1、2024徐州中考数学二轮专题复习徐州中考数学二轮专题复习 二次函数综合题二次函数综合题类型一运动产生的线段问题类型一运动产生的线段问题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3过点过点A(1，0)，B(3，0)，且与，且与y轴交于点轴交于点C，点，点P是线段是线段BC上方抛物线上的一动点，上方抛物线上的一动点，PEy轴，交线段轴，交线段BC于点于点E，连接，连接AP，交线段，交线段BC于点于点 D.综合提升综合提升三阶三阶(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第1题图解：解：(1)在在yax2bx3中，令中，令x0，则，则y3，点点C的坐标为的坐标为
2、(0，3)A(1，0)，B(3，0)，抛物线的解析式为抛物线的解析式为ya(x1)(x3)(a0)，将将C(0，3)代入抛物线解析式，得代入抛物线解析式，得3a3，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3；第1题图(2)当当AD2PD时，求点时，求点P的坐标；的坐标；(2)如解图，过点如解图，过点A作作AFx轴，与轴，与BC延长线交于点延长线交于点F，则，则AFPE，设，设P(t，t22t3)，直线直线BC的解析式为的解析式为ykxb(k0)，将将B，C两点坐标代入，两点坐标代入，得得 解得解得直线直线BC的解析式为的解析式为yx3，E(t，t3)，F(1，
3、4)，AF4，PEt23t.30,03bkb 1,3kb 第1题解图AFPE，AFDPED，.AD2PD，解得解得t1或或t2，P(1，4)或或(2，3)；PEPDAFAD 23142tt 第1题解图(3)求线段求线段PE CE的最大值的最大值22(3)设设P(t，t22t3)，由点由点B、C的坐标得，直线的坐标得，直线BC的解析式为的解析式为yx3，直线直线BC与与x轴的正半轴的夹角为轴的正半轴的夹角为45，则，则xExP CEt，PE CEt22t3t3tt24t(t2)24，10，PE CE有最大值，当有最大值，当t2时，其最大值为时，其最大值为4.2222222.(2021市区一模市区
4、一模)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点M为抛物线为抛物线yx24的顶点，点的顶点，点A、B(点点A与点与点M不重合不重合)为抛物线上的动点，且为抛物线上的动点，且ABx轴，轴，以以AB为边作矩形为边作矩形ABCD，点，点M在在CD 上，连接上，连接AC交抛物线于点交抛物线于点E.(1)当点当点A、B在在x轴上时，轴上时，AE_，CE_；第2题图【解法提示】对于【解法提示】对于yx24，令，令0，解得，解得x12，x22，点点A(2，0)，点，点B(2，0)点点M为抛物线为抛物线yx24的顶点，四边形的顶点，四边形ABCD为矩形，为矩形，点点M(0，4)，点，点D(2，4
5、)，点，点C(2，4)设直线设直线AC的的解析式为解析式为ykxb(k0)，将，将A(2，0)、C(2，4)代入代入ykxb，得得 解得解得 直线直线AC的解析式为的解析式为yx2.联立直线联立直线AC与抛物线的解析式，得与抛物线的解析式，得 解得解得 或或 点点E(1，3)，AE 同理可得：同理可得：CE .0242kb,kb 12k,b 224yx,yx 20 x,y 13x,y 2221033 2,23 2；2(2)如图，当原点如图，当原点O在在AC上时，求直线上时，求直线AC的表达式；的表达式；(2)由抛物线的对称性可知：点由抛物线的对称性可知：点A、B关于关于y轴对称，轴对称，点点A
6、、C关于原点对关于原点对称称设点设点C的坐标为的坐标为(m，4)，则点，则点A的坐标为的坐标为(m，4)(m0)点点A(m，4)在抛物线在抛物线yx24上，上，4m24，解得，解得m2 (正值已舍去正值已舍去)，点点C(2 ，4)由点由点A、C的坐标得，直线的坐标得，直线AC的表达式为的表达式为y x；222第2题图(3)在点在点A，B的运动过程中，的运动过程中，是否为定值？如果是，请求出定值；如是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由果不是，请说明理由AEEC(3)是定值，求解如下：是定值，求解如下：设点设点A的纵坐标为的纵坐标为n(n4)，则点，则点A的坐标为的坐标为(，n)，
