都是非独立初始值，但也必须先求独立初始值。若原题中电容上无电压参考方向、电感上无电流参考方向，解题者应先设上参考方向，再按求初始值的三个步骤求解下
22、去。设uC、iL参考方向如图3.2-5(a)中所标。V12)0()0(4)0()0(CCLLuuAii所以由换路定律，得(1)计算独立初始值uC(0+)、iL(0+)。由于t0时电路已达直流稳态，所以t0时电容视为开路，电感视为短路，如图3.2-5(b)所示。应用电阻并联分流公式及欧姆定律分别计算，得V1243_)0(3_)0(A410322_)0(LCLiuiV04312)0(3)0()0(A7)34()0(A34124)0()0(LCLCCRiuuiui (2)画t0+时的等效电路如图3.2-5(c)所示(注意C用12 V电压源替代，L用4 A电流源替代)。(3)计算非独立初始值。由欧姆定
23、律、KCL、KVL分别求得各非独立初始值为2.微分方程经典解法如图3.2-6所示电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时电容电压uC(t)，电流iC(t)(设图中UsU0)。为了概念上更清晰，采用定性讨论与定量分析相结合求解。图 3.2-6 一阶RC电路1)定性分析t0，开关S合于a，U0电压源给电容C充电。由题意知电路已达稳定，即是说给C充满了电，t0时电压uC()U0，电容上电荷q(0)CU0，电流iC(0)0。t0+，开关S合于b，Us电源接着再对电容C充电(因UsU0)。再看几个特定时刻：(1)t=0+,由换路定律知 (2)t,电容上电荷在原有的基础上增多，即q(t)，电容电
24、压随之升高，即uC(t)，电流 (3)t=,Us又给电容C充满了电。此时q()=CUs，uC()=Us，iC()=0，显然电容C上电压最终上升到Us，电流最终下降至0。2)定量分析换路后的电路如图3.2-7所示。由图中所设出的各电压、电流参考方向，应用各元件上的VCR和KVL，列写出的方程为(3.2-5)图 3.2-7 t0+时Us对C充电电路(uC(0+)=U0)定性讨论中已求得解(3.2-5)式所需要的初始条件：uC(0+)=U0由数学知识写(3.2-5)式对应的特征方程解得特征根 于是(3.2-5)式的解为(3.2-6)数学中知道：微分方程的特解具有与激励源相同的函数形式。因激励源Us是
25、常数电源，所以设特解uCp(t)也为未知常数K。将uCp(t)K代入(3.2-5)式，有由(3.2-9)式、(3.2-10)式或图3.2-8(a)、(b)所示的波形图均能明确回答我们：uC(t)随时间按指数规律上升且从最初的U0值最终上升至Us；iC(t)随时间上升按指数规律下降且从最初的(UsU0)R值最终下降至0。图 3.2-8 图3.2-7所示电路中电容电压电流波形图为讨论问题方便我们重写(3.2-9)式(3.2-11)式中：()部分对应数学解的齐次解，函数形式为取决于电路元件(R、C)固有参数的指数函数形式，称这部分为电路的固有响应，又因为这部分响应函数形式相对所加激励的函数形式是自由
26、的，所以也称它为自由响应;()部分对应数学解的特解，函数形式受限于电路激励源的函数形式，称这部分为电路的强迫响应，或理解为这部分响应是电路在激励源的“强迫”下所作出的响应。理论上讲当t时暂态过程才结束，而实际工程中，当t(35)时就近似认为暂态过程已结束，达到了稳定状态。结合上例，若t3、5时再改写(3.2-9)式(3.2-12)观察(3.2-12)式可以看出：()部分只与U0有关,即只与电路的初始状态有关，与激励源Us无关，称为零输入响应；()部分只与激励源Us有关，与电路初始状态无关，称为零状态响应。3.直流电源作用一阶动态电路的三要素法 对于一般的直流电源作用的一阶RC或一阶RL动态电路
27、，均可从动态元件两端作戴维宁定理等效或诺顿定理等效，如图3.2-9(a)、(b)所示。图3.2-9(a)中R0、Uoc分别为N1网络的戴维宁等效内阻与开路电压，图3.2-9(b)中R0与Isc分别为N2网络的诺顿等效内阻与短路电流。图 3.2-9 一阶RC、RL电路等效对图3.2-9(a)、(b)分别应用KVL、KCL列写方程(3.2-13)(3.2-14)将(3.2-13)式、(3.2-14)式与(3.2-5)式对照比较，可以看出它们具有相同的方程结构形式。为了方程的求解更具有一般性，抽去它们各自具体元件参数的物理意义，概括为更数学化的一般方程形式。若电路响应、激励分别用y(t)、f(t)表
