1、7.1 一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程 7.2 奇解奇解 7.3 包络包络7.4 奇解的存在定理奇解的存在定理 第第7章奇章奇 解解 理理 论论7.1一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程作为对初等积分法的补充，本节讨论一阶隐式方程 d(,)0dyF x yx(7.1)的几个特殊解法.这里所谓隐式的含义，是指在方程中未知函数的微商 没有预先表示为(x,y)的显函数.ddypx1.微分法微分法设从微分方程(7.1)中可显式解出未知函数：),(pxfy(7.2)其中ddypx.设函数),(pxf对),(px是连续可微的.则由方程(7.2)对x进行微分，我们得到 d(,)(,)dxpppfx pfx p
2、x或(,)d(,)d0 xpfx ppxfx pp这是一个关于变量x和p的一阶显式微分方程.如果能得到方程(7.3)的通解p=u(x,C)，那么就可得到方程(7.2)的通解 ,(,)yf x u x C其中C是一个任意常数；另外，若方程(7.3)有特解p=(x)，则方程(7.2)有相应的特解：)(,(xxfy在某些情况下，方程(7.3)的通解容易写成x=v(p,C)的形式，则方程(7.2)的通解可写成),),(),(pCpvfyCpvx这里p视为一个参变量；同样，如果方程(7.3)有特解x=z(p)，则方程(7.2)有相应的特解：).),(),(ppzfypzx例例7.1求解克莱罗方程 d()
3、()dyyxpf ppx(7.4)其中f(p)0.解解利用微分法，我们得到 dd(),ddppppxfpxx即d()0.dpxfpx当时，我们有p=C.因此，克莱罗方程(7.4)的通解为 0dxdp)(CfCxy其中C是一个任意常数.当x+f(p)=0时，克莱罗方程(7.4)的一个特解为)()(),(pfppfypfx(7.6)其中p当作参数.注意，因为f(p)0，所以由x=-f(p)可得反函数p=(x).然后代入上式，特解式(7.6)可写成如下形式：()()yxxfx(7.7)它的微商为y=(x).由此可以推出，在x=x0处特解式(7.7)的切线为)(00CfxCy其中)(00 xC.这就证
4、明特解(7.7)在各点都有通解(7.5)中的某一解在该点与其相切；另外，由于0)()(1 xfx，所以)(x不是常数.因此，特解(7.7)不能由通解(7.5)给出.作为例子，当241)(ppf时，克莱罗方程的积分曲线族的图形见图 7.1.图7.1例例7.2求解微分方程.092)(2xyyyx(7.8)解解由一阶隐式方程(7.8)可得到 9()22xxpypyp然后，用微分法推出 219d022dppxpx(7.9)它蕴含xpdxdp和92p.由此可得方程(7.9)的通解Cxp，以及两个特解3p和3p.所以我们求得微分方程(7.8)的通解 2229xCCy(7.10)和两个特解为.3,3xyxy
5、(7.11)注意，通解式(7.10)不包括特解式(7.11)；它们的图形见图7.2，其主要特征为在这两个特解上的每一点（原点O除外）都有通解中的某个解在该点与其相切.图7.22.参数法参数法设微分方程不明显包含自变量，即 d(,)0dyF y ppx(7.12)作为变元y和p之间的联系，方程(7.12)在(y,p)平面上一般表示若干条曲线.设)(),(thptgy(7.13)是其中一条.称式(7.13)为式(7.12)的一个参数表示.为了下面讨论的需要，设g(t)、g(t)和h(t)都是参数t的连续函数，而且设h(t)0.根据上述微分方程的参数表示，我们有 1()ddd.()g txytph
6、t再利用积分，可得()d()g txtCh t因此，微分方程(7.12)有通解：()d,()()g txtCyg th t(7.14)例例7.3求解微分方程 22d1.dyyx(7.15)解解显然,方程(7.15)有参数表达式 dcos,sin().dyytttx (7.16)由此可以推出11dddcosdsinsinxytttt 从而我们得到 xtC 因此，微分方程(7.15)的通解为;cos,tyCtx如果消去参数t，我们得到通解为 cos()yCx对于方程(7.15)，除了参数表达式(7.16)，还有 d1,0.dyyx(7.17)易知y=1和y=-1是微分方程(7.15)的两个特解；对