7、点，点C的坐标为的坐标为(，4)，由由A、C的坐标可得直线的坐标可得直线AC的表达式为的表达式为y x，联立，解得联立，解得 或或 AEEC4n 4n 4422nnx 4xnyn 42,124nxny 点点E的坐标为的坐标为()，又又点点A、E、C三点共线，三点共线，.在点在点A，B的运动过程中，的运动过程中，为定值为定值3.41224nn,()-=-12431244nnAEnECAEEC解：解：(1)将将A(1，0)，B(4，0)代入代入yax2bx3可得可得解得解得 ，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y x2 x3；3.如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax2bx3过过A(1，0)，B(4
8、，0)两两点，与点，与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AC.(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；3016430abab 3494ab 第3题图3494(2)将将AOC绕点绕点C旋转，点旋转，点A的对应点为的对应点为D，当当AD取最大值时，请直接写出点取最大值时，请直接写出点D的坐标为的坐标为_；(1，6)第3题解图【解法提示】如解图，将【解法提示】如解图，将x0代入代入y x2 x3可得可得y3，C(0，3)，当当AOC绕点绕点C旋转旋转180时，线段时，线段AD最长，最长，A(1，0)，D(1，6)3494当点当点D落在直线落在直线BC上时，求点上时，求点D的坐标；的坐标；第3题解图D
9、GGDAB，CGDCOB.在在RtAOC中，中，AOC90，AO1，CO3，ACCD .CGGDCDCOOBCB 10分两种情况讨论：分两种情况讨论：()如解图，当点如解图，当点D在线段在线段BC上时，过点上时，过点D作作DGy轴于点轴于点G，OB4，CO3，CB5，CG ，GD .OG3 ，D(，3)；10,345CGGD 3 1054 1053 1054 1053 105DGQDAB，CQDCOB.在在RtAOC中，中，AOC90，AO1，CO3，ACCD .OB4，CO3，,CQQDCDCOOBCB 10DQ 第3题解图()如解图，当点如解图，当点D在线段在线段BC的延长线上时，过点的延
10、长线上时，过点D作作DQy轴于点轴于点Q，BC5，CQ ，QD .OQ3 ，D(,3).点点D的坐标为的坐标为()或或()；4 1053 1054 1053 10510.345CQQD 3 105-4 103 10,355-4 103 10,355DQ第3题解图(3)如图，点如图，点P是直线是直线BC下方抛物线上一点下方抛物线上一点(P不与点不与点B，C重合重合)，连接，连接OP，交，交BC于点于点E，点，点F是是y轴上一点，当轴上一点，当OEBF的值最小时，请直接写出点的值最小时，请直接写出点F的坐标的坐标【解法提示】如解图，过点【解法提示】如解图，过点B作作BHx轴，使轴，使BHCB，连接
11、，连接OH交交BC于点于点E，交抛物线于点，交抛物线于点P，在，在y轴上取点轴上取点F，使，使CFBE，连接，连接BF，BHx轴，轴，BHCF，FCBHBC，CBBH，CFBE，CFB BEH，EHBF，OEBFOEEH，当，当O，E，H三点共线时，三点共线时，OEBF的值最小，的值最小，B(4，0)，C(0，3)，BCBH第3题图545，H(4，5)，设直线，设直线OE的解析式为的解析式为ykx，将，将H(4，5)代入得代入得k ，直线直线OE解析式为解析式为y x，同理可得直线，同理可得直线BC的解析式为的解析式为y x3，联立，联立 解得解得 E(，)，过点过点E作作EGx轴交于轴交于点
12、点G，在，在RtBGE中，由勾股定理得中，由勾股定理得BE CFBE ，OFCFOC 3 ，F(0,)543454334yx,yx 32158x,y 3215822BGEG 22315(4)()28 25,8 2582581818第3题解图(3)点点F的坐标为的坐标为(0,)184.如图，抛物线如图，抛物线y x2bxc过点过点A(4，0)，B(4，4)，且抛物线与且抛物线与y轴交于点轴交于点C，连接，连接AB，BC，AC.14(1)求抛物线的函数表达式；求抛物线的函数表达式；第4题图解：解：(1)抛物线抛物线y x2 bxc的图象经过点的图象经过点A(4，0)，B(4，4)，解得解得 ，抛物