28、示，于是方程为(3.2-15)例3.2-3 图3.2-10(a)所示电路已处于稳态，t=0时开关S由a切换至b，求t0时电压u(t)，并画出u(t)的波形。图 3.2-10 例3.2-3用图解 应用三要素法求解。(1)求初始值u(0+)。由题意知t0时处于直流稳态，可将电感L视为短路，所以由换路定律知(2)求稳态值u()。开关S由a切换至b且当t时，电路又达到新的直流稳态，此时视电感为短路，画这时的等效电路如图3.2-10(c)所示。显然(3)求时间常数。对换路后电路，求从电感L两端看的戴维宁等效电源内阻R0，显然R0=2+8+10=20 (本问题求R0电路太简单省略未画出)利用三要素公式，得
29、由函数表达式画波形图如图3.2-10(d)所示。例3.2-4 如图3.2-11(a)所示动态电路已处于稳态，t0时开关S闭合，求t0时的电流i(t)。图 3.2-11 例3.2-4用图解 应用三要素法求解。(1)求初始值i(0+)。由题意知t0时电路处于直流稳态，视电容为开路，所以由电阻串联分压关系，算得画t=0+时的等效电路如图3.2-11(b)所示。列节点方程为解得所以(2)求稳态值i()。t=时电路又达新的直流稳态，视电容C为开路,如图3.2-11(c)所示。再列节点方程为解得故得(3)求时间常数。对换路后的电路，画从电容C两端看的求戴维宁等效电源内阻的电路如图3.2-11(d)所示。应
30、用电阻串并联等效，求得R0=404020+10=20 所以=R0C=200.01=0.2 s利用三要素公式，得3.3 一阶电路的零输入响应、一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应零状态响应和全响应1.一阶RC电路的零输入响应 图3.3-1(a)所示一阶RC电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时的电压uC(t)和电流iC(t)。图 3.3-1 一阶RC电路的零输入响应例t0+时由换路定律知：电容C放电完毕，C上原来储藏的能量在放电过程中被电阻消耗完。由上述定性分析可得出这样的结论：开关S由a切换至b以后电压uC(t)随时间t增长而下降，从开始的Us下降到零；电流iC(t)随时间t增
31、长而上升，从最初的Us/R(负值)上升至零。但要问uC(t)、iC(t)分别以什么规律随时间t的增长而变化？这就要由定量分析的结果来回答。定量分析：对本问题，三要素法求解的结果即是定量分析的结果，不需要列写方程求解。以后再求解这类问题时也不必如本例这样经定性、定量分析过程求解，直接用三要素法求解即可。时间常数=RC，结合定性分析中得到uC(t)、iC(t)的初始值和稳态值，分别利用三要素公式，得依据uC(t)、iC(t)的函数表达式画二者的波形图如图3.3-1(c)所示。由图可见，换路后随时间t增长电压uC(t)按指数规律下降，最终下降至零;电流iC(t)按指数规律上升，最终上升至零。2.一阶
32、RL电路的零输入响应如图3.3-2(a)所示一阶RL电路已处于稳态，t=0时开关S由a切换至b，求t0时的电流iL(t)和电压uL(t)。图 3.3-2 一阶RL电路的零输入响应例3.3.2 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应1.一阶RC电路的零状态响应如图3.3-3(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时的电压uC(t)和电流i(t)。图 3.3-3 一阶RC电路的零状态响应例观察图3.3-3(a)所示电路，开关S与a相接时是电容放电电路，t=0时处于稳态意味着电容C放电完毕，即q(0)=0，uC(0)=0，wC(0)=0，电路初始储能为零，或称为电路处于零状态。开