7、于方程(7.15)还可设 d0,1dyyx 但是，y=0不是微分方程(7.15)的解.因此，微分方程(7.15)有通解式(7.17)，另外还有特解y=1和y=-1.请读者自己动手画出积分曲线的图形，并注意通解与特解(y=1)之间的关系.显然，上面对方程(7.12)所用的参数法也一样适用于如下的微分方程：d,0.dyF xx一般而言，一阶隐式微分方程 d(,)0()dyF x y ppx(7.18)在(x,y,p)空间表示曲面.设它的参数表达式为),(),(),(vuhpvugyvufx这里u和v是两个参数.因为dy=pdx，所以我们有 dd(,)(dd)uvuvgugvh u vfufv它可以
8、写成如下形式：(,)d(,)d0M u vuN u vv(7.19)其中).,(),(),(),(),(),(),(),(vufvuhvugvuNvufvuhvugvuMvvuu如果我们能求得一阶显式微分方程(7.19)的通解(,)vQ u C(7.20)则微分方程(7.18)有通解 ,(,),(,)xf u Q u Cyg u Q u C其中u是参变量，而C是一个积分常数；另外，如果方程(7.19)除通解式(7.20)外还有特解v=S(u)，则)(,(),(,(uSugyuSufx是微分方程(7.18)的特解.例例7.4用参数法求解微分方程 2d0dyyxx(7.21)解解令u=x和 为两个
9、参变量，则可由方程(7.21)得到 ddyvx2d,.dyxuvyuvx因此，我们得到 dd2 dddyuv vvxu亦即(1)d2 d0.vuvv容易求得它的通解为 Cvvu2)1ln(2和一个特解v=1.由此得到微分方程(7.21)的通解 222)1ln(2,)1ln(2vvvCyvvCx和一个特解 1,uyux（亦即y=x-1）.例例7.5求解微分方程 1)(22 yx解解令y=cost，则 txsin又因为dy=ydx，即得 2dcosdyt t 两边积分，得 Ctty42sin2于是，方程的参数形式的通解为 Cttytx42sin2sin7.2奇解奇解在7.1节我们已经看到某些一阶隐
10、式微分方程的个别解具有特殊的几何意义，即它们分别满足下述奇解的定义.定义定义7.1设一阶微分方程 d,0dyF x yx(7.22)有一个特解:()().yxxJ如果对每一点Q，在Q点的任何邻域内方程(7.22)有一个不同于的解在Q点与相切，则称是微分方程(7.22)的奇解.例如，y=3x和y=-3x(x0)是微分方程(7.8)的奇解（见图7.2），y=1和y=-1是微分方程(7.15)的两个奇解，而式(7.7)是克莱罗方程(7.4)的奇解（见图7.1）.下面的定理给出了奇解存在的必要条件.定理定理7.1设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G是连续的，而且对y和p有连续的偏微商Fy和Fp若函
11、数y=(x)(xJ)是微分方程(7.22)的一个奇解，并且)()()(,(JxGxxx则奇解y=(x)满足一个称之为p判别式的联立方程:d(,)0,(,)0()dpyF x y pFx y ppx(7.23)（设从方程(7.23)中消去p得到方程(,)0 x y(7.24)则称由此所决定的曲线为方程(7.22)的p判别曲线.因此，微分方程(7.22)的奇解是一条p判别曲线.）证明证明因为y=(x)是微分方程(7.22)的解，所以它自然满足上述p判别式(7.23)的第一式.现证它也满足第二式.假设不然,则存在x0J，使得 000(,)0pFxyp其中y0=(x0)和p0=(x0).注意 0),(
12、000pyxF和.),(000Gpyx因此，我们可以利用隐函数定理推出，由方程(7.22)在(x0,y0)附近唯一地确定了 d(,),dyf x yx（7.25）其中函数f(x,y)满足：f(x0,y0)=p0.这就证明了微分方程(7.22)所有满足y(x0)=y0,y(x0)=p0的解必定是微分方程(7.25)的解.另一方面,由于函数f(x,y)在(x0,y0)点的某邻域内是连续的，而且对y有连续的偏微商:),(,(),(,(),(yxfyxFyxfyxFyxfpyy因此由皮卡定理可知，微分方程(7.25)满足初值条件y(x0)=y0的解是存在而且唯一的.由此可见，y=(x)在x=x0处的某