13、线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y x2 x2；1411644,116444bcbc 122bc 1412(2)点点P是抛物线对称轴上一点，求是抛物线对称轴上一点，求PBC周长的最小值及此时点周长的最小值及此时点P的坐的坐标；标；(2)由抛物线由抛物线y x2 x2可得对称轴为直线可得对称轴为直线x 点点C的的坐标为坐标为(0，2)，如解图，作点如解图，作点C关于对称轴直线关于对称轴直线x1的对称点的对称点C，则，则C的坐标为的坐标为(2，2)，连接连接BC，即，即BCBC与对称轴的交点即为所求点与对称轴的交点即为所求点P，连接，连接PC，此时此时PBC的周长最小的周长最小设直线设直线BC
14、的表达式为的表达式为ykxm(k0)，1412121,12()4 ()()222 42 46 2,+=第4题解图得得 解得解得直线直线BC的表达式为的表达式为yx，将将x1代入代入yx，得，得y1，点点P的坐标为的坐标为(1，1)，点点B(4，4)，C(0，2)，BC 此时此时PBC的周长为的周长为BCCPPBBCBC2 6 ，PBC周长的最小值为周长的最小值为2 6 ，此时点，此时点P的坐标为的坐标为(1，1)；44,22kmkm 1,0km 224242 13,132132第4题解图将点将点B(4，4)，C(2，2)代入，代入，(3)若若E是线段是线段AB上的一个动点上的一个动点(不与点不
15、与点A、B重合重合)，过点，过点E作作y轴的平行轴的平行线，分别交抛物线及线，分别交抛物线及x轴于轴于F，D两点若两点若DE2DF，请求出点，请求出点E的坐的坐标标(3)由点由点A(4，0)，B(4，4)可得直线可得直线AB的表达式为的表达式为y x2，设点设点E(x，x2)，其中，其中4x4，则，则F(x，x2 x2)，DE|x2|2 x，DF|x2 x2|，分两种情况讨论：当点分两种情况讨论：当点F在在x轴上方时即轴上方时即2 x2(x2 x2)，解得，解得x11，x24(舍去舍去)，将将x1代入代入y x2，得，得y ，E(1，)；1212124112124112124112125252
16、当点当点F位于位于x轴下方时，即轴下方时，即2 x2(x2 x2)，解得，解得x13，x24(舍去舍去)，将将x3代入代入y x2，得，得y ，E(3，)综上所述，点综上所述，点E的坐标为的坐标为(1，)或或(3，)1212411272725272类型二动点产生的面积问题类型二动点产生的面积问题1.(2021徐州徐州26题题8分分)如图，点如图，点A、B在函数在函数y x2的图象上已知的图象上已知A、B的横坐标分别为的横坐标分别为2、4，直线，直线AB与与y轴交于点轴交于点C，连接，连接OA、OB.综合提升综合提升三阶三阶14第1题图(1)求直线求直线AB的函数表达式；的函数表达式；解：解：(
17、1)当当xA2时，时，yA1，当，当xB4，yB4，A(2，1)，B(4，4)设直线设直线AB的函数表达式为的函数表达式为ykxb，将，将A(2，1)，B(4，4)代入函数表代入函数表达式中，达式中，得得 解得解得直线直线AB的函数表达式为的函数表达式为y x2；12,44kbkb 1,22kb 第1题图12(2)求求AOB的面积；的面积；(2)把把xC0代入代入y x2中，得中，得yC2，C(0，2)SAOBSAOCSBOC yC|xA|yC|xB|yC(xBxA)6；12121212第1题图(3)若函数若函数y x2的图象上存在点的图象上存在点P，使得，使得PAB的面积等于的面积等于AOB
18、的面的面积的一半，则这样的点积的一半，则这样的点P共有共有_个个14第1题解图 4【解法提示】如解图，【解法提示】如解图，AOB与与PAB“同底同底”，根据，根据PAB的面积是的面积是AOB面积的一半，将面积的一半，将AB分别向上、向下平移分别向上、向下平移 OC个单位长度，与抛个单位长度，与抛物线的交点有物线的交点有P1，P2，P3，P4四个点四个点满足条件的点满足条件的点P共有共有4个个12解：解：(1)将将x0代入代入yx26x5，得，得y5，C(0，5)，yx26x5(x3)24，P(3，4)；(2分分)2.(2022徐州徐州27题题10分分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数如图，在
19、平面直角坐标系中，二次函数yx26x5的图象与的图象与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，其顶点为，其顶点为P，连接，连接PA、AC、CP，过点，过点C作作y轴的垂线轴的垂线l.(1)求点求点P、C的坐标；的坐标；第2题图(2)直线直线l上是否存在点上是否存在点Q，使，使PBQ的面积等于的面积等于PAC面积的面积的2倍？若存倍？若存在，求出点在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(2)存在，理由如下：如解图，延长存在，理由如下：如解图，延长PA、PB交交l于点于点D、E，作，作CFPA的的延长线于点延长线于点F，QGPB的延长线于点的延长线于
