1、例例1 已知二次函数已知二次函数yx22x2，配方，配方化为顶点式为化为顶点式为_，对称轴为，对称轴为_(1)当当0 x3时，二次函数的最大值是时，二次函数的最大值是_，最小值是，最小值是_；(2)当当2x1时，二次函数的最大值是时，二次函数的最大值是_，最小值是，最小值是_；(3)当当4x2时，二次函数的最大值是时，二次函数的最大值是_，最小值是，最小值是_；一题多设问一题多设问类型一对称性、增减性、最值问题类型一对称性、增减性、最值问题(贵阳贵阳2022.24，2023.24)函数微技能函数微技能一阶一阶y(x1)21直线直线x117251102第第17讲二次函数性质综合题讲二次函数性质综
2、合题(4)若将该二次函数的图象沿若将该二次函数的图象沿y轴向下平移轴向下平移m(m0)个单位长度，得到新个单位长度，得到新的二次函数图象的二次函数图象L.若其在若其在3x0的最大值为的最大值为3，求，求m的值的值(4)设平移后的抛物线的解析式为设平移后的抛物线的解析式为yx22x2m，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，|13|01|，且抛物线开口向上，且抛物线开口向上，抛物线在抛物线在x3处取得最大值，处取得最大值，则则962m3，解得，解得m3.满 分 技 法满 分 技 法对于抛物线对于抛物线ya(xh)2k.(1)当抛物线开口向上当抛物线开口向上(即即a0)时，抛物线上距离对称
3、轴越远的时，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标值越大，即函数值越大；点的纵坐标值越大，即函数值越大；(2)当抛物线开口向下当抛物线开口向下(即即a0)时，抛物线上距离对称轴越远的时，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标值越小，即函数值越小点的纵坐标值越小，即函数值越小例例2 已知二次函数已知二次函数yx22x3.分析：二次函数的图象与分析：二次函数的图象与x轴的交点为轴的交点为(_，_)、(_，_)，与，与y轴交点为轴交点为(_，_)，对称轴为直线，对称轴为直线x_，顶点坐标为，顶点坐标为(_，_)(1)当当0 xa时，二次函数的最大值为时，二次函数的最大值为5，求，求a的值；的值；设问突破设问
4、突破二阶二阶【思维教练】要求【思维教练】要求a的值，可将最大值的值，可将最大值5代入函数解代入函数解析式中，求得对应析式中，求得对应x的值，通过数形结合确定的值，通过数形结合确定a的值；的值；103010314一题多设问一题多设问解：解：(1)当当x0时，时，y30，结合解图结合解图函数图象可得，函数图象可得，a的值为的值为4；例2题解图(2)当当3xa时，二次函数的最大值为时，二次函数的最大值为12，求，求a的取值范围；的取值范围；【思维教练】要求【思维教练】要求a的取值范围，可将最大值的取值范围，可将最大值12代入函数解析式中，求代入函数解析式中，求得对应得对应x的值，通过数形结合确定的值
5、，通过数形结合确定a的取值范围；的取值范围；(2)令令y12，解得，解得x3或或x5，抛物线开口向上，抛物线开口向上，x3，结合解图结合解图函数图象可得，函数图象可得，a的取值范围为的取值范围为3a5；例2题解图(3)当当a2xa时，二次函数的最小值为时，二次函数的最小值为a，求，求a的值；的值；(3)当当a1时，时，1x1，二次函数在，二次函数在xa处取得最小值，即处取得最小值，即12234，41，a1，当当a21，即，即a3时，时，1x3，二次函数在，二次函数在xa2处取得最小值，处取得最小值，即即12234，43，a21.【思维教练】分类讨论：【思维教练】分类讨论：对称轴在区间右侧即对称
6、轴在区间右侧即a1；对称轴在区间对称轴在区间内即内即 ；对称轴在区间左侧，即对称轴在区间左侧，即a3时；再利用数形结合判断时；再利用数形结合判断取得最大值时对应的取得最大值时对应的a的值；的值；aa 211分三种情况讨论：分三种情况讨论：当当a1时，如解图时，如解图，二次函数在，二次函数在xa处取得最小值，处取得最小值，则有则有a22a3a，解得，解得a 或或a (舍去舍去)；当当a21a，即，即1a1，即，即a3时，时，二次函数在二次函数在xa2处取得最小值，处取得最小值，则有则有(a2)22(a2)3a，解得，解得a (舍去舍去)或或a ；综上所述，综上所述，a的值为的值为 或或 ；729
7、2例2题解图 7292 3212 7292(4)当当axa3时，二次函数的最大值为时，二次函数的最大值为m，最小值为，最小值为n，若，若mn3，求求a的值；的值；【思维教练】分类讨论：【思维教练】分类讨论：对称轴在区间右侧，即对称轴在区间右侧，即a31得得a2；对称轴在区间内即对称轴在区间内即 得得2a1；对称轴在区间左侧，即对称轴在区间左侧，即a1时；讨论区间内的最大值和最小值，再通过数形结合即可求出时；讨论区间内的最大值和最小值，再通过数形结合即可求出a的值；的值；aa 311(4)分三种情况讨论：分三种情况讨论：当当a31，即，即a2且且axa3时，时，如解图如解图，y随随x的增大而减小
8、，的增大而减小，当当xa时，时，ma22a3；例2题解图当当xa3时，时，n(a3)22(a3)3a24a，mna22a3(a24a)6a33，解得，解得a1(舍去舍去)；当当a1a3，即，即2aa31，即，即a 时，如解图时，如解图，y在在xa处取得最大值，即处取得最大值，即ma22a31，解得，解得a11 (舍去舍去)，a21 ；(ii)当当1a 时，如解图时，如解图，y在在xa3处取得最大值，处取得最大值，即即m(a3)22(a3)3a24a1，解得，解得a12 ，a22 (舍去舍去)；12 123333例2题解图例2题解图当当a1且且axa3时，如解图时，如解图，y随随x的增大而增大，