33、关S由a切换至b时(t0+)是电压源Us给电容C充电电路(参看图3.3-3(b)，由换路定律知当t时电路达到直流稳态(Us给C充满了电)，视电容C为开路，所以时间常数分别利用三要素公式，得由uC(t)、i(t)函数表达式画二者的波形如图3.3-3(c)所示。当然，这里的uC(t)、i(t)虽未加下脚标“f”,但它们是零状态响应。2.一阶RL电路的零状态响应 如图3.3-4(a)所示一阶RL电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时的iL(t)、uL(t)、iR(t)。图 3.3-4 一阶RL电路的零状态响应例观察图3.3-4(a)所示电路，t0时开关S与a相接为电感L释放能量电路，t0
34、时电路处于稳态即是说L上能量释放完，wL(0)=0,iL(0)0，电路初始能量为零，或称电路处于零状态。开关S由a切换至b时(t0+)为电流源Is给电感L储能的电路(参看图3.3-4(b)。由换路定律知：在t=0+时iL(0+)=iL(0)=0时间常数分别利用三要素公式，得由iL(t)、iR(t)、uL(t)函数表达式分别画它们的波形图如图3.3-4(c)、(d)所示。本问题也可以按这样的思路求解：先用三要素法求出电感电流iL(t)，然后应用KCL求得iR(t)，再应用KVL求得uL(t)。3.3.3 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 由动态元件上的初始储能和t0时外加输入(激励)共同作用所产
35、生的响应，称为电路的全响应。其实，在例3.2-3和例3.2-4中所求的响应就是电路的全响应。对于这类线性动态电路，我们也可以分别单独求出零输入响应、零状态响应。如果需要，再将二者相加得到全响应。如果不局限于某具体的电路、某具体的电压或电流响应，用y(t)表示全响应；用yh(t)、yp(t)分别表示自由响应、强迫响应；用yr(t)、ys(t)分别表示暂态响应、稳态响应；用yx(t)、yf(t)分别表示零输入响应、零状态响应。我们可将全响应归纳为如下三种分解形式：(3.3-1)式和(3.3-2)式是从函数形式随时间t的变化规律看，对全响应作分解的。而(3.3-3)式是就产生响应的原因对全响应作分解
36、的，这种分解形式因果关系明确，物理概念清晰，是现代电路理论学习、研究中使用最多的一种全响应分解形式。例3.3-1 如图3.3-5(a)所示电路已处于稳态，t=0时开关S由a切换至b，求t0+时的电压 u(t)的零输入响应ux(t)、零状态响应uf(t)及全响应u(t)，并画出它们的波形图。图 3.3-5 例3.3-1用图解 设电流iL的参考方向如图3.3-5(a)中所标。由题意知t=0时电路已处于直流稳态，L相当于短路，所以应用电阻并联分流公式，得由换路定律知(1)计算零输入响应ux(t)。当t0+时，令输入为零(将12 V电压源短路)的电路如图3.3-5(b)所示。3个要素显然容易求得，分别
37、为利用三要素公式，得再应用电阻并联等效及欧姆定律，算得例3.3-2 如图3.3-6(a)所示为含受控源的电路已处于稳态，t=0时开关S由b切换至a，求t0时的电压uC(t)和电流i(t)，并画出波形图。解 本例为含有受控源的一阶动态电路，一般在用三要素法求解之前先要将电路中含受控源部分用戴维宁定理等效，如图3.3-6(b)所示电路，由KVL得(2+6)i+4i=12解得i=1 A故开路电压为uoc=6i+4i=10i=10 V将图3.3-6(b)中a、d端短接并设短路电流isc如图3.3-6(c)电路所示，由于i=122=6 A,所以等效电阻画出图3.3-6(a)所示电路的等效电路,如图3.3
38、-6(d)所示。图 3.3-6 例3.3-2用图(1)应用三要素法求uC(t)。由图3.3-6(d)所示电路分别求得uC(0+)=uC(0)=6 VuC()=10 V=R0C=10.1=0.1 s利用三要素公式，得(2)回到图3.3-6(a)求电流i(t)。应用KVL求得电流画uC、i的波形如图3.3-7(a)、(b)所示。图 3.3-7 例3.3-2电路中uC、i的波形图例3.3-3 如图3.3-8(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S闭合，求t0时的电压u(t)。解 设iL、uC、u1、u2的参考方向如图3.3-8(a)中所标。由题意知图3.3-8(a)所示电路在t0时刻处于直流稳态，将L