20、点G，第2题解图由抛物线的对称性，得由抛物线的对称性，得PAPB，PABPBA，ly轴，轴，CDFQEG，SPBQ2SPAC，PAPB，QG2CF，(5分分)CFPA，QGPB，CFDQGE，又又CDFQEG，CFDQGE，QE2CD，由由x26x50，解得解得x11，x25，2,1QEQGCDCF=第2题解图A(1，0)，B(5，0)，设直线设直线PA的解析式为的解析式为ykxb(k0)，将点将点P，A坐标代入，坐标代入，得得 解得解得直线直线PA的解析式为的解析式为y2x2，D(，5)，(7分分)由抛物线的对称性可得由抛物线的对称性可得E(，5)，CD ，QE2 3，满足条件的点满足条件的
21、点Q有两个：有两个：Q1(，5)，Q2(，5)(10分分)43,0,kbkb 2,2,kb 32323292212第2题解图3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2x2bxc与与x轴轴交于点交于点A(3，0)、B，与，与y轴正半轴交于点轴正半轴交于点C，OC2OA，在直线，在直线AC上上方的抛物线上有一动点方的抛物线上有一动点E.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第3题图解：解：(1)A(3，0)，OC2OA，C(0，6)，抛物线抛物线y2x2bxc经过经过A、C两点，两点，解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y2x24x6；1830,6bcc 4,
22、6bc (2)连接连接BE，与直线，与直线AC相交于点相交于点F，当，当EF BF时，求点时，求点E的坐标；的坐标；12第3题图(2)令令2x24x60，解得解得x13，x21，B(1，0)，设设E(t，2t24t6)，其中，其中3t0，如解图，过点如解图，过点E作作EHx轴于点轴于点H，过点过点F作作FGx轴于点轴于点G，则，则EHFG，BFGBEH，EF BF，122,3BFBGFGBEBHEH 第3题解图BH1t，BG BH t，点点F的横坐标为的横坐标为 t，设直线设直线AC的表达式为的表达式为ykxb，把把A(3，0)，C(0，6)代入，代入，解得解得直线直线AC的表达式为的表达式为
23、y2x6，F(t，t)，EH FG，2t24t6 (t)，2323132330,6kbb26kb132320343323220343第3题图第3题解图23t23t20，解得，解得t12，t21，当当t2时，时，2t24t66，当当t1时，时，2t24t68，点点E的坐标为的坐标为(2，6)或或(1，8)；第3题图(3)连接连接AE、CE、BC，四边形，四边形AECB的面积是否存在最大值？若存在，的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点求出此时点E的坐标和四边形的坐标和四边形AECB的面积；若不存在，请说明理由的面积；若不存在，请说明理由(3)存在理由如下：存在理由如下：如解图，设如解图，设EH
24、与直线与直线AC交于点交于点D，点，点E的坐标为的坐标为(m，2m24m6)，其中其中3m0，点点D在在直线直线AC上，上，点点D的坐标为的坐标为(m，2m6)，ED2m24m6(2m6)2m26m，SAEC ED(xCxA)3(2m26m)3m29m，1212 第3题图SABC ABOC (13)612，S四边形四边形AECBSAECSABC3m29m123(m )2 ，当当m 时，四边形时，四边形AECB的面积有最大值的面积有最大值 ，点点E在直线在直线AC上方的抛物线上，上方的抛物线上，3m0，存在点存在点E，使得四边形，使得四边形AECB的面积有最大值，的面积有最大值，2m24m62(
25、)24()6 ，当点当点E的坐标为的坐标为(，)时，四边形时，四边形AECB的面积有最大值的面积有最大值 .121232327543232152321527547544.(2021徐州黑白卷徐州黑白卷)如图，已知二次函数如图，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象经的图象经过坐标原点过坐标原点O，与，与x轴正半轴交于点轴正半轴交于点A，过点，过点A的直线与的直线与y轴交于点轴交于点B，与，与二次函数的图象交于另一点二次函数的图象交于另一点C，且点，且点C的横坐标为的横坐标为1，一条垂直于，一条垂直于x轴轴的直线的直线l交直线交直线AB于点于点D，交二次函数的图象于点，交二次函数的图象于点E，
