1、微专题图形折叠问题微专题图形折叠问题与折叠有关的计算常用性质与折叠有关的计算常用性质方 法 解 读方 法 解 读折叠问题常见类型折叠问题常见类型：折叠基本性质折叠基本性质：1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形图形第1题图线段相等：线段相等：ED_，EG_，FD_；角度相等：角度相等：D_，DEG_；全等关系：四边形全等关系：四边形FDEG_ADAGDFDDAG四边形四边形FDAG2.折痕可看作垂直平分线：折痕可看作垂直平分线：GF_，OAOE(折痕垂直平分连折痕垂直平分连接两个对应点的连线接两个对应点的连线
2、)3.折痕可看作角平分线：折痕可看作角平分线：EGF_(对称线段所在的直线与折对称线段所在的直线与折痕的夹角相等痕的夹角相等)AEAGF第1题图折叠有关计算折叠有关计算：一、利用勾股定理求解一、利用勾股定理求解例1题图例例1如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，BC5，将矩形沿折痕，将矩形沿折痕EF折折叠，点叠，点C恰好落在点恰好落在点A处，点处，点D的对应点为的对应点为D，求，求AE的长的长【自主解答】【自主解答】标量标量把已知线段和要求线段把已知线段和要求线段(x)标在标在图形上图形上集中集中利用线段的和差关系，把已知利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一个条件和要求
3、的线段转移到一个直角三角形中直角三角形中(RtADE)求解求解根据勾股定理列出方程求解根据勾股定理列出方程求解AD2DE2AE2【思维教练】【思维教练】【自主解答】【自主解答】解：设解：设AEx，则，则DEDEADAE5x，ADCDAB3，在在RtADE中，中，AD2DE2AE2，32(5x)2x2，解得，解得x .即即AE的长是的长是 .175175例1题图二、利用三角形相似求解二、利用三角形相似求解例例2如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB3，BC5，将矩形沿折痕，将矩形沿折痕AE折折叠，点叠，点D恰好落在恰好落在BC边上的边上的F处，求处，求EC的长的长例2题图标量标量把已知线段
4、和要求的线段把已知线段和要求的线段(x)标标在图形上在图形上集中集中利用线段的和差关系，把已知利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一对条件和要求的线段转移到一对相似三角形中相似三角形中(AFBFEC)求解求解根据相似三角形对应边成比例根据相似三角形对应边成比例列出方程求解列出方程求解EF FAEC FB【思维教练】【思维教练】例2题图解：设解：设ECx，则，则EFDE3x，AFADBC5，AB3，BF4，BAFAFB90，EFCAFB90，BAFCFE，又又BC90，AFBFEC，EF FAEC FB，即即(3x)5x 4，解得，解得x ，即，即EC的长是的长是 .4343【自主解
5、答】【自主解答】分类突破分类突破类型一折痕确定类型一折痕确定当折痕确定时，直接根据折叠的性质得到线段、角度的等量关系，当折痕确定时，直接根据折叠的性质得到线段、角度的等量关系，再利用勾股定理、相似、三角函数、或等面积法直接求解即可再利用勾股定理、相似、三角函数、或等面积法直接求解即可 拨拨点点法法方方 例例1如图，在如图，在RtABC中，中，B90，AB6，BC8，将直角边，将直角边AB沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AC上，且点上，且点B与点与点E重合，求重合，求BD的长的长例1题图【解法一】利用勾股定理【解法一】利用勾股定理解：解：ABD与与AED关于关于AD成轴对称，
6、成轴对称，AEAB6，BDDE，ABDAEDCED90，在在RtABC中，中，AC2AB2BC26282102，AC10，CEACAE4，设设BDDEx，则，则CDBCBD8x，在在RtCDE中，由勾股定理得中，由勾股定理得x242(8x)2，解得解得x3，即，即BD3.例1题图【解法二】利用相似【解法二】利用相似解：解：ABD与与AED关于关于AD成轴对称，成轴对称，AEAB6，BDDE，ABDAEDCED90，在在RtABC中，中，AC2AB2BC26282102，AC10，CEACAE4，CC，CDECAB，解得解得DE3，BD3.4,68DEECDEABBC 即即例1题图【解法三】利用
