1、类型三 二次函数与面积有关的问题（专题训练）1（2023湖南常德统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为DO为坐标原点，(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可（2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函
2、数与二次函数的解析式，求得点P的坐标【详解】（1）二次函数的图象与轴交于两点设二次函数的表达式为，即的坐标为则，得二次函数的表达式为；（2）顶点的坐标为过作于，作于，四边形的面积；（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过作交于，过作于，则为等腰直角三角形，由勾股定理得：，即，由，得，是等腰直角三角形的坐标为所以过的直线的解析式为令解得，或所以直线与抛物线的两个交点为即所求的坐标为【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用2（2023山东东营统考中考真题）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧
3、），点C，D在抛物线上，设，当时，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离【答案】(1)；(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为；(3)4【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边
4、形是平行四边形，则，求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为当时，点C的坐标为将点C坐标代入表达式，得，解得抛物线的函数表达式为（2）解：由抛物线的对称性得：，当时，矩形的周长为，当时，矩形的周长有最大值，最大值为（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接直线平分矩形的面积，直线过点P由平移的性质可知，四边形是平行四边形，四边形是矩形，P是的中点当时，点A的坐标为，抛物线平移的距离是4【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的
5、坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质3.已知二次函数，其中(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值【答案】(1)(2)见解析(3)最大值为【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数
6、顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解(1)解：将代入，解得由，则符合题意，(2)解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为，二次函数的顶点在第三象限(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，将代入，解得在轴的负半轴上，过点作，垂足为，在中，,当时，此时，面积有最大值，最大值为【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键4（2023安徽统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的
7、横坐标为，点的横坐标为过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点（）当时，求与的面积之和；（）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)（）；（）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）（）根据题意画出图形，得出，继而得出，当时，根据三角形的面积公式，即可求解（）根据（）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解【详解】（1）解：依题意，解得：，；（2）（）设直线的解析式为，解得：，直线，如图所示，依题意，当时，与的面积之和为，（）当点在对称右侧时，则
8、，当时，解得：，当时，解得：（舍去）或（舍去）综上所述，【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出ABC的面积，设点D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左
9、侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解【详解】解：（1）点A和点B在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：-2，-3；（2）连接BC，由题意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），SABC=6，SABD=2SABC，设点D（m，），即，解得：x=或，代入，可得：y值都为6，D（，6）或（，6）；（3）设P（n，），点P在抛物线位于x轴上方的部分，n-1或n3，当点P在点A左侧时，即n-1，可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，不成立；当点P在点B右侧时，即n3，APC和APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BCAP，设直线BC的解析式为y
10、=kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，则-1+q=0，解得：q=1，则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，即，解得：n=4或n=-1（舍），点P的坐标为（4，5）【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离6（2023湖南统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点是对称轴上一点，且点的
11、纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围【答案】(1)；(2)或或；(3)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解【详解】（1）解：将点，代入，得解得：抛物线解析式为；（2），顶点坐标为，当时，解得：，则，则是等腰直角三角形，到的距离等于到的距离，设直线的解析式为解得：直线的解析式为，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，设的解析式为，将点代入得，解得：直线的解析式为，解得：或，是等腰直角三角形，
12、且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设直线的解析式为解得：直线的解析式为联立 解得：或或综上所述，或或；（3）当时，如图所示，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，设交于点，直线的解析式为，则，,，是等腰直角三角形，设，则解得：（舍去）或是锐角三角形；当时，如图所示，同理可得即解得：或（舍去）由（2）可得时，综上所述，当是锐角三角形时，或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键7（2023四川遂宁统考中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原
13、点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当时，求点的坐标；(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为求的最大值【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解【详解】（1）解
14、：抛物线经过点，对称轴过点，解得：抛物线解析式为；（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，设，则，解得：或，其中点在抛物线对称轴的左侧，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或，；（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，设直线的解析式为，将代入得，解得：，直线的解析式为，设，设直线的解析式为，则，直线的解析式为，联立，解得：，当时，取得最大值为【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、动点从点出发，在线段上
