1、力的空间积累效应力的空间积累效应1 1 、力作用在质点上运动了多远？、力作用在质点上运动了多远？2 2 、力的累积起到的效果、力的累积起到的效果.力对空间的积分（累积）力对空间的积分（累积）-功功 cosFr1、恒力的功、恒力的功定义：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘定义：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。积。rF rFW /一、功一、功 功率功率baWdWFdr2、变力的功变力的功cosbaFdr baF ds dsdrdsdrcoscosFFFFrFW dWFdr 功功力的空间积累力的空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量外力作功是外界对系统过程的一个作用量xyzF
2、F iF jF kdrdxidyjdzkdWFdrFds cos微分形式微分形式直角坐标系中直角坐标系中000 xyzxyzxyzF dxF dyF dzbxyzaWF dxF dyF dz功的几何意义功的几何意义:badsFW abasbsds Fos 合力的功合力的功:物体同时受物体同时受,12FFFn的作用的作用 BArdFW合合 BAnrdFFF)(21 BAnBABArdFrdFrdF2112nWWW结论：结论：合力的功等于各分力功的代数和。合力的功等于各分力功的代数和。注意：注意：1、功是过程量，与路径有关。、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。作
3、用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2.质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO2325.2yx42 64 xy例例1 做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF 22221111,1,239 421()24410.82xyxyxyxyxyWF dxF dyydxdyxdxdyJ XYO2325.2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx25.214
4、)6(2142)(49132,221212211 BAbxyzaWFdrF dxF dyF dz例例2、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力i tF12(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量）vdttrdFW122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttW7299363124303302 3 3、功率功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功平均功率：平均功率：瞬时功率：瞬时功率：rdFdW vFdtr
5、dFP tWP dtdWtWPt lim0重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点.bzaWFdzXYZOab gmrd bazzmgdzbamgzmgz 初态量初态量末态量末态量4 4、保守力的功保守力的功质点质点m在在质点质点M的引力作用下从的引力作用下从 a 移到移到 b 处处3barrMmWGrdrr 3barrMmGrdrr ()()abMmMmGGrr Mr rab b rdrdrb br ra ar rdrdrF Frdrrdrrdr cos 初态量初态量末态量末态量rrMmGF3 万有引力的功万有引力的功弹力的功弹力的功
6、XOab 弹簧振子弹簧振子222121bakxkx 初态量初态量末态量末态量x22xbaxba11WFdxi(kxkx)22 Fkx 做功只做功只与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关，而，而与路径无关与路径无关。典型的保守力：典型的保守力：重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是与保守力相对应的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力：摩擦力摩擦力保守力：保守力：二、二、质点质点的的动能定理动能定理动能动能221mvEk)21(2 bamvd bbdsdtdvm bamvdvbaWF ds221122bamvmv221122 bakbkakWmvmvEEE合外力对质点
7、合外力对质点所做的功所做的功等于质点等于质点动能的增量。动能的增量。功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化221122 bakbkakWmvmvEEE三、三、势能势能引入一个引入一个只与位置有关的函数只与位置有关的函数:势能函数势能函数。ab定义了势能差定义了势能差 )()(00abrMmGrMmGW引引)2121(22abkxkxW 弹弹)(abmgzmgzW 重重()()bpppaWFdrEaEbE 保保保保选参考点（势能零点）设选参考点（势能零点）设0)(bEP)(aEWPab baPPrd
8、FbEaE保保)()(质点在质点在某一点的势能大小某一点的势能大小等于在相应的等于在相应的保守力的作用下，保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。()零势能点保aprEaFdr0()MmEGr 引引212Ekx 弹Emgz 重重注意：注意：1 1）计算势能必须规定零势能参考点。）计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量势能是相对量,其量值与零势能点的选取有关。其量值与零势能点的选取有关。2 2）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应）势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应 于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能于一种保守力的函
