1、第4章 立 体 的 投 影4.1 三视图的形成及投影规律4.2 平面立体4.3 常见回转体4.1 三视图的形成及投影规律4.1.1 三视图的形成国家标准规定，用正投影法绘制的物体的图形称为视图。同时规定，物体在投影时，可见的轮廓线用粗实线表示，不可见的轮廓线用虚线表示。因此，物体的视图与物体的投影实际上是相同的，只是换了一种描述方法，即物体的三面投影也称为三视图，如图4-1(a)所示。4.1.2 三视图的投影规律图4-1(d)所示物体的三视图，反映出该物体长、宽、高三个方向的尺寸大小，而每一个视图则反映了物体两个方向的尺寸大小。图4-1 三视图的形成和投影规律 4.2 平 面 立 体4.2.1
2、 棱柱1.棱柱的三视图现以六棱柱为例，分析棱柱三视图的画法。图4-2 六棱柱三视图的画法 2棱柱表面取点、取线【例4-1】在图4-3中，已知六棱柱表面A点的正面投影a和B点的正面投影b，试求A点、B点的水平投影和侧面投影。【解】在棱柱表面取点一般有以下三步：(1)判断点在棱柱面上的位置，需要根据已知投影的位置和可见性来判断。(2)根据已知点的投影求出其它投影，需要根据点的三面投影规律求出其它投影。(3)所求投影的可见性判断。判断可见性的原则是，若点所在的面的投影可见(或有积聚性)，则点的投影可见。(a)已知条件 (b)作图过程和结果图4-3 棱柱体表面取点【例4-2】如图4-4(a)所示，作出
3、六棱柱表面折线ABCD的水平投影和侧面投影。【解】由图4-4(a)可知，折线由三段直线AB、BC和CD构成。在主视图中，这三段直线分别位于六棱柱的三个可见棱面：AB位于左前棱面(铅垂面)；BC位于前棱面(正平面)；CD位于右前棱面(铅垂面)。因此，可先求出各段直线端点的水平投影和侧面投影，在分析各段直线的可见性后，连接相应端点的同面投影即可。注意：棱面上直线的可见性取决于它所在棱面的可见性。在各视图中，只要棱面的投影可见或积聚为直线，其上直线的投影即可见，直线上的点的投影也可见。图4-4 棱柱体表面取线4.2.2 棱锥1.棱锥的三视图1)四棱锥的三视图当四棱锥处于如图4-5(a)所示的位置时，
4、四棱锥的底面是水平面，在俯视图上反映实形(矩形)；前、后两个棱面是形状相同的三角形，为侧垂面，在左视图上积聚为前后对称的两条直线，在主、俯视图上反映类似形(三角形)；左右两个棱面是形状相同的三角形，为正垂面，在主视图中积聚为左右对称的两条直线，在俯、左视图上反映类似形(三角形)；四个棱面(或四条棱线)的交点即锥顶。图4-5 四棱锥三视图的画法2)三棱锥的三视图当正三棱锥(底面为边长相等的正三角形)处于图4-6(a)所示位置时，其底面ABC为水平面，在俯视图中反映正三角形的实形；三个棱面是形状相同的三角形，它们的交点即锥顶。位于后面的棱面SBC是侧垂面，因为它包含了一条侧垂线BC，所以在左视图上
5、积聚成一条直线；左右对称的棱面SAB和SAC是一般位置平面，在三个视图中的投影均为类似形(三角形)。画正三棱锥的三视图时，只需画出底面正三角形ABC的三视图，再确定锥顶S的三面投影，并与相应的顶点相连即可。图4-6 三棱锥三视图的画法2棱锥表面取点、取线因为棱锥的表面都是平面，所以棱锥体表面取点、取线的方法与在棱柱表面取点和取线的方法是一样的。若棱锥的棱面处于特殊位置，则其表面上的点可利用投影的积聚性求得；若棱面处于一般位置，则其表面上的点可以利用在平面上取点的方法，通过作辅助线求得。在棱锥表面取点，一般有三种作辅助线的方法：作已知点与锥顶的连线；过已知点作底边的平行线；过已知点作任意直线。作