26、且，且CB BD DA1 1 2.(1)点点A坐标为坐标为 _；第4题图(3,0)【解法提示】【解法提示】CB BD DA1 1 2，CB BA1 3.点点C的横的横坐标为坐标为1，点点A的横坐标为的横坐标为3，点点A坐标为坐标为(3，0)(2)若以若以AB为直径的圆恰好经过点为直径的圆恰好经过点E，求出此时二次函数的表达式；，求出此时二次函数的表达式；(2)二次函数的图象过二次函数的图象过O、A(3，0)两点，两点，设二次函数的表达式为设二次函数的表达式为yax(x3)，如解图，连接如解图，连接AE、BE，当以，当以AB为直径的圆恰好经过点为直径的圆恰好经过点E时，时，AEB90，过点，过点
27、E作作EFy轴于点轴于点F，过点，过点A作作AGx轴，交轴，交FE的延长线于的延长线于点点G，则，则BFEAGE90，EBFBEF90，AEGBEF90，EBFAEG，第4题解图BFEEGA，由题易知由题易知C(1，4a)，B(0，3a)，E(1，2a)，BF5a，EF1，AG2a，EG2，解得解得aa0，a 此时二次函数的表达式为此时二次函数的表达式为y x(x3)；,EFBFAGEG 15,22aa 5,55,555第4题解图(3)在在(2)的条件下，若的条件下，若P为二次函数的图象上位于第四象限内的一个动点，为二次函数的图象上位于第四象限内的一个动点，以以P、O、A、E为顶点的四边形面积
28、记作为顶点的四边形面积记作S，则，则S取何值时，相应的点取何值时，相应的点P有且只有有且只有3个？个？(3)由由(2)得得E(1，)，A(3，0)，OA3.SOAE 3 ，设设P(m，m2 m)，其中，其中0m3，且，且m1，当点当点P在点在点E左侧时，如解图，连接左侧时，如解图，连接OE，PE，AE，过点，过点P作作PQx轴轴交交OE于点于点Q，易得，易得OE所在直线表达式为所在直线表达式为y x，则，则Q(m，m)，2 55122 553 55553 552 552 55第4题解图PQ m(m2 m)m2 m，SS四边形四边形OPEASOPESOAE 1(m2 m)(m )2 (0m1)；
29、2 55553 55551255553 55510125 5855第4题解图当点当点P在点在点E右侧时，如解图，连接右侧时，如解图，连接OE，PE，AE，过点，过点P作作PIx轴交轴交AE于点于点I，由题意可得由题意可得AE所在直线表达式为所在直线表达式为y x ，则则I(m，m )，PI m (m2 m)m2 m ，553 55553 55553 55553 55554 553 55第4题解图SS四边形四边形OEPASAPESOAE 2(m2 m )(m2)2 (1m3)，四边形面积的表达式为四边形面积的表达式为S当点当点P在点在点E左侧时，四边形左侧时，四边形OPEA的面积取最大值的面积取
30、最大值 ，此时点，此时点P的的位置就一个位置就一个 ，55125 585 58553 553 554 554 55 22515 50m11028,54 521 325mmm 4 55第4题解图令令 (m2)2 ，解得解得m2 .当点当点P在点在点E右侧时，四边形右侧时，四边形OEPA的面积等于的面积等于 的对应点的对应点P的位置的位置有两个有两个综上所述，以综上所述，以P、O、A、E为顶点的为顶点的四边形面积四边形面积S取取 时，相应的点时，相应的点P有且只有有且只有3个个5 585 58551444 555 58第4题解图综合提升综合提升三阶三阶1.(2023徐州徐州28题题10分分)如图，
31、在平面直角坐标系中，函数如图，在平面直角坐标系中，函数yax22ax3a(a0)的图象交的图象交x轴于点轴于点A、B，交，交y轴于点轴于点C，它的对称轴交，它的对称轴交x轴于点轴于点E.过过C作作CDx轴交抛物线于点轴交抛物线于点D，连接，连接DE并延长交并延长交y轴于点轴于点F，交抛物，交抛物线于点线于点G.直线直线AF交交CD于点于点H，交抛物线于点，交抛物线于点K，连接，连接HE、GK.(1)点点E的坐标为：的坐标为：_；(1,0)【解法提示】【解法提示】抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x 1，点点E的坐标为的坐标为(1，0)2ba第1题图类型三运动产生的特殊三角形问题（含菱形）
32、类型三运动产生的特殊三角形问题（含菱形）(2)当当HEF是直角三角形时，求是直角三角形时，求a的值；的值；(2)令令y0，即，即ax22ax3a0，解得解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，令令x0，则，则y3a，C(0，3a)，点点C、D关于对称轴对称，关于对称轴对称，D(2，3a)，设设DE所在直线的函数表达式为所在直线的函数表达式为yk1xb1，把把D(2，3a)，E(1，0)代入，代入，第1题图得得解得解得 y3ax3a，令令x0，得，得y3a，F(0，3a)，设设AF所在直线的函数表达式为所在直线的函数表达式为yk2xb2，把把A(1，0)，F(0，3a)代入，得代入，得1