13、一邻域内是微分方程(7.25)经过(x0,y0)点的唯一解.这就证明了，在(x0,y0)点附近不可能存在微分方程(7.22)的其他解在该点与y=(x)相切.这个结论与y=(x)是奇解的假设不能相容.因此，上述反证法的假设不能成立，故y=(x)也满足上述p判别法的第二式,从而定理7.1得证.容易验证，微分方程(7.8)的奇解y=3x和y=-3x满足相应的p判别式:;022,0922yxpxypxp微分方程(7.15)的奇解y=1和y=-1满足相应的p判别式:;02,0122pyp同样，克莱罗方程(7.4)的奇解式(7.7)也满足相应的p判别式:.0)(,0)(pfxypfxp这里须注意，由p判别
14、式确定的函数y=(x)不一定是相应微分方程的解；即使是解，也不一定是奇解.例如，微分方程(7.21)的p判别式为;02,02pxyp消去p后即得y=x.但是，y=x不是微分方程(7.21)的解.又如，微分方程 22d0dyyx(7.26)的p判别式为;02,022pyp消去p，即得y=0.它是微分方程(7.26)的解.但是，容易求出方程(7.26)的通解为y=Cex，由此容易验证y=0不是奇解.也就是说，定理7.1虽然把寻找微分方程(7.22)的奇解的范围缩小到它的p判别式(7.23)或(7.24)，但是由p判别式规定的函数y=(x)仍需根据奇解的定义经过验证才能确认它是否为奇解.而在不知道通
15、解的情况下很难进行这种验证.下面的定理在某种条件下克服了这一困难.定理定理7.2设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G是二阶连续可微的.又设由微分方程(7.22)的p判别式 0),(,0),(pyxFpyxFp(7.27)（消去p后）得到的函数y=(x)(xJ)是微分方程(7.22)的解.而且设条件 0)(),(,(,0)(),(,(xxxFxxxFppp(7.28)以及 0)(),(,(xxxFp(7.29)对xJ成立(条件式(7.29)也是必要的)，则y=(x)是微分方程(7.22)的奇解.定理7.2的证明有一定的难度，而且它已超出一般常微分方程大纲的范围.因此，我们把它放在7.4节，供
16、有兴趣的读者参考.下面我们举例说明定理7.2的一个应用.考虑微分方程 2d(1)dxyyyyex(7.30)它的p判别式为 0)1(2,0)1(222ypyepyxy消去p，即得y=0.易知y=0是微分方程(7.30)的解,而且满足条件式(7.28)和(7.29)，即,2)0,0,(,1)0,0,(xFxFppy0)0,0,(xFp例例7.6求微分方程)1(12yyy的奇解.221,1),(yyyfyyxf解解 所以它的特解y=1可能破毁解的唯一性，它可能是奇解.由分离变量法，求得方程的通解是)()sin(xCxy易知1,1yy，分别与曲线族中每一条曲线相切于点1,2C及 1,2C，故1,1y
17、y，均是方程的奇解.7.3包络包络本节将采用微分几何学中有关曲线族的包络的概念阐明奇解与通解之间的联系，以及讨论寻求奇解的方法.设单参数C的曲线族 0),(:)(CyxVCK(7.31)其中函数),(CyxV对DCyx),(是连续可微的.例如，单参数C的曲线族：1),0(22CCyx 2)(1)(2CCxy 在平面上分别表示一个以原点为中心的圆族和一个顶点在直线1y上的抛物线族.定义 7.2 设在平面上有一条连续可微的曲线.如果对于任一点q，在曲线族(7.31)中都有一条曲线)(CK通过q点并在该点与相切，而且)(CK在q点的某一邻域内不同于.则称曲线为曲线族(7.31)的一支包络.例如，直线
18、1y是上面的抛物线族 2)的包络；而直线族241CCxy有包络为2xy（参见图 7-1）.并不是每个曲线族都有包络，例如上面的同心圆族 1)就没有包络.注 7.2 我们在这里对包络所下的定义与一般微分几何学所给的定义稍有不同，那里要求曲线族中的每一曲线都与包络相切，而这里的定义对微分方程的应用比较方便（见下面的例 7.8）.定理定理7.3设微分方程 d,0dyF x yx(7.32)有通积分为 0),(CyxU又设（积分）曲线族式(7.33)有包络为)()(:Jxxy则包络y=(x)是常微分方程(7.32)的奇解.证明证明根据奇解和包络的定义，我们只需要证明是微分方程(7.32)的解.在上任取