15、以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒（1）求、的值；（2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PEx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=SABC-SAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求
16、出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标【详解】解：（1）抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则，解得：；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：AP=，过点P作PEx轴，垂足为E，AE=PE=t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），S四边形BCPQ=SABC-SAPQ=当其中一点到达终点时，另一点随之停止
17、运动，AC=，AB=4，0t3，当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4；（3）点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，MPQ=90，MPF+QPE=90，又MPF+PMF=90，PMF=QPE，在PFM和QEP中，PFMQEP（AAS），MF=PE=t，PF=QE=4-2t，EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，点M的坐标为（3-2t，4-t），点M在抛物线y=-x2+2x+3上，4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），M点的坐标为（，）【点睛】本题考查了
18、二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键9（2023江西统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，当时，_S关于t的函数解析式为_(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长(3)延伸探究：若存在3个时
19、刻（）对应的正方形的面积均相等_；当时，求正方形的面积【答案】(1)3；(2)，；(3)4；【分析】（1）先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；仿照（1）先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，由此求出当时，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；（3）根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；由（3）可得，再由，得到，继而得答案【详解】（1）解：动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，当时，
20、点P在上，且，故答案为：3；动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，；（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，解得，当时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，把代入中得：，解得，S关于t的函数解析式为，在中，当时，解得或，；（3）解：点P在上运动时， ，点P在上运动时，可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等可以看作，故答案为：4；由（3）可得，.【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解
21、题的关键10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C （1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（
22、2）先得出抛物线的对称轴，作PEy轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为点D与点C关于直线l对称，D（3，-4），A（-1，0），设直线AD的解析式为
23、y=kx+b；，解得：，直线AD的函数关系式为：y=-x-1，设P（m，m2-3m-4），作PEy轴交直线AD于E，E（m，-m-1），PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）直线AD的函数关系式为：y=-x-1，直线AD与x轴正方向夹角为45，抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，平移后y1=x2-11x+20，抛物线y1的对称轴为：，P（1，-6），E（5，-10），以点D，E，F，G为顶点的四边形是平
24、行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想11（2023湖南永州统考中考真题）如图1，抛物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线交于点，求的最大值；(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标【答案
25、】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，值，即可求出抛物线解析式（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值（3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点，顶点坐标为，抛物线的解析式为：故答案为：（2）解：过点作轴于点，如图所示，
26、抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，设直线的解析式为：，则，直线的解析式为：在直线上，在直线上，的解析式为：，当时， 有最大值，且最大值为： 故答案为：（3）解:，设，抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，设直线的解析式为：，则，直线的解析式为：，在直线上，（十字相乘法），由，得：，即，解得：，点横坐标为：故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合12.如图，已知二次函数yx2+（a+1）xa与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知BAC的面积是6（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使SA
27、BPSABC若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a3；（2）根据题意P的纵坐标为3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标【解析】（1）yx2+（a+1）xa，令x0，则ya，C（0，a），令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知：a0A（a，0），B（1，0）SABC612（1a）（a）6解得：a3，（a4舍去）；（2）a3，C（0，3），SABPSABCP点的纵坐标为3，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x0或x2，把y3代入yx22x+3
28、得x22x+33，解得x1+7或x17，P点的坐标为（2，3）或（1+7，3）或（17，3）13（2023山西统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为当时，求的值；当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值【答案】(1)，点的坐标为；(2)2或3或；，S的最大值为【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；（2