6、图时，可根据具体情况选择便于作图的辅助线。【例4-3】在图4-7(a)中，已知三棱锥表面D点的正面投影d，试求出它的水平投影d和侧面投影d“。【解】由图4-7(a)可看出，该三棱锥的位置与图4-6相比，绕Z轴方向顺时针转动了90。由D点的正面投影d及其位置，对照俯视图可知，D点位于前棱面SAB上，因此，在俯视图中，d应位于sab上，d”应位于s“a”b“上，并均为可见。因为SAB为一般位置平面，可由上述作辅助线方法求出d；由d和d即可根据“二求三”求得d”。图4-7(b)、(c)、(d)给出了用三种作辅助线的方法求解的作图过程。图4-7 棱锥表面取点【例4-4】如图4-8(a)所示，作出三棱锥
7、表面折线的水平投影和侧面投影。【解】由图4-8(a)可知，折线由三段直线、构成。在俯视图中，三段直线分别位于三棱锥的三个可见棱面：和位于前后对称的棱面SAC和SAB上(这两个棱面都是一般位置平面)，并由俯视图可知平行于AB；位于棱面SBC上(正垂面)。因此，可先求出各段直线端点的正面投影和侧面投影，在分析各段直线的可见性后，连接相应端点的同面投影即可。棱面上直线的可见性取决于它所在棱面的可见性。图4-8 棱锥表面取线4.3 常见回转体曲面立体是由曲面或曲面和平面围成的。在曲面立体中，工程上使用较多的是回转体，圆柱体、圆锥体、圆球和圆环是常见的回转体，如图4-9所示。图4-9 常见的回转体4.3
8、.1 圆柱体1.圆柱体的生成如图4-10(a)所示，圆柱体由圆柱面及两个底面圆所围成。圆柱面是由直母线绕与它平行的轴线回转而成的。母线上任一点的运动轨迹均为圆，圆所在的平面垂直于轴线。圆柱面上平行于轴线的直线是圆柱的素线，即圆柱面上只有素线是直线，其余均为曲线。2.圆柱体的三视图如图4-10(b)所示，将轴线为铅垂线的圆柱体置于三投影体系中，分别向三投影面投影，得到圆柱体的三视图。俯视图是一个圆，它是圆柱面有积聚性的投影，也是圆柱体上、下底面圆(水平圆)反映实形的投影。图4-10 圆柱体的三视图3圆柱体表面取点、取线圆柱体表面的点有三种情况：点在转向轮廓线上，点在底面上，点在圆柱面上。一般情况
9、下，若已知点的一面投影，需作出其它两面投影时，前两种情况可根据点在直线上和点在平面上取点的方法求解；第三种情况可先作出点在圆柱面有积聚性的圆上的投影，再求另外投影。下面分别举例说明。【例4-5】如图4-11(a)所示，已知圆柱体上的点A、B、C的正面投影a、侧面投影b、水平投影c，作出其余两面投影。(a)已知条件 (b)作图过程及结果图4-11 圆柱体转向轮廓线和顶面上取点【解】由已知条件可知，点A位于最右面的素线上(正面投影的转向轮廓线)，找到该素线的水平投影和侧面投影，即可作出其水平投影a和侧面投影a；A点位于圆柱右面的正面投影转向轮廓线上，因此水平投影可见，侧面投影则不可见。同理可分析B
10、点。由俯视图上C点的水平投影c可见，可判断C点位于顶面，由此可知C点的正面和侧面投影应在顶面圆有积聚性的直线上，从而作出正面投影c和侧面投影c；因C点所在顶面圆的正面和侧面投影都有积聚性，因此c和c可见。注意：当直线或平面有积聚性时，其上的点认为可见。【例4-6】如图4-12(a)所示，已知圆柱面上的点M的正面投影m和点N的侧面投影(n“)，作出其余两面投影。【解】由已知条件可知，M点位于圆柱面的左、前方；N点位于圆柱面的右、后方。根据已知点的投影，在圆柱面积聚成圆的俯视图上先求出水平投影，再求出另外一个投影。因M点位于圆柱面的左、前方，所以它的水平投影m和侧面投影m均可见；N点位于圆柱面的右