39、看做短路，将C视为开路，所以容易求得iL(0)=0，uC(0)=1(6+4)=10 V对求t0+时的u1、u2，应用对短路线压缩、伸长变形等效将图3.3-8(a)等效为图3.3-8(b)；再依据替代定理将图3.3-8(b)分别等效为图3.3-8(c)(对求u1等效)、(d)(对求u2等效)。图 3.3-8 例3.3-3用图 3.4 阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应3.4.1 阶跃函数阶跃函数单位阶跃函数用(t)表示，其定义为(3.4-1)式中，符号 。(t)波形如图3.4-1所示。它在t0时恒为0，t0+时恒为1。t=0时则由0阶跃到1，这是一个跃变过程，其函数值不定。从数学上看，t=0为
40、第一类间断点，函数间断点处左极限值为0，右极限值为1。图 3.4-1 单位阶跃函数(t)乘以常数A，所得结果A(t)称为阶跃函数，其表达式为(3.4-2)波形如图3.4-2(a)所示，其中阶跃幅度A称为阶跃量。阶跃函数在时间上延迟t0，称为延迟阶跃函数，波形如图3.4-2(b)所示，它在t=t0处出现阶跃，数学上可表示为(3.4-3)图 3.4-2 阶跃函数阶跃函数的应用之一是描述某些情况下的开关动作。例如在图3.4-3(a)中，阶跃电压Us(t)表示电压源Us在t=0时接入二端电路N。类似地，图3.4-3(b)中的阶跃电流Is(tt0)表示电流源Is在t=t0时接入二端电路N。可见，单位阶跃
41、函数可以作为开关动作的数学模型，因此(t)也常称为开关函数。图 3.4-3 用(t)表示开关动作阶跃函数的另一个重要应用是以简洁的形式表示某些信号。如图3.4-4(a)所示矩形脉冲信号，可以看成是图3.4-4(b)、(c)所示两个延迟阶跃信号的叠加，即f(t)=f1(t)f2(t)=A(tt1)A(tt2)=A(tt1)(tt2)图 3.4-4 用(t)表示矩形脉冲信号依据上例叠加单位阶跃函数移位加权代数和的思想，用阶跃函数还可以简洁表示“台阶式”或称“楼梯式”的更为复杂的信号，如图3.4-5(a)、(b)中的f1(t)、f2(t)，不必画叠加过程图即可写出用(t)简洁表示的形式，即f1(t)
42、=(t1)+(t2)2(t3)f2(t)=(t+1)2(t)+3(t1)(t3)图 3.4-5 用(t)表示“台阶式”信号以上两式是如何快速写出的呢？有什么规律没有？有。其规律是：从时间轴负无穷向正方向“走”，若遇t=t1处是突跳点(第一类间断点)且向上跳，此处就出现正阶跃函数，跳的高度就是正阶跃函数的权系数；若遇t=t2处是向下跳的突跳点，此处就出现负阶跃函数，下跳的高度就是负阶跃函数的权系数。上两式就是按此规律快速写出的。读者可以画出代数和叠加过程图来验证其正确性。此外，还可用(t)表示任意函数的作用区间。设给定信号f(t)如图3.4-6(a)所示，如果要求f(t)在t=0开始作用，那么可
43、以将f(t)乘以(t)，如图3.4-6(b)所示。如果要求f(t)在区间(t1，t2)上的信号起作用，那么只需将f(t)乘以(tt1)(tt2)即可，如图3.4-6(c)所示。图 3.4-6 用(t)表示信号的作用区间3.4.2 阶跃响应阶跃响应电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应定义为单位阶跃响应，简称为阶跃响应，以符号g(t)表示。用数学式描述这一定义可表示为 g(t)=yf(t)|f(t)=(t)(3.4-4)单位阶跃函数(t)作用于电路相当于单位直流源(1 V或1 A)在t=0时接入电路，因此对于一阶电路，阶跃响应g(t)仍可用三要素法求解。若用下列符号表示激励与零状态响应之间的关
44、系：f(t)yf(t)则时不变性质可表示为f(tt0)yf(tt0)(3.4-5)即若激励f(t)延迟了t0时间，则零状态响应也延迟了t0时间，图3.4-7更直观地表明了时不变电路的这一特征。图 3.4-7 电路的时不变性质在线性时不变动态电路中，零状态响应与激励之间的关系满足齐次、叠加和时不变性质。若单位阶跃函数(t)激励下的零状态响应(即单位阶跃响应)是g(t)，则在阶跃函数A(t)激励下的零状态响应是Ag(t)；在延迟阶跃函数A(tt0)激励下的零状态响应是Ag(tt0)。在和阶跃A(t)+B(t)函数激励下的零状态响应Ag(t)+Bg(t)。上述文字叙述线性时不变电路的齐次、时不变、叠
