1、 新余市新余市重点重点高中高中 2021 届高考年级上学期第一次段考届高考年级上学期第一次段考 数学（理科）试卷 试卷总分：试卷总分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 第第 I 卷（选择题：共卷（选择题：共 60 分）分） 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分，每小题只有一个正确选项分，每小题只有一个正确选项) 1.若集合 2 lg(56),2 x Ax yxxBy y，则( RA )B （ ） A.0 |1xx B.6|0 xx C.0( |2xx D.3|0 xx 2.已知i为虚数单位，且复数z满足 1 3
2、i zi ，则z的共轭复数是( ) A3 i B3i C3i D3i 3.已知命题:0,1 x pxe 或sin1x，则 p 为( ) A0, 1 x xe 且sin1x B0,1 x xe 或sin1x C0, 1 x xe 且sin1x D0,1 x xe 或sin1x 4.“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”， 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股 圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个 相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形， 若直角三角形中较小的 锐角 6 ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落
3、在小正方形内的概率是 （ ） A. 3 1 2 B. 3 2 C. 43 4 D. 3 4 5.已知动点M的坐标满足方程 22 53412xyxy,则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 6.设函数 1 ( )ln 1 x f xx x ,则函数的图像可能为( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 2 2 logfxxx，则函数 f x的值域为（ ） A.0, B.0, C. 1 , 4 D. 1 , 4 8.已知奇函数 yf x 在 ,0 上单调递减，且 (1)0f ，若 3 1 log 8 af ， 2 1 log 4 bf ， 2 log 3cf ，则,
4、,a b c的大小关系是（ ） A.cba B.abc C.acb D.cab 9.执行如图所示的程序框图,如果输入4a ,那么输出的 n 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10. 已知ABC中， , ,D E F分别是,AB AC BC的中点，则( ) A 3 2 AFABBE uuu ruuu ruu u r B 3 2 AFABBE uuu ruuu ruu u r C 3 2 AFABBE uuu ruuu ruu u r D 3 2 AFABBE uuu ruuu ruu u r 11.已知定义在R上的函数 ( )f x满足(3)16f ，且 ( )f x的导函数( )4
5、1fxx ，则不等式 2 ( )21f xxx的解集为( ) A. | 33xx B. |3x x C. |3x x D. |3x x或3x 12. 设 定 义 域 为R的 函 数 1 2 51 ,0 ( ) 44,0 x x f x xxx ， 若 关 于x的 方 程 22 ( )(21) ( )0fxmf xm 有 5 个不同的实数解，则m （ ） A.2 B.4 C. 6 D.2 或 6 第第卷（卷（非选择题：共非选择题：共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，请将答案填到答题卡指定的横线分，请将答案填到
6、答题卡指定的横线 上）上） 13.设函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ，则 2 3log 3ff_. 14.实数 , x y满足 20 250 40 xy xy xy ,则 2zxy 的最大值是_ 15. 已知定义在R上的函数 ( )f x在1,) 上单调递减，且 (1)f x 是偶函数，不等式 (2)(1)f mf x 对任意的 1,0 x 恒成立，则实数m的取值范围是_ 16. 设 函 数 1 ( )l n2 x e fxtxx xx 恰 有 两 个 极 值 点 ， 则 实 数t的 取 值 范 围 是 _ 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共
7、70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本题 12 分）在公差不为 0 的等差数列 n a中， 1410 ,a a a 成等比数列，数列 n a的前 10 项和为 150. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 nn n aa b ，数列 n b的前n项和为 n T，求 100 T . 18. （本题 12 分） 已知三棱锥PABC的展开图如图二， 其中四边形ABCD为边长等于2的 正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥 PABC中： （1）证明：平面PAC 平面ABC； （2） 若M是PA的中点， 求二面角PB
