1、一、一、波函数：波函数：平面简谐波平面简谐波:波面为平面的简谐波。波面为平面的简谐波。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。),(xtyy 设波源的振动表达式为设波源的振动表达式为(x0)0)：tAyOcos简谐振动简谐振动平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数O点的振动传到点的振动传到p点需要的时间：点需要的时间：uxt 在在p点的观察者点的观察者，认为，认为p点在点在t 时刻点所重复的时刻点所重复的振动状态是振动状态是o点在点在 时刻的运动状态时刻的运动状态()xtup点在点在t 时刻时刻的振动状态的振动状态 =o点在点在 时刻时刻的运动状态
2、的运动状态()xtu(,)cos()xy x tAtu沿沿x轴轴正向正向传播的平面简谐波波函数：传播的平面简谐波波函数：(,)cos()xy x tAtu沿沿x轴轴负向负向传播的平面简谐波波函数：传播的平面简谐波波函数：(,)cos()xy x tAtu222,uT kTyAtkxcos2cos()xyAt2cos()txyAT波函数的波函数的其它形式其它形式cosxyAtu2k角波数角波数的定义：的定义：2 uk单位距离内相位的变化。单位距离内相位的变化。yAtkxcos在下列情况下试求波函数在下列情况下试求波函数(设波速为设波速为u)：)81(4costAyA(3)(3)若若u沿沿x 轴负
3、向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？例例1:1:(1)(1)以以 A A 为原点；为原点；(2)(2)以以 B B 为原点；为原点；BA1xx已知已知A A 点的振动方程为：点的振动方程为：(1)(1)在在x轴上任取一点轴上任取一点P P，该点振动方程为：该点振动方程为：)81(4cosuxtAyp)81(4cos),(uxtAtxy波函数为：波函数为：解解:uP P 1xB BA Ax (2)(2)B B点振动方程为：点振动方程为：)81(4cos)(1uxtAtyB)81(4cos),(1uxxtAtxy)81(4cos),(uxtAtxy(3)(3)以以A A为原点：为原
4、点：以以B B为原点：为原点：波函数为波函数为:)81(4cos),(1uxxtAtxyuP P 1xB BA Ax (1)当当 x=x0固定时，固定时，表示表示 x0 处质元的处质元的振动振动函数函数.二、二、波函数波函数的物理意义的物理意义T yt0振动曲线振动曲线 x =x0121221212k(xx)x x 2波函数意义.exeyAtkxcoso1x2xx波程差波程差1221xxx21=xxmm，2 221(21)=(1)2xxmm ，2 2m为整数为整数波长波长 反映了波动在反映了波动在空间空间的周期性。的周期性。k xx 2(2)(2)当当 t=t0固定时，固定时，给出给出 t0
5、时刻空间时刻空间各点位移分布各点位移分布对应函数曲线对应函数曲线 t0时刻时刻波形图波形图.x y0波形曲线波形曲线 t=t0yAtkxcos3、如、如x、t 均变化均变化，波函数表示波形沿传播方向波函数表示波形沿传播方向 的运动情况的运动情况()xt u()xxtt u两质点的相位相同，则两质点的相位相同，则()()xxxttt uu时刻，时刻，处质点的相位处质点的相位tx 时刻，时刻，处质点的相位处质点的相位xx tt xu t 表明经过表明经过 时间，波形向前推进了的距离时间，波形向前推进了的距离 ，即即波形以速度波形以速度 u 向前传播。向前传播。tx)t,x(y)tt,xx(y 波的
6、传播过程就是波的传播过程就是波形的传播过程波形的传播过程，这种在空间，这种在空间传播的波称为传播的波称为行波行波yxuOyxuOt时刻时刻tt时刻时刻x例例2:2:已知已知t t=0=0时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿x x方向传播，方向传播，经经t t=1/2s=1/2s后波形变为曲线后波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期T T1s1s，试，试根据图中绘出的条件求出波动表达式，并根据图中绘出的条件求出波动表达式，并求求A A点的振点的振动表达式。动表达式。(已知已知A A=0.01m)=0.01m)解：解：由图可知由图可知:m04.0101sm02.02101.0txxu波速：波
7、速：s202.004.0uT2Ty(cm)x(cm)123456A原点振动表达式：原点振动表达式：)cos(tAyo0cos0时，t2,00v此时，2)cm)(2cos(01.0tyo)(cm2)02.0(cos01.0 xty波动表达式：波动表达式：A A点振动表达式：点振动表达式：2)02.001.0(cos01.0tyA(cm)cos01.0t三、三、平面简谐波平面简谐波的波动方程的微分的波动方程的微分 形式形式沿沿x方向传播的方向传播的平面波平面波波动波动方程。方程。)(cos),(uxtAtxy)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy物理量物
8、理量 在三维空间中以波的形式传播，在三维空间中以波的形式传播，其波动分方程一般形式为：其波动分方程一般形式为：zyx,2222222221tuzyx 2222222zyx 拉普拉斯算符拉普拉斯算符22221tu 平面波的波动微分方平面波的波动微分方程程平面简谐平面简谐纵波纵波在直棒中的传播在直棒中的传播四四、波的能量、波的能量)(cosuxtAy1.1.介质元的能量介质元的能量1)1)介质元的振动动能：介质元的振动动能：xSVmddd2kd21dvmW)(sinuxtAtyvVuxtAWd)(sin21d222k2)2)介质元的弹性势能：介质元的弹性势能：222pk1xdWAsin(t)dVd
9、W2u2p1dWk(dy)2 VuxtAWd)(sin21d222k3)3)介质元的总能量：介质元的总能量：222kpddddsin()xWWWAtVu222kpddddsin()xWWWAtVu结论结论(1)(1)介质元介质元dV 的总能量：的总能量：周期性变化周期性变化(2)(2)介质元的动能、势能变化是介质元的动能、势能变化是同周期同周期的，且相等的，且相等.(3)(3)机械能机械能不守恒不守恒，因为不是孤立体系，有，因为不是孤立体系，有能量传播能量传播.ABC波腹波腹xx波谷波谷4)4)最大位移处最大位移处:kp0EE平衡位置处平衡位置处:kp0max,yEEE222kp1ddd2xW
10、WAtVusin()2.2.波的能量密度波的能量密度单位体积单位体积介质中的波动能量介质中的波动能量.1)1)能量密度：能量密度：222ddsin()WxwAtVu2)2)平均能量密度：平均能量密度：22201dsin()TxwAttTu2212wA一个周期内一个周期内的平均值的平均值.单位时间单位时间内垂直通过介质中内垂直通过介质中某一面积某一面积的波的能量的波的能量uudt1)能流能流(P P)：2)2)平均能流：平均能流：PwuS 一个周期内的平均值一个周期内的平均值.3 3、能流和能流密度、能流和能流密度w udt SPwuSdt ()pIwAS 2212uu3)能流密度能流密度（波的
11、强度）（波的强度）:通过通过垂直于垂直于波传播方向波传播方向 的的单位面积单位面积的的平均能流平均能流 强度为强度为 I I 的波，传播方向的波，传播方向与平面的夹角为与平面的夹角为，则穿过则穿过该平面的平均能流该平面的平均能流密度密度为为 cosII 能流密度为能流密度为矢量矢量，方向与波速方向相同，即，方向与波速方向相同，即2212IA un uS SIpIwAS 2212uu四、波能量的吸收四、波能量的吸收吸收媒质吸收媒质,实验表明：实验表明：xAAddxeII200IxIxOdx 为为介质吸收系数介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波，与介质的性质、温度、及波的频率有关的频率有关IxIxI0I0 xOxeAA02AI