19、一点(x0,y0)，其中y0=(x0).则由包络的定义可知，曲线族式(7.33)中有一条曲线y=u(x,C0)在(x0,y0)点与y=(x)相切，即),()(),()(000000CxuxCxuxx因为y=u(x,C0)是微分方程(7.32)的一个解，所以.0),(),(,(00000CxuCxuxFx因此，Fx0,(x0),(x0)=0.因为x0J是任意给定的，所以y=(x)是微分方程(7.32)的解.定理7.3证毕.定理定理7.4设是曲线族式(7.31)的一支包络,则它满足如下的C判别式：0),(,0),(CyxVCyxVC(7.34)或（消去C，所得到的关系式）.0),(yx(7.35)
20、证明证明根据包络的定义，我们可对包络给出如下的参数表达式：)(),(),(ICCgyCfx其中C为曲线族式(7.31)的参数.因此，我们推出).(0),(),(ICCCgCfV因为包络是连续可微的，所以我们不妨设f(C)和g(C)对C也是连续可微的.由此推出).(0)()(ICVCgVCfVCyx(7.37)其中yxVV,和CV同在),(),(CCgCf点取值.设对于任意给定的IC，当)0,0()(),(CgCf或)0,0(),(yxVV(7.38)成立时，则由式(7.37)推出 0),(),(CCgCfVC(7.39)当式(7.38)不成立时，则有)0,0()(),(CgCf或).0,0()
21、,(yxVV这 表 示 包 络在 点)(),()(CgCfCq的 切 向 量)(),(CgCf，以及通过)(Cq点的曲线0),(CyxV在)(Cq点的切向量),(xyVV都是非退化的.由于这两个切向量在)(Cq点是共线的，所以有 0)()(yxVCgVCf由它与式(7.37)可推出式(7.39)成立.因此，对任何CI，关系式(7.36)和(7.39)同时成立.这就证明了包络满足C判别式(7.34).定理7.4证毕.反之，满足C判别式的曲线未必是相应曲线族的包络（参看例7.7）.下述定理给出了包络的一个充分条件.定理定理7.5设由曲线族式(7.31)的C判别式 0),(,0),(CyxVCyxV
22、C确定一支连续可微的曲线)()(),(:JCCyCx而且它满足非蜕化性条件：)0,0(),(),0,0()(),(yxVVCC(7.40)其中),(),(CCCVVxx与),(),(CCCVVyy.则是曲线族(7.31)的一支包络.证明 在上任取一点)(),()(CCCq，则有.0),(),(,0),(),(CCCVCCCVC （7.41）因为)0,0(),(yxVV，所以可对方程(7.31)在)(Cq点利用隐函数定理确定一条连续可微的曲线)(:xhyC或)(ykx，它在)(Cq点的斜率为 ),(),(),(),(CCCVCCCVmyxC；或曲线C在)(Cq有切向量为 ).,()(xyVVC
23、而在q(C)点的切向量为()(),()v CCC另一方面，由式（7.41)中的第一式对C求微分得到 0)()(CyxVVCVC再利用式(7.41)中的第二式推出.0)()(yxVCVC这就证明了切向量(C)和v(C)在q(C)点是共线的，亦即曲线族式(7.31)中有曲线C在q(C)点与相切.我们还需证明曲线C与不同.事实上，曲线以C为参数，对于取定的C，它是一个点，因此它不含在曲线族式(7.31)中.综合上面的结论可知，是曲线族式(7.31)的一支包络.定理7.5证毕.例例7.7试求微分方程 22d4(1)d9yyyx(7.42)的奇解.解解首先，我们不难求出微分方程(7.42)的通积分为 0
24、)3()(22yyCx(7.43)其中,C为任意常数(-C).再由相应的C判别式 0)(2,0)3()(22CxyyCx(7.44)确定两支连续可微的曲线y=0和y=3，它们分别有如下形式的参数表达式：)(0,:1CyCx)(3,:2CyCx容易验证1满足相应的非蜕化性条件式(7.40).因此，1是积分曲线族式(7.43)的一支包络，从而它是微分方程(7.42)的奇解.而2不满足非蜕化性条件，所以还不能由定理7.5断言2是否为包络.易知2并不是微分方程(7.42)的积分曲线，从而不可能是奇解.因此，由定理7.3得知，2不是式(7.43)的包络.当然，我们也可以利用简单的作图直接验证这一事实.作
25、图时须注意，在方程(7.42)中y不能取负值，而且积分曲线 yyCx)3(与直线y=3相交于(C,3)点，但二者并不相切.例例7.8求解微分方程 4322ddd0.dddyyyyyxxx(7.45)解解微分方程可写成0)1()(23yyy它等价于(y)3=y2或y=1.由此分别求解，得到 31)(271Cxy2Cxy或其中,C1和C2为任意常数.不失一般性，可取C1=C2，得到方程(7.45)的通积分为.0)()(2713CxyCxy(7.46)它的C判别式为.0)()(91)(271(,0)()(271(233CxyCxCxyCxyCxy由此得到).(0,:CyCx易知，是式(7.46)中第