11、、后方，所以正面投影(n)不可见，水平投影n可见。注意：当圆柱面积聚成圆时，圆上的点认为可见。(a)已知条件 (b)作图过程及结果图4-12 圆柱面上取点【例4-7】如图4-13(a)所示，已知圆柱面上两线段的正面投影abc(曲线)和cd(直线)，求其余两投影。【解】图示情况下，圆柱体的轴线为侧垂线，圆柱面的侧面投影有积聚性，即所求两线段的侧面投影在左视图中与圆重合。可先由各点的正面投影在左视图上先求出相应的侧面投影，然后根据“长对正、宽相等”依次求出各点的水平投影。主视图中添加的一般点s和t，是为了提高作图准确性。线段ABC位于圆柱体的前半个圆柱面，AB在前、下圆柱面，BC在前、上圆柱面。因
12、B点位于圆柱水平投影面的转向轮廓线上，其水平投影b是线段ABC的水平投影abc可见与不可见的分界点，即在俯视图中线段ab不可见，bc可见。线段CD位于前、上圆柱面，俯视图中cd可见。图4-13 圆柱面上取线4.3.2 圆锥体 1.圆锥体的形成如图4-14(a)所示，圆锥体由圆锥面和底面围成。圆锥面可看做由直母线绕与它相交的轴线旋转而成。母线上任一点的运动轨迹均为圆(纬圆)，纬圆所在的平面垂直于轴线。圆锥面上过锥顶的直线是圆锥的素线，即圆锥面上只有过锥顶的素线是直线，其余均为曲线。2圆锥体的三视图图4-14(b)所示的圆锥，其轴线为铅垂线，先用点画线画出轴线的正面投影和侧面投影，在水平投影中，用
13、点画线画出十字中心线，十字中心线的交点是轴线的水平投影，又是锥顶S的水平投影s。接下来画反映底面实形的俯视图，再画其它视图，如图4-14(c)、(d)、(e)所示。图4-14 圆锥体的三视图3圆锥体表面取点、取线圆锥体表面的点有三种情况：点在转向轮廓线上；点在底面上；点在圆锥面上(不包括前两种情况)。若已知点的一面投影，需作出其它两面投影时，前两种情况可根据点在直线上和点在平面上取点的方法求解；第三种情况需要作辅助线求解。辅助线有两种：过锥顶的素线和垂直于轴线的纬圆，也称辅助素线法和辅助纬圆法。下面举例说明。【例4-8】如图4-15(a)所示，已知圆锥体转向轮廓线上的点B的正面投影b和底面上点
14、C的水平投影(c)，作出它们其余两面投影。【解】(1)求作b和b。由已知条件可知，B点位于圆锥对V面的转向轮廓线上。如图4-15(b)所示，在该转向轮廓线的水平投影和侧面投影上，根据已知的b，可直接由“长对正、高平齐”得到其水平投影b和侧面投影b。因B点位于圆锥体的圆锥面上，故b可见；又因B点位于圆锥体的左半个圆锥面上，故b可见。(2)求作c和c。由已知条件可知，C点位于圆锥体的底面上。如图4-15(b)所示，底面为一水平圆，该圆在主视图和左视图中积聚为直线(三角形的底边)，根据已知的水平投影(c)，可直接由“长对正、宽相等”得到其正面投影c和侧面投影c。因圆锥体的底面圆上的正面投影和侧面投影
15、均积聚为直线，故c和c均可见。(a)已知条件 (b)作图过程及结果图4-15 圆锥体转向轮廓线和底面上取点【例4-9】如图4-16(a)所示，已知圆锥表面点A的正面投影a，求作水平投影a和侧面投影a“。【解】由已知条件可知，点A位于圆锥面上，已知a，可用辅助素线法或辅助纬圆法求得a和a。A点位于圆锥面的左半个锥面上，a和a均可见。图4-16 圆锥面上取点：辅助素线法和辅助纬圆法【例4-10】如图4-17(a)所示，已知圆锥面上曲线DBACE的正面投影dbace，求曲线其余两投影。【解】由图4-17(a)给出的曲线上点的正面投影可知，bc和de是两对重影点，曲线前后对称。A点位于V面转向轮廓线上