9、数就可以引进一种相关的势能 函数。函数。3 3）势能是属于以保守力形式相互作用的）势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所物体系统所 共有的。共有的。2 2、保守力和势能的关系：、保守力和势能的关系：势能是保守力对路径的线积分势能是保守力对路径的线积分保守力沿某一给定的保守力沿某一给定的l l方向的分量方向的分量等于与此保守力相应等于与此保守力相应的势能函数沿的势能函数沿l l方向的空间变化率。方向的空间变化率。保守力所做元功保守力所做元功()零势能点保paEaFdl F Fl lA Al dlFdlFdlFldFdElp cosdldEFpl 势能是位置的函数，用势能是位置的函数，用EP(
10、x,y,z)表示，称为势函数表示，称为势函数zEFyEFxEFpzpypx ,kzEjyEixEkFjFiFFpppzyxpEkzjyix)(pE 质点所受保守力等于质点质点所受保守力等于质点势能梯度的负值势能梯度的负值Laplace算符算符pldEFdl 3、势能曲线势能曲线 势能随位置变化的曲线势能随位置变化的曲线pEyOmgyEp弹性势能曲线0,0pEx重力势能曲线0,0pEy引力势能曲线0,pErxOpE2p21kxErOpEpMmEGr 势能曲线提供的信息势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置所具有的势能值。、质点在轨道上任意位置所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率、势能
11、曲线上任意一点的斜率 的负值，表的负值，表 示质点在该处所受的保守力示质点在该处所受的保守力PdEdlXpEarABEbrcr3、势能曲线有极值，、势能曲线有极值，质点处于平衡位置。质点处于平衡位置。设系统机械能守恒，由设系统机械能守恒，由此势能曲线可分析系统此势能曲线可分析系统状态的变化。状态的变化。势阱势阱势垒势垒内力矢量和为零，但内力做功之和可不为零。内力矢量和为零，但内力做功之和可不为零。例：物体间摩擦力矢量和为零，对总动量没影响例：物体间摩擦力矢量和为零，对总动量没影响，但做功可以减小总动能。炸弹爆炸时爆炸力不改变，但做功可以减小总动能。炸弹爆炸时爆炸力不改变总动量，但增大总动能。总
12、动量，但增大总动能。作用于不同质点，质点位移可能不同。作用于不同质点，质点位移可能不同。ffWW0四、四、质点系的质点系的动能定理和功动能定理和功能原理能原理质点系的动能定理质点系的动能定理 初初末末内内外外kkEEWW 质点系的动能定理质点系的动能定理:质点系总动能的增量等于外力的功和内力的功之和。质点系总动能的增量等于外力的功和内力的功之和。iiiikikvmEE221质点系的质点系的动能动能一对内力一对内力 做功之和不一定为零做功之和不一定为零0外非保守内力保守内力KKWWWEE0 ()PPPWEEE保保守守内内力力 00()()KKPPWWEEEE外外非非保保守守内内力力0WWEE外外
13、非非保保守守内内力力功能原理功能原理:质点系在运动过程中，所受质点系在运动过程中，所受外力的功外力的功与与系系统内非保守力的功统内非保守力的功的总和等于其的总和等于其机械能的增量机械能的增量。初初末末内内外外kkEEWW 质点系的功能原理质点系的功能原理系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变在在只有保守内力做功只有保守内力做功的情况下，的情况下，质点系的质点系的机械能保持不变机械能保持不变。机械能守恒定律机械能守恒定律0WW外外非非保保守守内内力力00WW外外非非保保守守内内力力或或和和 在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量之间无
14、论怎样转换，但系统的总能量将保持形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量将保持不变不变.这就是这就是能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律.1 1）生产斗争和科学实验的经验总结；生产斗争和科学实验的经验总结；2 2）能量是系统能量是系统状态状态的函数；的函数；3 3）系统能量不变系统能量不变,但各种能量形式可以互相但各种能量形式可以互相转化转化；4 4）能量的变化常用功来量度能量的变化常用功来量度 .能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律 第一宇宙速度是指使物体可以环绕地球表面作匀速圆第一宇宙速度是指使物体可以环绕地球表面作匀速圆周运动的速度；第二宇宙速度是指物体逃脱地球引力所周运动的速度；第二
15、宇宙速度是指物体逃脱地球引力所需要的在地面上的最小发射速度，第二宇宙速度又叫逃需要的在地面上的最小发射速度，第二宇宙速度又叫逃逸速度。计算这两个速度。逸速度。计算这两个速度。,212RmRGMmv RgRGM 1v第一宇宙速度第一宇宙速度 v1：解解1361sm109.78.9104.6 v 例例 3 3第二宇宙速度（逃逸速度）第二宇宙速度（逃逸速度）v2：02122 RGMmmv132sm102.1122 RgRGMv 物体逃脱地球引力时，引力势能为零。在地面上物体逃脱地球引力时，引力势能为零。在地面上以最小发射速度以最小发射速度v2发射物体，物体逃脱地球引力时的动发射物体，物体逃脱地球引力
16、时的动能也为零。按照机械能守恒定律能也为零。按照机械能守恒定律RGM22 v星体的逃逸速度：星体的逃逸速度：cRGM 22v 如果星体的半径很小，密度很大，以致于逃逸速度如果星体的半径很小，密度很大，以致于逃逸速度超过光速超过光速星体即使发光，引力也会把光吸引回来，远处星体即使发光，引力也会把光吸引回来，远处的观察者根本接收不到该星体发出的任何信息。这的观察者根本接收不到该星体发出的任何信息。这种星体称为种星体称为黑洞。黑洞。质量分布质量分布M 的的引力半径，或临界半径。引力半径，或临界半径。cRGM c222cGMR c令令，则有，则有地球的引力半径：地球的引力半径：cmc9.0 R 寻找和确定宇宙中的黑洞，是当前天体物理学中寻找和确定宇宙中的黑洞，是当前天体物理学中的一个研究热点。的一个研究热点。黑洞附近引力极强，牛顿定律失效，但上式黑洞附近引力极强，牛顿定律失效，但上式与广义相对论所得球对称质量分布的与广义相对论所得球对称质量分布的引力半径（史引力半径（史瓦西半径）的计算公式完全相同。瓦西半径）的计算公式完全相同。