8、CM的余弦值 19. （本题 12 分） 2020 年上半年,随着新冠肺炎疫情在全球蔓延,全球超过 60 个国家或地区宣 布进入紧急状态,部分国家或地区直接宣布封国或封城,随着国外部分活动进入停摆,全球 经济缺乏活力,一些企业开始倒闭,右表为 2020 年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统 计表: 根据右表,给出两 种回归模型: 模型:建立曲线 型 回 归 模 型 lnybxa求得 回归方程为7.2ln22.9yx 模型:建立线性回归模型ybxa. (1)根据所给的统计量,求模型中y关于 x的回归方程; (2)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数 2 R 并选择拟合精度更高,更可靠的
9、模型,预测 2014 年成立的企业中倒闭企业所占比例(结果保留 整数) 参考公式: 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx , a ybx; 2 21 2 1 1 n i i n i i yy R yy 参考数据: 5555 22 1111 80,210,55,1370.66 iiiii iiii yx yxy ,ln20.69,ln3 1.10. 20. （本题 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(1) xy Cab ab 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等 边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3； （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在过点 (0,2)P
10、的直线l与椭圆C相交于不同的两点,M N，且满足 2(OM ONO为坐标原点)若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 21.（本题 12 分）设函数 2 11 ln11 2 () 2 f xxxaxaxaaR， g xfx. (1)若1a ，求函数 g x的单调区间. (2)若函数 f x有 2 个零点，求实数 a 的取值范围. 四、选做题：请考生在第（四、选做题：请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分，作答时用题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题
11、卡上铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22 （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin2 x y （为参数） ，在以O为极 点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 C的极坐标方程为cos2 4 . （1）求曲线 1 C和 2 C的直角坐标方程； （2）若点P为 1 C上任意一点，求点P到 2 C的距离的取值范围. 23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )|6|f xxxm的定义域为 R （1）求实数 m 的取值范围； （ 2 ） 设 实 数 t 为 m 的 最 大 值 ， 实
12、数, ,a b c满 足 222 abct， 试 证 明 ： 222 111 1 111abc . 2021 届高考年级上学期第一次段考届高考年级上学期第一次段考 数学（理科）参考答案 一、选择题一、选择题 1-6.BACACB 7-12.ADBACC 二、填空题二、填空题 13.11 14.25 15. -3,1 16. 1,+ 三、解答题三、解答题 17.解： （1）设等差数列 n a 的公差为d，由 1410 ,a a a成等比数列可得， 2 4110 aa a，即 2 111 39adaad， 222 1111 699aaddaad，0d ， 1 3ad 由数列 n a 的前 10 项
13、和为 150，得 101 1045150Sad ， 即3045150dd，故 1 2,6da， 故数列 n a 的通项公式为24 n an； （2） 1 11111 2426423 n nn b a annnn 100 1 11111111 4 344556102103 T 1112 5 431 0 33 0 9 18.解： （1）设AC的中点为O，连接 ,BO PO. 由题意，得2PAPBPC，1,1POAOBOCO. 因为在PAC中，,PAPC O为AC的中点，所以POAC， 因为在POB中，1,1,2POOBPB， 222 POOBPB，所以 POOB. 因为ACOBO，,AC OB平面
14、ABC，所以PO 平面ABC，因为 PO 平面PAC，所以平面PAC 平面ABC （2） 由 （1） 问可知PO 平面ABC， 所以,POOB POOC OBAC， 于是以 ,OC OB OP所在直线分别为x轴， y 轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系， 则 11 (0,0,0),(1,0,0), (0,1,0), ( 1,0,0), (0,0,1),0, 22 OCBAPM ， 31 (1, 1,0),(1,0, 1),0, 22 BCPCMC . 设平面MBC的法向量为 111 ,mx y z，则 由 0 0 m BC m MC 得： 11 11 0 30 xy xz .令 1 1x ，
15、得 11 1,3yz ，即1,1,3m . 设平面PBC的法向量为 222 ,nxyz，由 0 0 n BC n PC 得： 22 22 0 0 xy xz ，令1x ，得 1,1yz ，即1,1,1n 55 33 cos, 3333 m n n m m n .由图可知，二面角PBCM的余弦值为 5 33 33 19.解：(1)由 55 11 15,80 ii ii xy ,可得3,16xy, 所以 5 1 5 22 1 5 2105 3 16 3 555 9 5 ii i i i x yxy b xx ,则 163 325aybx 所以模型中y过关于x的回归方程为325yx . (2)对于回