26、一个曲线族的包络.因此，y=0是奇解.注意，在(积分)曲线族式(7.46)中y=x-C与奇解y=0相交而不相切.因此，如果按照微分几何中通常对包络的定义，y=0就不是曲线族(7.46)的包络，从而不能采用求包络的方法得到这个奇解.而我们对包络的定义却避免了这个技术上的麻烦.7.4奇解的存在定理奇解的存在定理我们来证明在7.2节中叙述的定理7.2，它是有关奇解的一个存在定理.证明证明因为y=(x)是微分方程(7.22)的解，所以有).(0)(),(,(JxxxxF(7.47)另一方面，由条件式(7.29)，有).(0)(),(,(JxxxxFp(7.48)现在对微分方程(7.22)作变换，y=(
27、x)+u，这里u是新的未知函数,则有d(,)0duH x u qqx(7.49)其中函数)(,)(,(),(qxuxxFquxH对(x,u,q)在某一区域内是连续可微的.任给x0J，则函数H(x0,u,q)对(u,q)在(0,0)点的邻域内是二阶连续可微的，而且式(7.47)和(7.48)蕴含条件：0)0,0,(,0)0,0,(00 xHxHq(7.50)而(7.28)蕴含条件.0)0,0,(,0)0,0,(00 xHxHqqu(7.51)由这些条件的几何意义易见，在区间0u0，其中0是充分小的常数，使得.0)(,(0uuxH(7.52)取充分小的u0(0,0),则q0=(u0)也是充分小的.
28、因此，由式(7.52)和(7.51)有.0),(,0),(000000quxHquxHq然后可对式(7.49)利用隐函数定理得到 d(,)duf x ux(7.53)其中函数f(x,u)在(x0,u0)点的某一区域内是连续的，而且对u有连续的偏微商，另外f(x0,u0)=q0.因此，微分方程(7.53)存在唯一的解，从而微分方程(7.49)存在唯一的解：0()()uu xxxd(7.54)满足条件：0000)(,)(qxuuxu注意，由式(7.54)给出的解u=u(x)是微分方程(7.49)的非零解，只要u00.另一方面，u=0是微分方程(7.49)的零解.如果我们能证明u=0是微分方程(7.
29、49)的奇解，那么也就证明了y=(x)是微分方程(7.22)的奇解.因此，我们只需证明：对充分小的u0，解u=u(x)与u=0相交而且相切，亦即 0)(,0)(00 xuxu(7.55)其中0 x可以充分靠近0 x，只要00u充分小.以下设)(xuu 是由(7.54)给出的.注意，当x在0 x的近旁时，0)(xu，而且)(xuu 满足(7.49).现在，对式(7.49)的左端函数进行泰勒展开，得到一个恒等式：d(,(),()(,(),()(,(),()dypuF xxxF xxx uFxxxx221d()2()()02dyyypppduuFuFuFdxx其中)(),(ypyyFF和)(ppF是
30、x的连续函数，而且当00u时，我们有.0)(),(,()(xxxFFpppp因此，上面的恒等式可以写成如下形式：22000dd2(,)(,)(,)dduuA x u uB x u uC x u uxx其中,A(x,u0)、B(x,u0)和C(x,u0)是连续函数，而且 2(,(),()(,0),(,(),()(,(),()(,0),(,(),()2(,(),()(,0)0.(,(),()yppypppyyppF xxxA xFxxxFxxxB xFxxxFxxxC xFxxx 由此推出 2220000d(,)(,)(,)(,)duA x u uC x u uAx uB x uux,),(),(),(0020uuuxBuxAuxC亦即 0d(,)duE x uux(7.56)其中,连续函数E(x,u0)为)(),()(),(),(),(00020 xuuxAxuuxBuxAuxC由此可见，当u(x)充分小时，有.0)0,()0,(0axCxE(7.57)因此，由式(7.56)可以得到 02001()(,)d2xxu xuE x ux再由式(7.57)推出，在x0的左侧近旁存在 x0，使得 00001(,)d0.2xxuE x ux从而上面所得的解u=u(x)满足条件式(7.55).定理7.2证毕.