29、）分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）解：由得，当时，解得点A在轴正半轴上点A的坐标为设直线的函数表达式为将两点的坐标分别代入，得，解得，直线的函数表达式为将代入，得点C的坐标为；（2）解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为点的坐标分别为点的坐标为，如图，当点在直线上方时，解得如图2，当点在直线下方时，解得，综上所述，的值为2或3或；解：如图3，由（1）得，轴于点，交于点，点B的坐标为，点在直线上方，轴于点，四边
30、形为平行四边形轴，四边形为矩形即，当时，S的最大值为【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB点P是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若PCAB，求点P的坐标；（3）连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标【分析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，确定点A、B、C的
31、坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x=74，当PCAB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）PAC的面积SSPHA+SPHC=12PHOA，即可求解【解析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，故点A、B、C的坐标分别为（4，0）、（12，0）、（0，2）；则ya（x+4）（x12）a（x2+72x2）ax2+bx2，故a1，故抛物线的表达式为：yx2+72x2；（2）抛物线的对称轴为x=74，当PCAB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（74，2）；（3）过点P作PHy轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达
32、式为：y=12x2，则PAC的面积SSPHA+SPHC=12PHOA=124（12x2x272x+2）2（x+2）2+8，20，S有最大值，当x2时，S的最大值为8，此时点P（2，5）15（2023湖北黄冈统考中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接(1)直接写出结果；_，_，点A的坐标为_，_；(2)如图1，当时，求点P的坐标；(3)如图2，点D在y轴负半轴上，点Q为抛物线上一点，点E，F分别为的边上的动点，记的最小值为m求m的值；设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围【答案】(1)，2，；(2)；(3)， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解
33、析式即可求得、，从而可得，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；（3）作，且使，连接根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；作轴，交于点T，求出解析式，设，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合中结论即可求解【详解】（1）解：抛物线经过点，解得：，抛物线解析式为：，抛物线与x轴交于A、两点，时，解得：，在中，故答案为：，2，；（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作
34、轴，交y轴于点E，由（1）可得，即，轴，轴，又，设点P坐标为，则，解得：（舍），点P坐标为（3）解：如图2，作，且使，连接 ， ， ， Q，F，H共线时，的值最小作于点G， ，设，则，解得或（舍去），；如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，设，则， ，【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键15.若一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数yax2
35、+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分DBE求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，SBFPmSBAF当m=12时，求点P的坐标；求m的最大值【分析】（1）函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明BCDBCM（AAS），则CMCD2，故OM321，故点M（0，1），即可求解；（3）过点P作PNx
36、轴交BC于点N，则PFNAFB，则AFPF=ABPN，而SBFPmSBAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，即可求解【解析】（1）一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得0=ab+c0=9a+3b+cc=3，解得a=1b=2c=3，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x2，CDx轴交抛物线于点D，故点D（2，3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45，即MCBDCD45，BC恰好平分DBE，故MBCDBC，而BC
37、BC，故BCDBCM（AAS），CMCD2，故OM321，故点M（0，1），设直线BE的表达式为：ykx+b，则b=13k+b=0，解得k=13b=1，故直线BE的表达式为：y=13x1；（3）过点P作PNx轴交BC于点N，则PFNAFB，则AFPF=ABPN，而SBFPmSBAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，当m=12时，则PN2，设点P（t，t22t3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：yx3，当xt2时，yt5，故点N（t2，t5），故t5t22t3，解得：t1或2，故点P（2，3）或（1，4）；m=14PN=14t（t22t）=14（t32）2+916，140
38、，故m的最大值为91617（2023湖南统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为(1)求抛物线的解析式(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点若，求面积的最大值(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标【答案】(1)；(2)；(3)点为或或或或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；（3）根据题意，分别求得，当为对角线时，当为边时，分，根据勾股
39、定理即可求解【详解】（1）解：抛物线经过点和点，解得：，抛物线解析式为：；（2）解：抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）联立，解得：或，点为直线上的一动点，设点的横坐标为则，当时，取得最大值为，当取得最大值时，最大，面积的最大值；（3）抛物线与轴交于点，当时，即，,，当为对角线时，解得：，的中点重合，解得：，当为边时，当四边形为菱形，解得：或，或，或，由的中点重合，或，解得：或，或，当时；如图所示，即四边形是菱形，点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，点为或，综上所述，点为或或或或【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的
40、关键18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（2，0），直线BC的解析式为y=23x+2（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线yax2+bx+2（a0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线yax2+bx+2（a0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则yax2+bx+2a（x+2）（x32）ax222a6a，即6a2，解得：a=13，即可求解；（2）四边形BECD的面积SSBCE+SBCD=12EFOB+12