16、；B点和C点位于W面转向轮廓线上；D点和E点位于圆锥面上。为了作图准确，以使曲线光滑连接，在已知点之间的圆锥面上，适当添加了两对一般点，如图4-17(c)所示。位于转向轮廓线上点A、B、C的其余两投影，可以在相应的转向轮廓线的同面投影上直接求得；位于圆锥面上的点D、E和添加的两对一般点的其余投影，可以用辅助素线法或辅助纬圆法求得。图4-17 圆锥面上取线 4.3.3 圆球 1圆球的形成如图4-18(a)所示，圆球是由圆球面围成的。圆球面可看做由半圆形的母线绕其直径(轴线)回转而成。母线上任一点的运动轨迹均为圆，圆所在的平面垂直于圆球的轴线，过圆球球心的直线均可视为圆球的轴线，圆球面上没有直线。
17、图4-18 圆球的三视图2圆球的三视图如图4-18(b)、(d)所示，圆球的三个视图均为大小等于圆球直径的圆，它们分别是球面上平行于V面、H面和W面的最大的圆的投影，也是三个投影面的转向轮廓线的投影。3圆球面上取点、取线圆球面上的点有两种情况：点在转向轮廓线上；点在圆球面上。若已知点的一面投影，需作出其它两面投影时，第一种情况下，因转向轮廓线的投影在圆球的三视图中为已知，故可直接作出；第二种情况下，因为圆球表面没有直线，所以需要用辅助纬圆来帮助求点。【例4-11】如图4-19(a)所示，已知圆球转向轮廓线上A点的正面投影a和B点的侧面投影(b“)，作出它们其余两面投影。【解】由已知条件可知，A
18、点位于正面转向轮廓线上，A点的水平投影a和侧面投影a应在正面转向轮廓线的同面投影上。如图4-19(b)所示，据“长对正、高平齐”即可由a求得a和a。因A点位于上半个、左半个球面，所以a和a均可见。(a)已知条件 (b)作图过程及结果图4-19 圆球转向轮廓线上取点【例4-12】如图4-20(a)所示，已知圆球面上A点的正面投影a，求A点的其余两面投影。【解】由已知条件可知，A点位于上半个球面，它的水平投影a可见；A点又位于右半个球面，它的侧面投影a不可见。因为圆球的三个视图都没有积聚性，且球面上也不存在直线，所以，为方便作图，常选用平行于投影面的圆(纬圆)作为辅助圆。例如，求a和a，可过已知的
19、a作一个投影面的平行圆的正面投影(水平圆、侧平圆和正平圆均可)，求出该圆的另两面投影，即可在辅助圆的同面投影上求得a和a。图4-20 圆球表面取点(辅助纬圆法)【例4-13】如图4-21(a)所示，已知半圆球面上三段曲线的正面投影ab、bc、cd，完成它们的水平投影和侧面投影。图4-21 圆球表面取线【解】球面上没有直线，球面上任意画一条线均为曲线。由图4-21(b)对曲线进行分析，这三段曲线中AB与BC共点B，BC与CD共点C。由ab平行于侧面及它的位置、可见性(可见)，可知AB应是位于半球前、左球面上的四分之一侧平圆，它的水平投影ab、侧面投影ab均可见。由cd平行于水平面及它的位置、可见
20、性(不可见)，可知CD应是位于半球右、后球面上的四分之一水平圆，它的水平投影cd可见，侧面投影cd不可见。bc是一条斜线，表明BC是倾斜于水平面和侧面的圆弧，投影应是一段椭圆弧，由bc的位置、可见性(不可见)，可知BC位于半球左、后球面上，它的水平投影bc、侧面投影bc均可见。按前面讲述的圆球表面取点的方法，即可求出曲线的各点。注意：对于本例中的水平圆和侧平圆，只要知道其半径即可直接画圆。4.3.4 圆环1.圆环的形成如图4-22(a)所示，圆环是由环面围成的。环面可看做由圆(母线)绕圆平面上不通过圆心的直线(轴线)回转而成。母线上任一点的运动轨迹均为圆，圆所在的平面垂直于轴线，圆环面上没有直