7、等面积法【解法三】利用等面积法解：解：ABD与与AED关于关于AD成轴对称，成轴对称，BDDE，ABDAEDCED90，在在RtABC中，中，AC2AB2BC26282102，AC10，SABCSABDSADC，BCAB BDAB ACDE，86 6 BD 10DE 16BD，解得，解得BD3.12121212121212例1题图例例2如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AD4，AB3，将，将ABC沿沿AC折叠，折叠，点点B落在点落在点E处，此时处，此时CE交交AD于点于点F，则则CF的长为的长为_例2题图258当折痕过一动点的线段问题解题方法如下：首先根据折叠的性质得到线当折痕过一动点的
8、线段问题解题方法如下：首先根据折叠的性质得到线段相等，然后再利用勾股定理、相似、锐角三角函数等列方程求解段相等，然后再利用勾股定理、相似、锐角三角函数等列方程求解拨拨点点法法方方 类型二折痕过一动点类型二折痕过一动点例例3如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，E为边为边CD上一点，将上一点，将ADE沿沿AE折叠至折叠至ADE处，处，AD与与CE交于点交于点F，若，若B54，DAE20，则，则FED的大小为的大小为()A.27B.32C.36D.40例3题图B例例4如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点P是是AB边上的一点，将边上的一点，将PBC沿沿PC折折叠，使点叠，使点B
9、落在落在AD上点上点B处，若处，若AB3，BC5，则，则AP的长为的长为_例4题图43例例5如图，将一个直角三角形纸片如图，将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点，点B(0，4)，点，点O(0，0)P是边是边AB上的一点上的一点(点点P不与点不与点A，B重合重合)，沿着，沿着OP折叠该纸片，得点折叠该纸片，得点B的对应点的对应点B.当当BPx轴时，点轴时，点B的的坐标为坐标为_例5题图16 12(,)55当折叠后出现含当折叠后出现含30，45角的直角三角形时，可利用特殊三角形的角的直角三角形时，可利用特殊三角形的性质解题；性质解题；例例6
10、如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AC3，BC4，将边，将边AC沿沿CE翻折，使点翻折，使点A落在落在AB上的点上的点D处，再将边处，再将边BC沿沿CF翻折，使点翻折，使点B落在落在CD的延长线上的点的延长线上的点B处，两条折痕分别处，两条折痕分别与斜边与斜边AB分别交于点分别交于点E、F，则，则BF的长为的长为_拨拨点点法法方方 45例6题图例例7如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AD8，AB4，点，点P是是AD上的点，且上的点，且AP3，点，点E是是BC边上一动点，将矩形边上一动点，将矩形ABCD沿直线沿直线PE折叠，点折叠，点A，B的对应点分别为点的对应点分别为点A，B
11、，点，点B落在落在BC下方，当下方，当A、B、D共线时，共线时，BE的长为的长为_例7题图1类型三折痕过两动点类型三折痕过两动点当折痕不确定时，常先分析已知条件判断折叠后的图形再求解折当折痕不确定时，常先分析已知条件判断折叠后的图形再求解折叠方式不确定的问题有时会产生多解问题，可以通过关键条件，进叠方式不确定的问题有时会产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题叠方式确定问题拨拨点点法法方方 例例8如图，正方形纸片如图，正方形纸片ABCD的边长为的边长为6，点，点E，F分别
12、是分别是AB，CD的的中点，点中点，点G在在AD上，点上，点H在在AE上，将纸片沿上，将纸片沿GH所在直线折叠，得到所在直线折叠，得到GMH，若，若FM2EM，则，则AH的长为的长为_例8题图136例例9如图，将一个矩形纸片如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点，点B(2 ，2)D是边是边BC上一点上一点(不与点不与点B重合重合)，过点，过点D作作DEOB交交OC于点于点E.将该纸片沿将该纸片沿DE折叠，得点折叠，得点C的对应点的对应点C.当点当点C落在落在OB上上时，点时，点C的坐标为的坐标为_例9题图3 1(,)223例例10如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点B(4 ，0)，点，点C(0，4)，点，点D是是OB的中点，点的中点，点E是边是边BC上一动点，沿上一动点，沿DE所在直线把所在直线把BDE翻折到翻折到BDE的位置，的位置，BD交边交边BC于点于点F，若，若CBF为直角三角形，则为直角三角形，则CB的长为的长为_ 例10题图2 或或473
