1、公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 1 页（共 23 页） 2018 年河南省开封市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（ 5 分）设 U=R，已知集合 A=x|x 1， B=x|x a，且（ ?UA） B=R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1 C（ 1， + ） D 1， + ） 2（ 5 分）若复数 z1， z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z1=1 2i，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
2、 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3（ 5 分）已知向量 =（ m 1， 1）， =（ m， 2），则 “m=2”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4（ 5 分）若 ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 5（ 5 分）已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 9S3=S6， a2=1，则 a1=（ ） A B C D 2 6（ 5 分）已知曲线 =1（ a 0， b 0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的方程为（ ） A B x2 y2=1 C D x2 y2=2 7（ 5 分）我国古代名著
3、庄子 ?天下篇中有一句名言 “一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则 处可分别填入的是（ ） 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 2 页（共 23 页） A B C D 8（ 5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1、 O2，这两个球相外切，且球 O1 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切，则两 球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影
4、是（ ） A B C D 9（ 5 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2 2 3 的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ） 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 3 页（共 23 页） A B C D 10（ 5 分）函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 11（ 5 分）抛物线 M： y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线 M上一点 P 满足 PA PF，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得 的弦长约为（参
5、考数据： 2.24）（ ） A B C D 12（ 5 分）已知函数 ，若函数 F（ x） =f（ x） 3 的所有零点依次记为 x1， x2， x3， ， xn，且 x1 x2 x3 xn，则x1+2x2+2x3+2xn 1+xn=（ ） A B 445 C 455 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（ 5 分）（ x y） 10 的展开式中， x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 4 页（共 23 页） 14（ 5 分）设 x， y 满足约束条件 ，且
6、 x， y Z，则 z=3x+5y 的最大值为 15（ 5 分）设 f（ x） = ，且 f（ f（ a） =2，则满足条件的 a的值有 个 16（ 5 分）一个棱长为 5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 12分）在 ABC中，角 A， B， C所对应的边分别为 a， b， c，且 2cosB（ acosC+ccosA）+b=0 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 a=3，点 D 在 AC 边上且 BD AC， BD= ，求 c 18（
7、 12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中， AD=2AB=4， E 是 AD 的中点将 ABE 沿BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 平面 BCDE，如图 2 （ ）求证：平面 PBC 平面 PEC； （ ）求二面角 B PE D 的余弦值 19（ 12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇， 2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计， 对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商公众号：高中数学资源大
8、全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 5 页（共 23 页） 品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ ）完成下面的 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 200 （ ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X： （ 1）求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列； （ 2）求 X 的数学期望和方差 附： P（ K2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
9、2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ ，其中 n=a+b+c+d） 20（ 12 分）给定椭圆 C： + =1（ a b 0），称圆心在原点 O，半径为的圆是椭圆 C 的 “准圆 ”已知椭圆 C 的离心率 ，其 “准圆 ”的方程为 x2+y2=4 （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）点 P 是椭圆 C 的 “准圆 ”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1， l2 交 “准圆 ”于点M， N （ 1）当点 P 为 “准圆 ”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 l1， l2 的 方程，并证明 l1l2； （ 2）求证：线段 MN 的长为定值 2
10、1（ 12 分）已知函数 f（ x） =（ t 1） xex， g（ x） =tx+1 ex （ ）当 t 1 时，讨论 f（ x）的单调性； （ ） f（ x） g（ x）在 0， + ）上恒成立，求 t 的取值范围 选修 4-4：极坐标与参数方程 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 6 页（共 23 页） 22（ 10 分）已知直线 l： 3x y 6=0，在以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 4sin=0 （ ）将直线 l 写成参数方程 （ t 为参数， 0， ），）的形式，并求曲线 C 的直角
11、坐标方程； （ ） 过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30的直线，交 l 于点 A，求 |AP|的最值 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 |x+1|+|2x 1| 3 的解集为 x|m x n （ I）求实数 m、 n 的值； （ II）设 a、 b、 c 均为正数，且 a+b+c=n m，求 + + 的最小值 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 7 页（共 23 页） 2018 年河南省开封市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题
12、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（ 5 分）设 U=R，已知集合 A=x|x 1， B=x|x a，且（ ?UA） B=R，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ ， 1 C（ 1， + ） D 1， + ） 【解答】 解： U=R，集合 A=x|x 1=1， + ）， B=x|x a=（ a， + ）， ?UA=（ ， 1）， 又（ ?UA） B=R， 实数 a 的取值范围是（ ， 1） 故选： A 2（ 5 分）若复数 z1， z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 z1=1 2i，则复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四
13、象限 【解答】 解： z1=1 2i，且复数 z1， z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称， z2= 1 2i， 则 = ， 复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ），在第四象限 故选： D 3（ 5 分）已知向量 =（ m 1， 1）， =（ m， 2），则 “m=2”是 “ ”的（ ） 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 8 页（共 23 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： =（ m 1， 1）， =（ m， 2）， ?m（ m 1） 2=0 由 m（ m 1） 2=0，解得
14、 m= 1 或 m=2 “m=2”是 “ ”的充分不必要条件 故选： A 4（ 5 分）若 ，则 sin2 的值为（ ） A B C D 【解答】 解：若 ，即 2（ cos2 sin2） = cos sin， 则 2（ cos+sin） = ，即 cos+sin= ， 1+2sincos= ，即 sin2=2sincos= ， 故选： C 5（ 5 分）已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 9S3=S6， a2=1，则 a1=（ ） A B C D 2 【解答】 解：设等比数列 an的公比为 q 1， 9S3=S6， a2=1， = ， a1q=1 则 q=2， a1= 故选： A
15、6（ 5 分）已知曲线 =1（ a 0， b 0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的方程为（ ） 公众号：高中数学资源大全 千人 QQ 群： 323031380 100G 数学资源等你来下 第 9 页（共 23 页） A B x2 y2=1 C D x2 y2=2 【解答】 解：根据题意，若曲线 =1（ a 0， b 0）为等轴双曲线，则 a2=b2， c= = a，即焦点的坐标为（ a， 0）； 其渐近线方程为 x y=0， 若焦点到渐近线的距离为 ，则有 =a= ， 则双曲线的标准方程为 =1，即 x2 y2=2； 故选： D 7（ 5 分）我国古代名著庄子 ?天下篇中有一句名言 “一尺之棰，日取其半，万世不竭 ”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如
