1、 全等三角形提高之动态几何探究题全等三角形提高之动态几何探究题 一、三垂直模型，一线三等角一、三垂直模型，一线三等角 1 （1） 如图 （1） ， 已知： 在 ABC 中， BAC90 ， AB=AC， 直线 m 经过点 A， BD直线 m, CE 直线 m,垂足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE. （2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在 ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上,并且 有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立,请 你给出证明;若不成立,请说明理由. （3）拓展与应用：如图（3） ，D、E 是 D
2、、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不 重合）,点 F 为BAC 平分线上的一点,且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE,若 BDA=AEC=BAC，试判断 DEF 的形状. 2 （1）探索发现：如图 1，已知 RtABC中，ACB90，ACBC，直线 l过点 C，过点 A作 ADl，过点 B作 BEl，垂足分别为 D、E求证：ADCE，CDBE （2）迁移应用：如图 2，将一块等腰直角的三角板 MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐 角的顶点与坐标原点 O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点 M 的坐标为（1，3） ，求点 N 的坐标 （3
3、）拓展应用：如图 3，在平面直角坐标系内，已知直线 y3x+3 与 y轴交于点 P，与 x 轴交于 点 Q，将直线 PQ绕 P 点沿逆时针方向旋转 45后，所得的直线交 x轴于点 R求点 R的坐标 第 2 页 共 7 页 3 已知ABC 和ADE都是等腰直角三角形， 点 D是直线 BC上的一动点 （点 D不与 B、C 重合） ， 连接 CE, （1）在图 1中，当点 D在边 BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图 2中，当点 D在边 BC的延长线上时，结论 BC=CE+CD 是否还成立？若不成立，请猜想 BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图 3中，当点 D在边
4、BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出 BC、CE、CD之间存在的数量关系 二、半角模型二、半角模型 4（1）如图 1，点 E、F分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD上，EAF=45 ，求证： EF=BE+FD; （2）如图 2，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180 ，点 E、F分别 在边 BC、CD上， 则当EAF与BAD满足什么关系时， 仍有 EF=BE+FD， 说明理由 （3）如图 3，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，AC 平分BCD，AEBC 于 E，AFCD交 CD延长线于 F，若 BC=8，CD=3，则 CE= .（不需证
5、明） 三、手拉手模型三、手拉手模型 5在ABC中，AB=AC，点 D是射线 CB 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，以 AD 为一边在 AD的右侧作ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE （1）如图 1，当点 D在线段 CB上，且BAC=90时，那么DCE=_度 （2）设BAC=，DCE= 如图 2，当点 D在线段 CB 上，BAC90时，请你探究 与 之间的数量关系，并证明你的 结论； 如图 3，当点 D在线段 CB 的延长线上，BAC90时，请将图 3 补充完整，并直接写出此时 与 之间的数量关系（不需证明） 第 4 页 共 7 页 6 已知点 C 为线段 AB 上一点，
6、 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 同侧作ACD 和BCE， 且 CA=CD， CB=CE， ACD=BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，若ACD=60，则AFB= ； （2）如图 2，若ACD=，则AFB= （用含 的式子表示） ； （3）将图 2 中的ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上） ， 如图 3试探究AFB 与 的数量关系，并予以证明 7图 1、图 2中，点 C为线段 AB上一点， ACM与 CBN都是等边三角形. (1) 如图 1，线段 AN 与线段 BM 是否相等？证明你的结论； (2) 如图 2，AN
7、 与 MC 交于点 E，BM与 CN 交于点 F，探究 CEF的形状，并证明你的结论. 图 1 图 2 8 （问题探索）如图 1，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D、E 分别在 AC、BC 边上， DC=EC，连接 DE、AE、BD，点 M、N、P 分别是 AE、BD、AB 的中点，连接 PM、PN、MN探 索 BE与 MN的数量关系聪明的小华推理发现 PM 与 PN的关系为 _,最后推理得到 BE与 MN的数量关系为 _. （深入探究）将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到如图 2的位置，判断（1）中的 BE与 MN的数量关 系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成
8、立，请说明理由； （解决问题）若 CB=8，CE=2，在将图 1中的 DEC 绕点 C逆时针旋转一周的过程中，当 B、E、D三点在一条直线上时，求 MN的长度 四、角平分线模型四、角平分线模型 9认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 第 6 页 共 7 页 探究1： 如图l， 在ABC中， O是ABC与ACB的平分线BO和CO的交点， 通过分析发现BOC=90 + 1 2 A,理由如下： BO和 CO 分别是ABC 和ACB的角平分线 1= 1 2 ABC, 2= 1 2 ACB l+2= 1 2 (ABC+ACB)= 1 2 (180-A)= 90- 1 2
9、 A BOC=180-(1+2) =180-(90- 1 2 A)=90+ 1 2 A (1)探究 2；如图 2 中，O是 1 2 ABC与外角 1 2 ACD 的平分线 BO和 CO的交点，试分析BOC 与A有怎样的关系？请说明理由 (2)探究 3：如图 3 中, O是外角DBC与外角ECB的平分线 BO和 CO的交点，则BOC与A 有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图 4，在四边形 ABCD 中，O是ABC与DCB的平分线 BO和 CO 的交点，则BOC 与A+D有怎样的关系？（直接写出结论） 10已知，直线 ABDC，点 P 为平面上一点，连接 AP 与 CP （1）如图 1，点 P 在直线 AB、CD 之间，当BAP=60 ，DCP=20 时，求APC 度数 （2）如图 2，点 P 在直线 AB、CD 之间，BAP 与DCP 的角平分线相交于点 K，写出AKC与 APC之间的数量关系，并说明理由 （3）如图 3，点 P 落在 CD 外，BAP 与DCP 的角平分线相交于点 K，AKC 与APC有何数 量关系？并说明理由