9、当的增大而增大，当xa时，时，na22a3；当当xa3时，时，m(a3)22(a3)3a24a，mna24a(a22a3)6a33，解得，解得a0(舍去舍去)；综上所述，综上所述，a的值为的值为1 或或2 ；33例2题解图(5)将二次函数将二次函数yx22x3的图象沿的图象沿x轴向右平移轴向右平移m(m0)个单位长度个单位长度得到新的抛物线得到新的抛物线L.当当0 x4时，抛物线时，抛物线L的最小值为的最小值为4，求，求m的取值范围；的取值范围；【思维教练】根据条件可知，在平移过程中，抛物线顶点纵坐标不【思维教练】根据条件可知，在平移过程中，抛物线顶点纵坐标不变顶点横坐标在变顶点横坐标在1x4
10、范围内，找到临界点范围内，找到临界点(4，4)，结合函数图象，结合函数图象得到得到m的取值范围；的取值范围；(5)由题意得，平移后的抛物线由题意得，平移后的抛物线L的解析式为的解析式为y(xm)22(xm)3，其对称轴为直线其对称轴为直线x1m.当点当点(4，4)恰好在抛物线恰好在抛物线L上时，上时，有有4(4m)22(4m)3，解得，解得m3，当当0 x4时，抛物线时，抛物线L的最小值为的最小值为4，结合解图结合解图函数图象可得，函数图象可得，m的取值范围为的取值范围为0m3；例2题解图当当5x6时，抛物线时，抛物线L的值随的值随x的增大而增大，求的增大而增大，求m的取值范围的取值范围【思维
11、教练】根据函数的增减性得到抛物线对称轴在【思维教练】根据函数的增减性得到抛物线对称轴在x5左侧左侧(可与直可与直线线x5重合重合)，找到临界点，找到临界点(5，4)，结合函数图象可得，结合函数图象可得m的取值范围的取值范围当抛物线当抛物线L的顶点恰好为的顶点恰好为(5，4)时，时，有有1m5，解得，解得m4.当当5x6时，抛物线时，抛物线L的值随的值随x的增大而增大，的增大而增大，结合解图结合解图函数图象可得，函数图象可得，m的取值范围为的取值范围为00)个单位后所得到的解析式为个单位后所得到的解析式为y1x22x4a，如解图如解图，当，当y1与线段与线段AB相切时，相切时，例5题解图此时此时
12、x22x4a2，即，即x22x2a0，(2)24(2a)0，解得，解得a1，y1与线段与线段AB有公共点，有公共点，a1；如解图如解图，当抛物线经过，当抛物线经过A，B时，时，抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x 1，1，ba 2ABxx 2当当y1经过经过A，B时，时，此时解得此时解得a5，y1与线段与线段AB有公共点，有公共点，a5，综上所述，综上所述，a的取值范围为的取值范围为1a5；例5题解图(3)在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点E(2，3)，点，点F(k，6)，连接，连接EF，若抛物线，若抛物线yx22x4与线段与线段EF只有一个公共点，求只有一个公共点，求k的取值范围的取
13、值范围(3)解：如解图解：如解图，点点E的坐标为的坐标为(2，3)，点，点F的坐标为的坐标为(k，6)，且抛物线且抛物线yx22x4与线段与线段EF只有一个公共点，只有一个公共点，将将y6代入代入yx22x4中，中，解得解得k1 或或k1 ，1 k0时，如解图时，如解图，抛物线与线段，抛物线与线段AB无公共点；无公共点；当当a2，解得解得a ，结合图象可知，结合图象可知，a的取值范围为的取值范围为a 或或a0时，如解图时，如解图，抛物线与线段，抛物线与线段AE无公共点；无公共点；由由(1)知，抛物线的顶点坐标为知，抛物线的顶点坐标为(2，9a)，当当a0，且抛物线与线段，且抛物线与线段AE只有
14、一个交点时，只有一个交点时，E(2，3)，点点E在抛物线的对称轴上，在抛物线的对称轴上，当抛物线与线段当抛物线与线段AE只有一个交点时，交点在线段只有一个交点时，交点在线段AE上，上，例6题解图A(1，2)，点，点E(2，3)，直线直线AE的解析式为的解析式为y x ，令令yax24ax5a x ，整理得整理得ax2(4a )x5a 0，由根的判别式得由根的判别式得(4a )24a(5a )0，解得解得a (舍去舍去)或或a ，当抛物线过点当抛物线过点E时，将时，将E(2，3)代入代入yax24ax5a，解得解得a ，a的取值范围为的取值范围为 a .例6题解图1373131313 13 13737373 32 218 32 218 32 218当二次函数解析式当二次函数解析式yax2bxc中二次项系数中二次项系数a不确定时，求抛不确定时，求抛物线与线段的交点：物线与线段的交点：(1)二次项系数二次项系数a不确定时，需分抛物线的开口向上和开口向下两不确定时，需分抛物线的开口向上和开口向下两种情况讨论；种情况讨论；(2)数形结合：画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情数形结合：画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况，计算出在临界点时字母的值，从而求出字母的取值范围况，计算出在临界点时字母的值，从而求出字母的取值范围.满 分 技 法满 分 技 法
