1、湖北省宜昌二中2025届高三起点考试数学试题试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）AB
2、CD2在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD3已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）ABCD4要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位5下列说法正确的是（ ）A“若，则”的否命题是“若，则”B在中，“”是“”成立的必要不充分条件C“若，则”是真命题D存在，使得成立6已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为( )ABCD7连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD8已
3、知函数，其中，其图象关于直线对称，对满足的，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）ABCD9 “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中“阶幻方”是由前个正整数组成的个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）则“5阶幻方”的幻和为（ ）A75B65C55D4510已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )ABCD112019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以
4、国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）A小明B小红C小金D小金或小明12函数在上的大致图象是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图在三棱柱中，点为线段上一动点，则的最小值为_.14已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展
5、开式所有项系数之和为_.15若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是_16已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值18（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点M对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）若点A，B为曲线上的两个点且，求的值19（12分）已知函数有两个零点.
6、(1)求的取值范围；(2)是否存在实数， 对于符合题意的任意，当 时均有?若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由20（12分）设函数f(x)=x24xsinx4cosx （1）讨论函数f(x)在，上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点21（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105（
7、1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.22（10分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即
8、可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.2A【解析】根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以
9、由所以故选：A本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.3D【解析】由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，所以是函数的一条对称轴，故选：D本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.4D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；【详解】解：函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单
10、位故选：D本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题5C【解析】A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错.C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.B：在中，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C考查判断命题的真假，是基础题.6C【解析】设，则，相减得到，解得答案.【详解】设，设直线斜率为，则，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应
11、用能力.7D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，离心率，故选：D.该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.8B【解析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.
12、根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.【详解】解：已知函数，其中，其图像关于直线对称，对满足的，有，.再根据其图像关于直线对称，可得，.，.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令，求得，则函数的单调递减区间是，故选B.本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.9B【解析】计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.10B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，
13、然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，；在中，；在中，.故选：B本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.11B【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”
14、的制作者是小红，故选：B.本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.12D【解析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，故切线的斜率变小，当时，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，则，所以函数在上单调递增，令 ，当时，故切线的斜率变大，当时，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可
15、求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，三点共线时最小为，为直角三角形，故答案为：本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.1464【解析】由题意先求得的值，再令求出展开式中所有项的系数和.【详解】的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，由两式可组成方程组，解得或，令，求得展开式中所有的系数之和为.故答案为：64本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.15【解析】先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且
16、横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在和两处取得极值，所以是方程的两不等实根，且，即有两不等实根，且，令，则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，又，由得，所以，当时，即函数在上单调递增；当，时，即函数在和上单调递减；当时，由得，此时，因此，由得.故答案为本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.1640【解析】设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，等比数列的
17、各项为正数，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【解析】（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；（2），分类讨论，当时，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，【详解】解：（1）因为，两式相减得：，即，是从第二项开始的等比数列，则，；（2），当时，；当时，设递增，所以实数的最小值本题主要考查地推数列的应用，属于中档题18（1）（2）【解析】（1）先求解a,b，消
18、去参数，即得曲线的直角坐标方程；再求解，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲线的直角坐标方程；（2）由于，可设，代入曲线直角坐标方程，可得的关系，转化，可得解.【详解】（1）将及对应的参数，代入得，即，所以曲线的方程为，为参数，所以曲线的直角坐标方程为设圆的半径为R，由题意，圆的极坐标方程为（或），将点代入，得，即，所以曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程为（2）由于，故可设，代入曲线直角坐标方程，可得，所以本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19 (1)；(2).【解析】（1）对求导
19、，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得.（2）先根据，得，再根据零点解得，转化不等式得，令，化简得，因此 ，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得取值集合.【详解】（1），当时，对恒成立，与题意不符，当，时，即函数在单调递增，在单调递减，和时均有，解得：，综上可知：的取值范围；（2）由(1)可知，则，由的任意性及知，且，故，又，令，则，且恒成立，令，而，时，时，令，若，则时，即函数在单调递减，与不符；若，则时，即函数在单调递减，与式不符；若，解得，此时恒成立，即函数在单调递增，又，时，；时，符合式，综上，存在唯一实数符合题意.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构
20、造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20见解析【解析】（1）f(x)=2x4xcosx4sinx+4sinx=， 由f(x)=1，x，得x=1或或当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x1f(x)1+11+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增（2）由（1）得极大值为f(1)=4；极小值为f()=f()f(1)1，所以f(x)在，上各有一个零点 显然x(，2)时，4xsinx1，x24cosx1，所以f
21、(x)1；x2，+)时，f(x)x24x462464=81， 所以f(x)在(，+)上没有零点因为f(x)=(x)24(x)sin(x)4cos(x)=x24xsinx4cosx=f(x)，所以f(x)为偶函数，从而x1，即f(x)在(，)上也没有零点故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点21（1）；（2）分布列见解析，；小张应选择甲公司应聘.【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值（2）设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，以此类推可得：当时，当时，的值当时，的值，同理可得：当时，的所有可能取值可得的分布列及其数学期望依题意，甲公司送餐员日
22、平均送餐单数可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则 （2）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，所以的分布列为228234240247254 依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元， 因为，所以小张应选择甲公司应聘本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22【解析】将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【详解】解:将圆化成普通方程为,整理得将直线化成普通方程为因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.