16、归方程325yx , 555 22 222 111 325961505025 iiiiiiiiii iii yyyxxx yyxy 55555 222 11111 9615050525 iiiiii iiiii xx yyxy 2 95562101370.66150 1550 805250.66 所以 55 22 11 5.800.66 ii ii yyyy , 所以模型的 2 R小于模型,说明回归模型刻画的拟合效果更好 选择模型,当6x 时,3 6257y , 所以预测 2014 年成立的企业中倒闭企业所占比例为 7%. 20.解： （1）由题意得： 222 22 3 2 b ac abc
17、，解得 2 3 a b 椭圆C的标准方程是 22 1 43 xy （2）当直线l的斜率不存在时，0, 3M， 0,3N 3OM ON ，不符合题意 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为 2ykx ， 11 ,M x y ， 22 ,N x y 由 22 1 43 2 xy ykx 消y整理得： 22 341640kxkx 2 2 1616 340kk ，解得 1 2 k 或 1 2 k 12 2 16 34 k xx k ， 12 2 4 34 x x k 2 1 2121 212 124OM ONx xy ykx xk xx 2 22 222 4 1 321612 4 343434 k
18、kk kkk 2OM ON 2 2 16 12 2 34 k k 解得 2 2 k ，满足0 所以存在符合题意的直线，其方程为 2 2 2 kx 21.解：(1)因为函数 2 11 ln11 22 f xxxaxaxa， 所以 f x的定义域为(0), ， ln11lnfxxaxaxaxa . 又 g xfx ，所以 lng xxaxa 若1a ，则 ln1g xxx ，所以 11 1 x gx xx . 令 0g x ，得01x，即当01x时，函数 g x单调递增. 令 0g x ，得1x ，即当1x 时，函数 g x单调递减. 综上可知，函数 g x的单调增区间为(0 ) 1 ,，单调减区
19、间为(1),. (2)因为 lng xxaxa ，所以 11ax gxa xx ， 1 00gaa. 又 g xfx ，所以 1 0 f . 当0a 时， 0g x ，所以函数 g x在(0), 上单调递增. 当 ) 1(0 x,时， 0g x ，所以函数 f x在(0 ) 1 ,上单调递减； 当 1 ()x, 时， 0g x ，所以函数 f x在(1), 上单调递增. 即当1x 时， f x取得最小值，为 11 10110 22 faaa . 所以当0a 时，函数 f x只有一个零点，所以0a 不满足题意. 当 1 01 a ，即1a 时， 1ax gx x . 令 0g x ，得 1 0
20、x a ；令 0g x ，得 1 x a . 所以函数 g x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a - 上单调递减. 又 10g ，所以 1 1 0, a x ，使 1 0g x 所以函数 f x在 1 (0,)x 上单调递减，在 1 (, ) 1x 上单调递增，在(1 ), 上单调递减. 作出函数 f x的示意图，如图(1). 要使函数 f x有两个零点，则当 x 趋近于 0 时， 0f x ， 即 1 10 2 a ，解得2a .所以 a 的取值范围为( 2, 1) . 当 1 1 a ，即1a 时， 1x gx x . 令 0g x ，得01x；令 0g x ，得1x . 所以函
21、数 g x在(0 ) 1 ,上单调递增，在(1), 上单调递减， 所以 10g xg ，所以函数 f x在(0), 上单调递减. 又 10f ，所以当1a 时，函数 f x只有一个零点，所以1a 不满足题意. 当 1 1 a ，即10a 时， 1ax gx x . 令 0g x ，得 1 0 x a ；令 0g x ，得 1 x a . 所以函数 g x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减. 因为 10g ，所以 2 1 ,x a ，使 2 0g x. 所以函数 f x在(0 ) 1 ,上单调递减，在 2 (1,)x 上单调递增，在 2 (,)x 上单调递减. 作出函数 f
22、 x的示意图，如图(2). 又 1 0f ，所以由图像可知， 2 xx ，使得 0f x . 所以当10a 时，函数 f x有 2 个零点. 综上可知，当 ()()2110a , 时，函数 f x有两个零点. 四、选做题四、选做题 22解： （1）由 2cos 2sin2 x y 消去参数，得 2 2 24xy 则曲线 1 C 的普通方程为 2 2 24xy. 由 cos2 4 ，得 22 cossin2 22 ，即 2xy 则曲线 2 C 的直角坐标方程为 20 xy ； （2）曲线 1 C 上的任意一点 2cos ,2sin2 到曲线 2 C 的距离为 2 2cos 2cos2sin224 2 cos 422 d 故点 p 到曲线 2 C 的距离的取值范围为 0,2. 23.解： （1）由题意知，| 6|xxm 恒成立，又| 6| |(6)| 6xxxx ，所以实数的 取值范围是6m （2）由（1）可知， 222 6abc，所以 222 1119abc 从而 222 222222 1111111 111 1119111 abc abcabc 222222 222222 11111111 3(36)1 91111119 bacacb abacbc ， 当且仅当 222 1113abc ，即 222 2abc时等号成立.