33、11123,0kbakb 113,3,kaba 2220,3,kbba 第1题图解得解得y3ax3a，令令y3a，得，得x2，H(2，3a)，(4分分)当当HEF为直角三角形时，为直角三角形时，223,3,kaba 第1题图又又OF3a，3a1，a ；(5分分)13当当HFE90时，时，OAOE1，OFAE，AFEF，AEF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，OFOE1.第1题图当当HEF90时，时，如解图，过点如解图，过点F作作FM对称轴，交对称轴于点对称轴，交对称轴于点M，设，设HD与对称轴的与对称轴的交点为交点为N，HNEEMF90.NHENEH90，MEFNEH90NHEMEF，HNE
34、EMF，易知易知HN3，NE3a，EM3a，FM1，即即 ，解得，解得a ，a0，a ；(6分分)第1题解图HNNE,EMMF 33a31a3333当当EHF90时，时，设设HK与对称轴交于点与对称轴交于点I，在，在HNI中，中，HNI90，DHI90，EHF90，此种情况不存在此种情况不存在综上所述，当综上所述，当HEF为直角三角形时，为直角三角形时，a 或或a ；(7分分)1333第1题解图(3)HE与与GK有怎样的位置关系？请说明理由有怎样的位置关系？请说明理由(3)HEGK，理由如下：，理由如下：设直线设直线DE的函数表达式为的函数表达式为yk1xb1，将将D(2，3a)，E(1，0)
35、代入，代入，得得解得解得y3ax3a.令令ax22ax3a3ax3a，111123,0kbakb 113,3kaba 第1题图解得解得x13，x22，G(3，12a)，如解图，过点如解图，过点G作作GP对称轴，交对称轴于点对称轴，交对称轴于点P，则则P(1，12a)，由由(2)得直线得直线AF的函数表达式为的函数表达式为y3ax3a，令令ax22ax3a3ax3a，解得解得x11，x26，K(6，21a)，第1题解图设直线设直线GK的解析式为的解析式为yk3xb3，将将G(3，12a)，K(6，21a)代入，代入，得得解得解得则直线则直线GK的解析式为的解析式为yax15a，设设GK与对称轴的
36、交点为与对称轴的交点为Q，则则Q(1，16a)，PQ4a，3333123,216,akbakb 33,15,kaba第1题解图设设HD与对称轴的交点为与对称轴的交点为J，易知易知HJ3，JE3a，GP4，HJEGPQ90，HJEGPQ，HEJGQP，HEGK.(10分分)1,HJGPJEPQa 第1题解图2.(2013徐州徐州28题题10分分)如图，二次函数如图，二次函数y x2bx 的图象与的图象与x轴交于轴交于点点A(3，0)和点和点B，以，以AB为边在为边在x轴上方作正方形轴上方作正方形ABCD，点，点P是是x轴上轴上一动点，连接一动点，连接DP，过点，过点P作作DP的垂线与的垂线与y轴
37、交于点轴交于点E.1232(1)请直接写出点请直接写出点D的坐标：的坐标：_；(3,4)第2题图(2)当点当点P在线段在线段AO(点点P不与不与A、O重合重合)上运动至何处时，线段上运动至何处时，线段OE的长的长有最大值，求出这个最大值；有最大值，求出这个最大值；(2)将点将点A(3，0)代入二次函数解析式得代入二次函数解析式得0 323b ，解得，解得b1，二次函数的解析式为二次函数的解析式为y x2x ，令令 x2x 0，解得解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)OA3，OB1，AB4，则，则AD4，123212321232.第2题图设设PAt，OEl，则，则PO3t，由由DAPP
38、OEDPE90，易得，易得DAPPOE，l t2 t (t )2 (0t3)0，0 3，当当t 时，时，l有最大值有最大值 .=,DAAPPOOE4,3ttl=-14341432916143232916第2题图当当P为为AO中点时，即运动到坐标中点时，即运动到坐标(，0)时，线段时，线段OE有最大值，最有最大值，最大值为大值为 ；(4分分)32916第2题图(3)是否存在这样的点是否存在这样的点P，使，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时的坐标及此时PED与正方形与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说重叠部分的面积；若不存在，请说明理由明理
