1、微专题隐形圆在解题中的应用微专题隐形圆在解题中的应用模型一模型一 定点定长作圆定点定长作圆已知平面内一定点已知平面内一定点A和一动点和一动点B，若，若AB长度固定，则动点长度固定，则动点B的轨迹是的轨迹是以以A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆长为半径的圆(如图如图)(依据：圆的定义，圆是平面内所依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合有到定点的距离等于定长的点的集合)推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆定点定长作圆”模型确定动模型确定动点的运动轨迹点的运动轨迹模 型 分 析模 型 分 析模 型 应 用模 型 应 用1.如图，
2、已知如图，已知ABC，将，将ABC绕点绕点B逆时针旋转逆时针旋转90得到得到ABC，请你在图中画出点请你在图中画出点A的运动轨迹的运动轨迹第1题图解：点解：点A的运动轨迹如解图所示的运动轨迹如解图所示第1题解图2.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E是边是边AB的中点，点的中点，点F是边是边AD上一动点，上一动点，将将AEF沿沿EF所在直线折叠得到所在直线折叠得到AEF，请你在图中画出点，请你在图中画出点A的运的运动轨迹动轨迹第2题图解：点解：点A的运动轨迹如解图所示的运动轨迹如解图所示第2题解图3.如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为的中点为O，
3、AB6米，米，BC2米，若梯子米，若梯子B端沿地面向右滑行端沿地面向右滑行1米，请在图中画出点米，请在图中画出点O的运动的运动轨迹轨迹第3题图解：解：O为直角三角形为直角三角形ACB斜边上的中点，斜边斜边上的中点，斜边AB6米，米，CO AB3米，米，12点点O的运动轨迹如解图的运动轨迹如解图第2题解图模型二定弦对定角模型二定弦对定角模型引入：模型引入：ABC中，中，AB的长度为定值的长度为定值(定弦定弦)，顶点，顶点C为动点为动点(定弦的定弦的同一侧同一侧)，且，且C的度数为定值的度数为定值(定角定角)，我们把这样的模型根据其特征，我们把这样的模型根据其特征称为定弦对定角模型称为定弦对定角模
4、型模 型 分 析模 型 分 析模型探究：如图，模型探究：如图，C为线段为线段AB外一动点，连接外一动点，连接AC，BC，且，且ACB为为定值，则点定值，则点C的运动轨迹可分三种情况：的运动轨迹可分三种情况：(1)如图如图，当，当ACB90时，点时，点C的轨迹为优弧的轨迹为优弧 (不包含不包含A、B两点两点)；图ACBACB AOB12(2)如图如图，当，当ACB90时，点时，点C的轨迹为以的轨迹为以AB为直径的为直径的O(不包不包含含A、B两点两点)；(3)如图如图，当，当ACB90时，点时，点C的运动轨迹为劣弧的运动轨迹为劣弧 (不包含不包含A、B两点两点)图图ACB弦弦AB为直径为直径AO
5、BACB18012推广：在几何图形最值题中，常通过定弦对定角模型来找动点的运动推广：在几何图形最值题中，常通过定弦对定角模型来找动点的运动轨迹，解题时作出辅助圆是关键，然后结合求点圆、线圆最值等方法轨迹，解题时作出辅助圆是关键，然后结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算进行相关计算模 型 应 用模 型 应 用4.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，动点中，动点E，F分别从分别从D，C两点同时出发，两点同时出发，以相同的速度在线段以相同的速度在线段DC，CB上移动，连接上移动，连接AE和和DF，交于点，交于点P，若，若AD2，则点，则点P经过的路径长为经过的路径长为_第4题图25.如图，如图
6、，ABC为等边三角形，为等边三角形，AB2.若若P为为ABC内一动点，且满内一动点，且满足足PABACP，则线段，则线段PB长度的最小值为长度的最小值为_第5题图2 23模型三四点共圆模型三四点共圆模 型 分 析模 型 分 析如图如图、，RtABC和和RtABD共斜边，取共斜边，取AB中点中点O，根据直角三，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得角形斜边中线等于斜边的一半，可得OCODOAOB，A、B、C、D四点共圆四点共圆图图推广：推广：(1)共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；(2)四点共圆后可以根据圆周角定理得到
