1、一题一课一题一课 婆罗摩笈多模型婆罗摩笈多模型【模型介绍模型介绍】婆罗摩笈多模型是从圆中引申出来的全等三角形证明题的】婆罗摩笈多模型是从圆中引申出来的全等三角形证明题的一个常见模型一个常见模型【活动目的活动目的】运用所学的知识探究该模型的相关结论运用所学的知识探究该模型的相关结论活动一活动一：【分析图形分析图形】如图如图，在在ABC中中，将将AB绕点绕点A顺时针顺时针旋转旋转90得到得到AD，将将AC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到AE，连接连接DE.若若AG是是ABC的中线的中线，延长延长GA交交DE于点于点F.图【提出问题提出问题】证明证明：(1)AG DE；【解决【解决问题问题
2、】图12 在在AGC和和NGB中中，AGC NGB(SAS)，CGBGCGABGNAGNG N证明证明：(1)如图如图，延长延长AG至至N，使得使得NGAG，连接连接BN，ACNBAE，ACGNBG，ACBN，ABN180BAC.又又DABCAE90，DAE180BAC.DAEABN，在在ADE和和BAN中，中，AEBNDAEABNADBA 图NADE BAN(SAS)，EDABAN，ANDE，AN2GN2AG，DE2AG，即即AG DE；12图N(2)DAB90，BANDAF90，又又ADFBAN，DAFADF90，DFA90，即即GFDE.(2)GFDE.图N活动二活动二：【分析图形分析图
3、形】如图如图，在在ABC中中，将将AB绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到AD，将将AC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到AE，连接连接DE.若若AGBC，延长延长GA交交DE于点于点F.【提出问题提出问题】证明证明：点点F为为DE的中点的中点【解决【解决问题问题】图IDHA90，BAD90，AGBC，DAHBAG90，ABGBAG90，DAHABG，在在ABG和和DAH中中，图HABGDAHBGAAHDABDA 证明证明：如图如图，过点过点D作作DHGF，交交GF的延长线于点的延长线于点H，过点过点E作作EIAF于点于点I，ABG DAH(AAS)，AGDH.同理可证同理可证，
4、EIA AGC(AAS)，EIAG，EIDH.在在DFH和和EFI中中，DFHEFIHFIEDHEI I图HDFH EFI(AAS)，EFDF，点点F为为DE的中点的中点I图H活动三活动三：【分析图形分析图形】如图如图，在在ABC中中，将将AB绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到AD，将将AC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到AE，连接连接DE.【提出问题提出问题】证明：】证明：SADESABC.【解决问题解决问题】图由活动一的结论可知由活动一的结论可知，AF BC，SABC BCAGAFAG，SADESADFSAEF AFDH AFEI，由活动二的结论可知由活动二的结论可知AG
5、DHEI，SADE AF2AGAFAG，即即SADESABC1212121212证明证明：如图如图，过点过点A作作AGBC于点于点G，延长延长GA交交ED于点于点F，过点过点E作作EIFA于点于点I，过点过点D作作DHGF，交交GF的延长线于点的延长线于点H，解图活动四活动四：【分析图形分析图形】如图如图，在在ABC中中，将将AB绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到AD，将将AC绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到AE，连接连接DE，CD，BE交于点交于点M.【提出问题提出问题】证明：】证明：(1)CDBE；【解决问题解决问题】图证明：证明：(1)DABBACEACBAC，DACB
6、AE，ADAB，ACAE，ADC ABE，CDBE；(2)如解图如解图，以以AC，AE为边作正方形为边作正方形AELC，以以AB，AD为边作正方形为边作正方形ADKB，ABE ADC，ACDAEB，MCLMELACLAEL9090180，EMC360(MCLMELL)360(18090)90，CDBE.(2)CDBE.解图1.如图如图，AEBE，DEEC，AEBE，DEEC，AC与与BD交于点交于点F.连连接接AB，BC，CD，AD.若若AEBE2，DEEC3.(1)求证求证：DEB CEA；第1题图对 接 中 考对 接 中 考(1)证明证明：由题可知由题可知AEBDEC90，AEBAEDDE
7、CAED，AECBED，在在DEB和和CEA中中，DEB CEA(SAS)；BEAEBEDAECEDEC 第1题图(2)求证求证：判断：判断BD与与AC的关系，并说明理由；的关系，并说明理由；(2)BDAC，BDAC，理由如下理由如下：DEB CEA，ACEBDE，ACBD，如图如图，设设AC与与DE交于点交于点N.N第1题图ANDCNE，FDNFNDENCNCE，NEC90，由三角形内角和定理得由三角形内角和定理得，CFBDEC90，BDAC；(3)若若DAE90，求求BC的长的长(3)ACBD，DF2CF2DC2，AF2BF2AB2，AB2CD2AF2BF2DF2CF2AD2BC2，DAE
8、90，DE3，AE2，AD2DE2AE2945，AEB90，AEBE2，AB2448，DEC90，DEEC3，DC29918，第1题图BC2AB2CD2AD2818521，BC21第1题图DAJ180ADG，DHCE，DHC90，DCE90CDH.四边形四边形ABCD与四边形与四边形DEFG都是正方形都是正方形，ADCEDG90，ADCD，DEDG.2.如图如图，四边形四边形ABCD与四边形与四边形DEFG都是正方形都是正方形，连接连接AG、CE，直，直线线DHCE于点于点H，延长延长HD交交AG于点于点I，求证求证：AIGI.第2题图J证明证明：如图如图，过点过点A作作AJDG，交交DI的延长线于点的延长线于点J，连接连接GJ，CDE360ADCEDGADG3609090ADG180ADG，ADJ180ADCCDH18090CDH90CDH.DAJCDE，ADJDCE.DAJ CDE(ASA)AJDE.DEDG，AJDG.又又AJDG，四边形四边形ADGJ是平行四边形是平行四边形AIGI.第2题图J
