1、4.1 常系数齐次线性方程的解法常系数齐次线性方程的解法 4.2 常系数齐次线性方程组的解法常系数齐次线性方程组的解法 4.3 算子解法与拉氏变换法算子解法与拉氏变换法 第第4章常系数线性方程章常系数线性方程4.1常系数齐次线性方程的解法常系数齐次线性方程的解法在这一节里，我们考虑具有常系数a1,a2,an的齐次线性方程:将微分算子dtd记为D，并令)(,12nnDDDDDD，则上述方程可以写成 0111xaDxaxDaxDnnnn若记，则方程可简记为 nnnnaDaDaDDP111)(0)(xDP(4.1)如果能看出它的n个线性无关的解，则可立即得到它的通解.但是怎么看出来呢？欧拉提出了一种
2、方法，即待定指数函数法：设想方程(4.1)有指数形式的解：tex(4.2)其中,是待定常数.把它代入方程(4.1)，反复利用公式，就得到 ttedtde0)(teP这表明：式(4.2)是方程(4.1)的解，当且仅当满足:0)(P(4.3)由此可见，在求解方程(4.1)时，多项式P()很重要，我们称它为方程(4.1)的特征多项式，而称式(4.3)为方程(4.1)的特征方程，其根称为方程(4.1)的特征根.例例4.1解方程 0 xx 解 与它相应的特征多项式为12，相应的特征根为1和1，相应的解为tex和tex.这两个解相应的朗斯基行列式 02)(tttteeeetW即它们线性无关，因而构成一个基
3、本解组，所以原方程的通解是 ttececx21其中,c1和c2是任意常数.方程(4.1)的特征多项式P()是的n次多项式.如果它可以分解为一次因式，即 rnrnnP)()()()(2121其中)(,1jinnnjir，则方程(1.1)便可以改写为 0)()()(2121xDDDrnrnn由此知方程0)(xDrnr(4.4)的解都是方程(4.1)的解.为了解方程(4.4),注意利用归纳法容易证明公式)()()(txDetxeDmttm(4.5)其中m为任意正整数，是任何复数.取m=ni，=-i,利用式(4.5)可将方程(4.4)化成0)(txeDtnii容易看出它的通解为 tnniiietctc
4、cx)(121从而得到方程(4.4)的一个基本解组：tnttiiiiettee1,令i=1,2,r，我们便得到方程(4.1)的如下n个解：tnttiettee11111,1tnttrrrrettee其中每一行中的解彼此是线性无关的.下面证明：这n个解线性无关.假若不然，则有不全为零的n个常数1,n,使得 0)()(11121111tnnnntnnrrretett或简记为 0)()(11trtretpetp(4.6)其中)(,),(1tptpr都是多项式，由于n,1不全为零，多项式)(,),(1tptpr中至少有一个是非零的，不妨认为)(1tp是非零多项式.现以tre乘(4.6)两端，然后微商r
5、n次，再用tre乘两端，便得 0)()(111)1(11trtretpetp(4.7)其中)(1tpi仍是一多项式，且其次数与)(tpi的次数相同.接着再以tre1乘(4.7)两端，微商1rn次，然后用tre1乘，进而得 0)()(212)2(12trtretpetp其中)(2tpi是次数与)(1tpi的次数、从而也与)(tpi的次数相同的多项式.如此继续下去，经1r步便得到 0)(1)1(1tretp(4.8)其中)()1(1tpr是次数与)(1tp次数相同的多项式,因而是非零多项式.但要(4.8)成立，除非)()1(1tpr是零多项式，矛盾.因此我们有如下定理：定理4.1如果方程(4.1)
6、的特征多项式P()可以分解为 rnrnnP)()()()(2121其中，,则函数组)(,1jinnnjirtnttettee11111,1tnttrrrrettee是方程(4.1)的一个基本解组.例例4.2解方程 解解写出特征多项式，并作因子分解：023)4()5(xxx)1)(2(23)(3345P可见特征根是0(3重)，1(1重)和2(1重).因此相应的基本解组为 tteett22,1而通解便是 ttecectctccx2542321例4.3解方程 03443)4()5(xxxxxx解解写出它的特征多项式，并分解因子，有)()1(13443)(32345iiP可见特征根是1(3重)，i(1
7、重)，-i(1重)，相应的基本解组为 ititttteeettee,2通解为itittececetctccx542321)(其中,任意常数c1,c5可以是复数.由于特征多项式可能有不是实数的根，因此定理4.1给出的基本解中有的可能不是实值函数.能否进一步得到全部都由实值函数构成的基本解组呢？回答是肯定的.事实上，由于方程(4.1)的系数ai都是实的，它的特征多项式是实系数多项式，因此若复数0=+i是n0重特征根，则其共轭复数 也是n0重特征根.定理4.1给出的基本解组中将同时出现:i0tnttettee00001,tnttettee00001,(4.9)(4.10)把式(4.9)与(4.10)
8、中各对应函数分别相加后除以2和分别相减后除以2i，便得到2n0个实值解：tetttetetnttcos,cos,cos10tetttetetnttsin,sin,sin10其实，它们就是式(4.9)中各函数的实部和虚部.以它们替代基本解组中的式(4.9)和(4.10),并且对其他复的特征根也做如此替代，就可得到一个实的基本解组；它们之间线性无关是明显的，因为原基本解组中的每一个解，都可以表示成这组解的线性组合.例例4.4求例4.3中方程的实基本解组.解解注意 titeitsincos ttetteetttsin,cos,2故有实基本解组:4.2常系数齐次线性方程组的解法常系数齐次线性方程组的解
9、法现在转到常系数齐次线性方程组ddxAxt其中x是n维向量，A是nn阶常矩阵.1.矩阵指数函数矩阵指数函数eAt设x0为任意n维常向量.由定理3.1知，方程组(4.11)初值条件x(0)=x0的解(t)在-t0)是微分方程 xexyyy)64(2的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为0，试求：(1)曲线y=f(x)(x0)到x轴的最大距离；(2)0d)(xxf解解对应齐次方程的通解为 xxececy2121非齐次方程的一个特解为y=x2e-x,故原方程的通解为 xxxexececxfy22121)(由 初 始 条 件0)0(,0)0(ff得021 cc，即xexxf2)(.(1)
10、由于0 x时，0)(2 xexxf，故求)(xfy 到x轴的最大距离即是求y的最大值,0)2()0(,)2(yyexxyx02)2(,)24(22 eyexxyx故)(xf在2x处取最大值，所求最大距离为2/4)2(ef.(2)22|)(0002dxxeexdxxfxx例例4.14单位质量的质点受外力作用沿x轴作直线运动，记t时刻质点的位移为x=x(t)，设质点同时受三种外力作用：(1)弹性恢复力：4x(力的方向与位移x的方向相反)；(2)阻力：2x(t)(阻力的方向与速度x(t)的方向相反)；(3)周期性外力：6cos3t-5sin3t.求质点的运动规律(即求函数x(t),并分析当t充分大时质点的运动状态.解解由牛顿定律得运动方程为 ttxxx3sin53cos642 对应的齐次方程的通解为 teCteCxtt3sin3cos21原方程有一个特解:tttDDx3sin)3sin53cos6(42120故质点的运动规律为ttCtCext3sin)3sin3cos(21当t充分大时，质点近似于作周期为的正弦运动.32