7、角度相等，完成角度等量关系四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一的转化，是证明角度相等的重要途径之一模 型 应 用模 型 应 用6.如图，在如图，在ABC中，中，BD、CE分别是分别是AC、AB边上的高，边上的高，A60，BC6，则，则DE的长为的长为_第6题图37.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，E为正方形外一动点，为正方形外一动点，AED45，点，点P是是AB上一点，上一点，AP1，则线段，则线段PE的最大值是的最大值是_第7题图5+2 2模型四点圆最值模型四点圆最值模 型 分 析模 型 分 析已知平面内一定点已知
8、平面内一定点D和和O，点，点E是是O上一动点，当上一动点，当D、O、E三点共三点共线时，线段线时，线段DE有最大有最大(小小)值值(依据：直径是圆中最长的弦依据：直径是圆中最长的弦)具体分以具体分以下三种情况讨论下三种情况讨论(设点设点O与点与点D之间距离为之间距离为d，O半径为半径为r)：位置关系位置关系点点D在在O内内点点D在在O上上点点D在在O外外图示图示DE的最大值的最大值dr2rdr此时点此时点E的位置的位置连接连接DO并延长交并延长交O于点于点EDE的最小值的最小值rd0dr此时点此时点E的位置的位置连接连接OD并延长并延长交交O于点于点E点点E与点与点D重合重合连接连接OD交交O
9、于于点点E模 型 应 用模 型 应 用8.如图，在如图，在RtABC中，中，ABC90，D是边是边BC的中点，以的中点，以D为圆为圆心，心，BD长为半径作长为半径作D，E是是D上一点，连接上一点，连接AE，若，若AB8，BC6，则线段则线段AE的最小值为的最小值为()A.10 B.13 C.3 D.37373第8题图C9.如图，如图，OC6，点，点A、B分别是平面内的一动点，且分别是平面内的一动点，且 OA 4，BC3，点点A、B的运动轨迹如图所示，则的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为长的最大值为_，OB长的最长的最小值为小值为_，AC长的最大值为长的最大值为_，AC长的最小值为长的最小值
10、为_，AB长的最大值为长的最大值为_，AB长的最小值为长的最小值为_第9题图93102130模型五线圆最值模型五线圆最值模 型 分 析模 型 分 析1.AB为为O的一条定弦，点的一条定弦，点C为为AB一侧弧上一动点一侧弧上一动点(1)如图如图，点，点C在优弧在优弧 上，当上，当CHAB且且CH过圆心过圆心O时，线段时，线段CH即为点即为点C到弦到弦AB的最大距离，此时的最大距离，此时SABC最大；最大；(2)如图如图，点，点C在劣弧在劣弧 上，当上，当CHAB且圆心且圆心O在在CH的延长线上时，的延长线上时，线段线段CH即为点即为点C到弦到弦AB的最大距离，此时的最大距离，此时SABC最大最大
11、ABAB图图2.如图，如图，O与直线与直线l相离，点相离，点P是是O上的一个动点，设圆心上的一个动点，设圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d，O的半径为的半径为r，则点，则点P到直线到直线l的最小距离是的最小距离是dr(如图如图)，点，点P到直线到直线l的最大距离是的最大距离是dr(如图如图)图图推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动顶点到定边的最大动顶点到定边的最大(小小)距离，从而利用面积公式求解距离，从而利用面积公式求解模 型 应 用模 型 应 用10.如图，已知如图，已知BOA30，M为为OB边上一点
12、，边上一点，OM5，以，以M为圆为圆心，心，2为半径作为半径作M.则则M上的点到直线上的点到直线OA的最大距离为的最大距离为_，最小距离为最小距离为_第10题图921211.如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC6，BC8，点，点F在边在边AC上，并且上，并且CF2，点，点E为边为边BC上的动点，将上的动点，将CEF沿直线沿直线EF翻折，点翻折，点C落在点落在点P处，则点处，则点P到边到边AB距离的最小值是距离的最小值是_第11题图1.212.如图，如图，AB是是O的弦，点的弦，点C是优弧是优弧 上一点，连接上一点，连接AC、BC，若，若O的半径为的半径为4，ACB60，则，则ABC的面积的最大值为的面积的最大值为_.ACB第12题图12 3