39、由(3)存在存在如解图，点如解图，点P在在y轴左侧时，连接轴左侧时，连接DE交交AB于点于点G，DAPPOEDPE90，易得易得DPAPEO.又又PDPE，DAPPOE(AAS)，第2题解图OPAD4，P点的坐标为点的坐标为(4，0)，PAOPAO431，由由DAPPOE得得OEPA1.ADy轴，轴，ADGOEG，AG AO ，重叠部分的面积为重叠部分的面积为SADG 4 ；(7分分)41AGAD,OGOE 4512512125245第2题解图如解图，点如解图，点P在在y轴右侧时，同理可证轴右侧时，同理可证DAPPOE，OPAD4，OEAPOAOP7，P点的坐标为点的坐标为(4，0)，连接，连
40、接DE交交x轴于点轴于点G，设，设DP与与BC交于点交于点Q，BQAD，PQBPDA，即即BQ ，CQ ，SCDQ CDCQ .第2题解图BPBQ,APAD 374BQ,127167 12327D(3，4)，P(4，0)，DP=DE DP ，DAGEOA，DGAEGO，AGDOGE，即即解得解得AG ，SADG ADAG ，22224765ADAP,2130AGAD,OGOE 437AG,AG 1211122411第2题解图S重叠重叠S四边形四边形DGBQS正方形正方形ABCDSADGSCDQ16 ，此时重叠部分的面积为此时重叠部分的面积为 ，综上所述，当点综上所述，当点P的坐标为的坐标为(4
41、，0)时，时，PED与正方形与正方形ABCD重叠部分重叠部分的面积为的面积为 ；当点；当点P的坐标为的坐标为(4，0)时，时，PED与正方形与正方形ABCD重叠部重叠部分的面积为分的面积为 .(10分分)2411327712777127724571277第2题解图3.如图，在平面直角坐系中，抛物线如图，在平面直角坐系中，抛物线ya(x2)(x1)与与x轴交轴交于于A，B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，P为抛物线顶点，已知为抛物线顶点，已知tanACO .12(1)求点求点P的坐标及的坐标及a的值；的值；解：解：(1)由抛物线的解析式可知，点由抛物线的解析式可知，点A(2，0)，B(1，0
42、)，tanACO ，即，即又又A(2，0)，OA2，OC4，即，即C(0，4)，将将(0，4)代入代入ya(x2)(x1)中，解得中，解得a2，y2(x2)(x1)2x22x4，第3题图1212OA,OC 抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x ，当当x 时，时，y ，点点P的坐标为的坐标为(，)；2ba1212921292第3题图(2)若若Q是抛物线上一点，当是抛物线上一点，当SABQ4SAPC时，求点时，求点Q的坐标；的坐标；(2)由由(1)得点得点P的坐标为的坐标为(，)，如解图，过点如解图，过点P作作PDy轴于点轴于点D，C(0，4)，CD 4 ，PD ，SAPCS梯形梯形APDO
43、SAOCSPCD (2)24 4 ，设设ABQ的边的边AB上的高为上的高为h，SABQ4SAPC，AB2(1)3，3h4 ，解得，解得h4，12929212121292121212121245818321232第3题解图4 ，点点Q可以在可以在x轴的上方也可以在轴的上方也可以在x轴的下方，即点轴的下方，即点Q的纵坐标为的纵坐标为4或或4，当点当点Q的纵坐标为的纵坐标为4时，时，2x22x44，解得，解得x10，x21，此时，点此时，点Q的坐标为的坐标为(0，4)或或(1，4)；当点当点Q的纵坐标为的纵坐标为4时，时，2x22x44，解得，解得x1 x2此时点此时点Q的坐标为的坐标为(4)或或(
44、4)，综上所述，点综上所述，点Q的坐标为的坐标为(0，4)或或(1，4)或或(4)或或(4)；92117,2+117,2-117,2+117,2-117,2+117,2-(3)点点M是直线是直线AC上一动点，过点上一动点，过点M作作MEx轴于点轴于点E，在，在y轴轴(原点除外原点除外)上是否存在点上是否存在点F，使得，使得MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点为等腰直角三角形？若存在，求出点F的的坐标及对应的点坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)存在存在设直线设直线AC的表达式为的表达式为ykxm，将点将点A(2，0)，C(0，4)代入代入ykxm中，