21、线。2.圆环的三视图如图4-22(b)、(d)所示，圆环的轴线为铅垂线。图4-22 圆环的三视图图4-23(a)、(b)分别表示了由单独的外环面、内环面及上、下顶平面围成的回转体的三视图。(a)外环面回转体 (b)内环面回转体图4-23 内、外圆环面回转体的三视图3圆环面上取点如果点位于圆环面上的转向轮廓线上，因点所在线的三面投影在三视图中已经画出，所以在已知点的一面投影后，其余投影可在相应的同面投影中直接求得；如果点在圆环一般位置上，则因环面上没有直线，需要用辅助纬圆法求解。【例4-14】如图4-24(a)所示，已知圆环上的点A、B、C、D、E的一面投影，求其余两面投影。【解】如图4-24(
22、a)、(b)所示，A、B两点位于最左边的素线圆上，但A点位于上半个环面的内外环面分界线上，因此，A点的水平、侧面投影均可见。B点位于下半、左半个环面，因此B点的水平投影不可见，而侧面投影可见。由a、b即可求得a、(b)和a、b。因C点的水平投影不可见，所以C点位于母线圆最下点形成的纬圆上，由(c)可求得c和c，c和c均可见。D点位于对水平投影的转向轮廓线上，且在右半、后半个环面上，因此它的正面投影和侧面投影均不可见，由d可求得(d)和(d)。E点位于最前面的素线圆上，并在前半、上半个环面上，所以它的正面投影和水平投影均可见，由e可求得e和e。图4-24(b)给出了求解作图的过程及结果。(a)已
23、知条件 (b)作图过程及结果 图4-24 圆环转向轮廓线和素线上取点【例4-15】如图4-25(a)所示，已知圆环面上的点M的正面投影m，点N的水平投影(n)，求它们的其余投影。【解】如图4-25(a)所示，由m可知点M位于左、前、上、外环面，M的水平投影和侧面投影均可见；由(n)可知N点位于右、后、下、内环面，N点的正面投影和侧面投影均不可见。点M、N位于圆环面上，均需用辅助纬圆法帮助作图，因为该圆环的轴线为铅垂线，所以辅助纬圆应为垂直于轴线的水平圆。(a)已知条件 (b)作图过程及结果 图4-25 圆环表面取点(辅助纬圆法)4.3.5 同轴回转体工程中，经常用到几个回转体共轴线的机件，这种
24、回转体称为同轴回转体。1.同轴回转体的形成和三视图如图4-26(a)所示，同轴回转体是由同轴回转面围成的。同轴回转面可看做由多段线(直线、曲线)为母线，绕一直线(轴线)回转而成。母线上任一点的运动轨迹均为圆，圆所在的平面垂直于轴线。图4-26(b)给出了生成的同轴回转体，它由球面、圆柱面、圆锥面、内环面、外环面组成，它们在形成过程中共用了同一条轴线。图4-26(c)给出了同轴回转体的三视图。图4-26 同轴回转体 2同轴回转体的表面取点当点处于同轴回转体表面一般位置时，辅助纬圆法仍是表面取点的主要方法，只是应先判断点位于哪个回转面上，再作辅助纬圆。【例4-16】如图4-27(a)所示，已知同轴回转体表面上的点E、F、G的一面投影，求它们的另一面投影。【解】由已知条件可知，该同轴回转体由内环面、圆锥面和球面组成，见图4-27(b)，E点位于内环面、F点位于球面、G点位于圆锥面，因该回转体轴线为侧垂线，应选取侧平圆为辅助纬圆。(a)已知条件 (b)求点过程及作图结果图4-27 同轴回转体表面取点
