1、27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定九年级下人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.学习目标重点重点ABCDE 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法.类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？新课引入探究探究 任意画一个 ABC，再画一个 ABC，使它的各边长都是原来ABC 的各边长的 k(k0)倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ABCCBA新知学习 通过测量不难发现A=A，B=B，C=C，又因为两个三角形的边
2、对应成比例，所以 ABC ABC.下面我们用前面所学得定理证明该结论.A DDEA E.A BB CA C 证明：在线段 AB(或延长线)上截取 AD=AB，过点 D 作 DEBC 交AC于点 E.DEBC，ADE ABC.DE=BC，AE=AC.ADE ABC，ABCABC.ABBCACA BBCAC又 ，AD=AB，.DEBCB CB C A EACA CA C 归纳归纳由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似CAACCBBCBAAB ，ABC ABC.符号语言：例1.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由.AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8
3、 cm，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm.解：相似.理由如下：ABC ABC.ABBCACA BB CA C 416181=123183243,=ABBCACA BB CA C =,1.(一题多解)如图，APD=90，AP=PB=BC=CD=1，求证：ABC DBA.ACBPD AB:BC=BD:AB=AD:AC ABC DBA.证明：APD=90，AP=PB=BC=CD=1AB=，BD=2，AC=，AD=2510针 对 训 练针 对 训 练2.如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是()A.和 B.和 C.和 D
4、.和 解析：中三边：中三边：2a、中三边：中三边：2a、5a中三边：中三边：2a、中三边：中三边：、5a2 2a2 5a13a2 5a4 2a5a10aD3.如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点DE=AC，DF=BC，EF=AB1212DEDFEFACBCAB 1212探究探究利用刻度尺和量角器画 ABC 和 ABC，使A=A，量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？ABACk.A BA
5、C 如图，在 ABC 与ABC中，已知A=A，ABAC.A BAC 证明：在 ABC 的边 AB 上截取点 D，使 AD=AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E.DE BC，ADE ABC.求证：ABCABC.BACDEBACA DA E.A BAC AE=AC.又 A=A.ADE ABC，ABC ABC.BACDEBAC AD=AB，ABACA BAC，=A DA EACA BACAC，归纳归纳由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言：A=A，ABACA BAC，BACBAC ABC ABC .思考思考对于ABC 和 ABC，如果 B
6、=B，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.不一定，如下图，显然C和C不相等ABACA BAC，结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.例2.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由.A=120，AB=7 cm，AC=14 cm，A=120，AB=3 cm，AC=6 cm，解：相似.理由如下：ABC ABC.7147147=36363ABACACA BB CA C ,=ABACA BA C ,1.(一题多解)如图，APD=90，AP=PB=BC=CD=1，求证：ABC DBA.ACBPD ABC
7、 =DBAABC DBA.证明：APD=90，AP=PB=BC=CD=1，AB=，BD=2，2针 对 训 练针 对 训 练=ABBDBCAB,2.如图 AEB 和 FEC (填“相似”或“不相似”).54303645EAFCB12相似3.根据下列条件，判断 ABC 和 ABC 是否相似，并说明理由：A=120，AB=7 cm，AC=14 cm，A=120，AB=3 cm，AC=6 cm解：73ABA B，AC,AC147=63ABAC.A BAC 又 A=A，ABC ABC.解析：当 ADP ACB 时，AP :AB=AD:AC，AP:12=6:8，解得 AP=9；当 ADP ABC 时，AD
8、:AB=AP:AC，6:12=AP:8，解得 AP=4.当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和ABC 相似4.如图，已知 ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当 AP 的长度为 时，ADP 和 ABC 相似.ABCD4 或或 9 PP1如图，在菱形ABCD，ADE，CDF分别交BC，AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且ADE=CDF随堂练习(1)求证求证：CE=AF解：ADE=CDF，ADF=CDE，四边形ABCD是菱形AD=CD，DAF=DCE在ADF和CDE中 ADF=CDEAD=CDDAF=DCE ADF CDE(ASA)A
9、F=CE2.如图，在ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，PBQ 与ABC 相似?对应关系不明确,勿忘分类讨论本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论.由于B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情况讨论.解：设经过 t s 后，PBQ 与ABC 相似，那么 AP=2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t)cm.因为PBQ=ABC，所以有两种情况：(1)当 时，PBQABC，此时 ，解得 t=2.5.所以经过 2.5 s 后，PBQ 与ABC 相似.(2)当 时，PBQCBA，此时 ，解得 t=1，所以经过 1 s 后，PBQ 与ABC 相似.综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，PBQ 与ABC 相似.PBBQABBC 102t4t1020 QBBPABBC 4t1020t1020 两边成比例且夹角相等三边成比例相似三角形的判定方法BACBAC课堂小结对应巩固练习见基础题与中考新考法