45、中，得得解得解得02,4,kmm 2,4,km 第3题图直线直线AC的表达式为的表达式为y2x4，点点M在直线在直线y2x4上，上，设点设点M的坐标为的坐标为(a，2a4)，如解图，当如解图，当EMF90时，时，MEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|a|2a4|，即，即a2a4或或a(2a4)2a4，解得解得a 或或a4，点点F1的坐标为的坐标为(0，)时，点时，点M1的坐标为的坐标为(，)，点，点F2的坐标为的坐标为(0，4)时，点时，点M2的坐标为的坐标为(4，4)；43434343第3题解图当当MFE90时，时，MEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|a|2a4|，即，即a (
46、2a4)或或a (2a4)，当当a (2a4)a2时，时，a1，2a42，此时，点此时，点F3的坐标为的坐标为(0，1)，点，点M3的坐标为的坐标为(1，2)，当当a (2a4)a2时，无解；时，无解；点点F不会在原点处，不会在原点处，MEF90.1212121212第3题解图综上所述，当点综上所述，当点F的坐标为的坐标为(0，)时，当点时，当点M的坐标为的坐标为(，)；当点；当点F的的坐标为坐标为(0，4)时，点时，点M的坐标为的坐标为(4，4)；点；点F的坐标为的坐标为(0，1)时，点时，点M的坐标为的坐标为(1，2)434343第3题解图4.如图，抛物线如图，抛物线yax2bx与与x轴交
47、于轴交于A，O两点，已知该抛物两点，已知该抛物线顶点坐标为线顶点坐标为(1，1)，点，点B横坐标为横坐标为1，BQy轴，交轴，交y轴于点轴于点Q.第4题图(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；解：解：(1)抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(1，1)，1，将顶点坐标将顶点坐标(1，1)代入代入yax2bx得，得，ab1，联立可得联立可得a1，b2，抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx22x；2ba(2)若点若点P是抛物线对称轴上一点，当是抛物线对称轴上一点，当BPOP的值最小时，求的值最小时，求QP的长；的长；(2)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x1
48、，设点，设点P的坐标为的坐标为(1，p)，如解图，作点，如解图，作点O关于抛物线对称轴的对称点，恰好为点关于抛物线对称轴的对称点，恰好为点A，连接，连接AB，与抛物线对称轴交于点与抛物线对称轴交于点P，连接，连接OP，PQ.APOP，BPOPBPAP，BPOP的最小值为的最小值为AB的长的长点点B的横坐标为的横坐标为1，B(1，3)将将y0代入代入yx22x中得中得x10，x22，第4题解图A(2，0)，设直线设直线AB的表达式为的表达式为ykxd，将点将点A(2，0)，B(1，3)代入可得代入可得 解得解得直线直线AB的表达式为的表达式为yx2.将点将点P的坐标代入直线的坐标代入直线AB的表
49、达式可得，的表达式可得，p121.点点P的坐标为的坐标为(1，1)，点点B的坐标为的坐标为(1，3)，BQy轴，轴，点点Q的坐标为的坐标为(0，3)，QP20,3,kdkd 1,2,kd 22=13 1=5 ；第4题解图(3)若点若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在一是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在一点点D，使得以，使得以A、B、D、M为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(3)存在存在设点设点D(1，m)，当当AB为菱形的边时，分两种情况讨论：为菱形的边时，分
50、两种情况讨论：当当ADAB时，时，AD2AB2(21)23218，即即(21)2m218，解得，解得m ；当当BDAB时，时，BD2AB218，17即即(11)2(m3)218，解得，解得m3 ；当当AB为菱形的对角线时，为菱形的对角线时，DA2DB2，即即(21)2m2(11)2(m3)2，解得，解得m2.综上所述，存在这样的点综上所述，存在这样的点D，使得以，使得以A、B、D、M为顶点的四边形是菱为顶点的四边形是菱形，其坐标为形，其坐标为(1，)或或(1，)或或(1，3 )或或(1，3 )或或(1，2)1417171414类型四运动产生的角度问题类型四运动产生的角度问题1.(2022徐州徐