45、加三性质可以用图3.4-8简明表示。图 3.4-8 齐次、时不变、叠加三性质简图表示例3.4-1 如图3.4-9(a)所示的一阶电路，已知R1=6，R2=4，C=0.02 F。(1)若以is(t)为输入，以uC(t)为输出，求阶跃响应g(t)；(2)若激励电流源is的波形如图3.4-9(b)所示，求零状态响应uCf(t)。图 3.4-9 例3.4-1用图解 (1)用三要素法求g(t)。令is(t)=(t)A，并考虑零状态条件及阶跃响应定义，因零状态(uC(0+)=uC(0)=0)，t=0+时C视为短路，所以g(0+)=g(0)=0又t=时C视为开路，所以g()=16=6 V时间常数=(R1+R
46、2)C=(6+4)0.02=0.2 s利用三要素公式，得 (2)将信号分解，即is(t)=2(t)2(t2)，由齐次性、时不变性及叠加性，显然 uCf(t)=2g(t)2g(t2)=12(1e5t)(t)121e5(t2)(t2)V例3.4-2 如图3.4-10(a)所示电路，已知R1=6，R2=4，L=1.2 H。(1)以us为激励(输入)，以i为响应(输出)，求该电路的阶跃响应g(t)；(2)若us为如图3.4-10(b)所示的波形，求零状态响应if(t)。图 3.4-10 例3.4-2用图解 (1)用三要素法求g(t)。令us(t)=(t)V，并考虑零状态条件及阶跃响应定义，因零状态，t
47、=0+时L视为开路，所以又t=时L视为短路，所以时间常数利用三要素公式，得(2)将信号分解，即us(t)=20(t1)20(t2),由齐次性、时不变性及叠加性，显然 3.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应如图3.5-1所示的RLC串联电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时的电压uC。以电容电压uC作为电路响应，列写该电路t0时的方程。根据KVL，有uR+uL+uC=0图 3.5-1 RLC串联二阶电路由于将它们代入KVL方程，整理得(3.5-1)根据题目条件知：t=0时电路处于直流稳态，视L为短路，电容为开路，所以 uC(0)=U0 i(0)=0由换路定律可知uC(0+)
48、=uC(0)=U0i(0+)=i(0)=0将设定的、0参数代入(3.5-1)式并加注上确定的初始条件，有(3.5-2)从图3.5-1电路看，对于t0+时电路中无任何输入，所以响应为零输入响应。从(3.5-2)式看，它是二阶常系数齐次微分方程，响应一定是与齐次解的函数形式相同。不管几阶的动态电路，其电路的零输入响应函数形式与微分方程齐次解的函数形式相同，这是带有共性的结论。(3.5-2)式的特征方程为2+2+20=0其特征根为(3.5-3)特征根1，2仅与电路结构和元件参数有关，而与激励和初始储能无关，通常称为电路的固有频率，其值可能为实数或复数。当R、L、C取不同值时，电路的固有频率及相应的零
49、输入响应存在3种不同情况，下面将分别讨论。在讨论之前先给出二阶电路齐次解的各种形式，如表3.5-1所示，以供在讨论各种情况的零输入响应时对照选用。3.5.1 0(R24L/C)，过阻尼情况过阻尼情况此时,固有频率1，2为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根(3.5-4)由表3.5-1得(3.5-2)式的解为式中A1、A2为积分常数。将初始条件代入上式，得(3.5-6)由(3.5-6)式解得将A1、A2代入(3.5-5)式，得(3.5-7)由电容上的电流、电压微分关系，得(3.5-)由(3.5-7)式、(3.5-8)式画得uC(t)、i(t)的波形如图3.5-2所示。图 3.5-2 过阻尼时
50、uC(t)和i(t)的波形在ttm时，电感储能达到最大。在这期间，电容释放的能量，一部分被电阻R所消耗，另一部分转换成磁场能量存储于电感中。当ttm时，uC(t)下降趋缓，回路放电电流绝对值减小，这期间电容、电感均释放能量供电阻消耗，直到t,放电过程结束，uC()0，i()0，原储存于动态元件上的能量在整个放电过程中被电阻R消耗尽。放电电流绝对值达到最大的时刻tm可用求函数极值的方法确定。令di/dt=0，经整理有解得3.5.2 =0(R2=4L/C)，临界阻尼情况临界阻尼情况此时，固有频率1和2为相等的负实数，即1=2=查表3.5-1，可知此种情况uC的通解为uC(t)=(A1+A2t)et
