1、 河南省新乡市河南省新乡市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试数学（文）试题学年高二上学期期末考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.命题“若，则”的逆命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。 【详解】根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为 若，则 所以选 C 【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。 2.在等差数列中，则 A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】B
2、【解析】 【分析】 由已知结合等差数列的性质即可求解的值 【详解】在等差数列中，由，得， 又， 故选：B 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题 3.在中，角 A，B，C 的对边分别是边 a，b，c，若，则 A. B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用三角形内角和定理可求 B 的值，根据余弦定理可得 b 的值 【详解】， ， 由余弦定理可得： 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 4.抛物线的准线方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先把其转化为标准形式，求
3、出 p 即可得到其准线方程 【详解】由题得：， 所以：，即 所： 故准线方程为： 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所 在位置，避免出错 5.若函数，则 A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 可先求出导函数，把 换上即可求出的值 【详解】由于，所以. 故选：C 【点睛】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法 6.已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为 ，焦距为 10，则双曲线C的 方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得
4、到双曲线方程 【详解】焦距为 10，曲线的焦点坐标为， 双曲线C：的一条渐近线的斜率为 ， ，解得， 所求的双曲线方程为： 故选：D 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力 7.设，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范 围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式求得 x 的取值范围，根据充分不必要条件可求出 a、b 的范围即可。 【详解】解不等式得 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 所以 所以选 C 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。 8.函数在上的最大值是 A. B. C. 0
5、 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求 出的最大值即可 【详解】函数的导数 令可得， 可得在上单调递增，在单调递减， 函数在上的最大值是 故选：D 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题 9.设 x，y 满足约束条件，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】 画出表示的可行域，如图， 由可得，可得， 将变形为， 平移直线，
6、由图可知当直经过点时， 直线在 轴上的截距最小， 最小值为，故选 C. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解） ； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 10.偶函数的图象在处的切线斜率为 A. 2e B. e C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过偶函数的性质求出 的值， 然后对函数求导， 即可求出的值， 即为图像在处 的切线斜率。 【
7、详解】由于函数为偶函数，则， 即， 解得，故， 则， 则， 故函数的图像在处的切线斜率为. 故选 A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及偶函数的性质，属于基础题。 11.设是数列的前 项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由可得 n=1 时，n时，=，所以，分 别代入 n=2、3、4 100 即可的结果. 【详解】由可得 n=1 时， n时，=，则， 即，分别代入 n=2、3、4 100，相乘得到 =. 故选 D. 【点睛】本题考查数列的递推关系的综合，考查转化与化归的数学思想与运算求解能力. 12.椭圆 ：的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点 为
8、椭圆 上的任 意一点，且 在第一象限， 为坐标原点，为椭圆 的右焦点，则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，为椭圆 的右焦点及椭圆中 解方程组求得 a、b、c，得到椭圆方程。设出点 P，根据向量数量积转化为关于横坐标 m 的二 次函数，即可求得取值范围。 【详解】因为椭圆 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以 ，即 为椭圆 的右焦点，所以 c=3 在椭圆中， 所以，解方程组得 所以椭圆方程为 设 则，则 = 因为，所以当时，取得最大值为 当 m 趋近于 0 时，的值趋近于-16 所以的取值范围为 所以选
9、C 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.设命题 ：，则为_ . 【答案】， 【解析】 【分析】 由全称命题的否定即可得到答案。 【详解】根据全称命题的否定，可得 为， 【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。 14.已知，则的最小值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据基本不等式即可求出最小值 【详解】， ， ，当且仅当，即时取等号， 故答案为：1 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题 15.在中，内角 A，B，C 所对的边分别为
10、 a，b，c，若， 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知利用余弦定理可求，又，可求 b，c 的值，根据余弦定理可求，利 用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解 【详解】， 由余弦定理可得：，整理可得：， ， ， 解得：， ，可得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角 形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16.已知双曲线的左、 右焦点分别为、 ， 过的直线交 C 的右支于 A、 B 两点，则 C 的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 可设， 由可得， 运用双曲线的定义和勾股定理求
11、得， 再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值 【详解】可设， 由可得， 由双曲线的定义可得， ， 由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，可得， 即， 在直角三角形中，可得， 即为，即， 可得 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股 定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知表示焦点在 x 轴上的双曲线，q：方程 表示一个圆 若 p 是真命题，求 m 的取值范围； 若是真命题，求 m 的取值范围 【答案】 （1）； （2）. 【解析】
12、【分析】 结合双曲线的定义进行求解即可 根据复合命题真假关系，得到 p，q 都是真命题进行求解即可 【详解】解：若表示焦点在 x 轴上的双曲线为真命题， 则，得，得， 由得， 若方程表示圆，则得，即 q：， 若是真命题，则 p，q 都是真命题， 则，得， 即实数 m 的取值范围是 【点睛】本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价 条件是解决本题的关键 18.已知数列满足， 证明：数列是等比数列； 设，求数列的前 n 项和 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 对数列的递推式两边加 1，结合等比数列的定义，即可得证； 由对数的运算性质可得 ，
13、再由裂项相 消求和，化简可得所求和 【详解】解：证明：数列满足， 可得， 即有数列是首项为 2，公比为 3 的等比数列； 由可得， 即有， 数列的前 n 项和 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算 能力，属于中档题 19.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 求 A； 若，求的面积 【答案】 （） ； （）2. 【解析】 【分析】 【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角 A 的 值； 【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得 A 的值； 由同角的三角函数关 系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求
14、得 b，计算的面积 【详解】解： 【方法一】由已知得， ， ； 又， ， ， 由，得； 【方法二】由已知得， 化简得， ， 由，得； 由， 得， 在中， 由正弦定理，得， 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式，属于中档题 20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，且线段 AB 的中点坐标为 求椭圆的方程； 若 P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点，求的值 【答案】 （1）； （2） . 【解析】 【分析】 利用点差法得出，结合焦点坐标求出 a 和 b 的值，从而可得出椭圆的方程； 先得出椭圆和双曲线共焦点， 然后由椭圆和双曲线
15、的定义计算出各边边长， 最后利 用余弦定理求出的值 【详解】解：设点、，则直线 AB 的斜率为 由于线段 AB 的中点坐标为，则有，所以， 则原点 O 与线段 AB 的中点的连线的斜率为 所以， 将点 A、B 的坐标代入椭圆的方程得， 上述两时相减得，则， 因此，椭圆的方程为； 双曲线的标准方程为，所以，双曲线的焦点坐标为，则双曲线与椭圆共焦 点， 由于点 P 是双曲线与椭圆在第一象限内的交点，由双曲线和椭圆的定义得， 得， 由余弦定理得 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法、椭圆与双曲线的定义，以及余弦定理， 考查计算能力，属于中等题 21.已知过点的直线 l 与抛物线 E：交于点
16、A，B 若弦 AB 的中点为 M，求直线 l 的方程； 设 O 为坐标原点，求 【答案】 （1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意知直线的斜率存在，设直线 的斜率为，利用点差法求得直线 斜率，再由直线方程点斜式求解； （2）设直线 方程为由解得 ，由求解 【详解】解：由题意知直线的斜率存在，设直线 的斜率为， 则有， 两式作差可得：，即， ， 则直线 的方程为，即； 当轴时，不符合题意， 故设直线 方程为 ， ， ， 解得 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题 的能力 22.设函数 讨论的单调性； 当时，求 a 的取值范围 【答案】 （1）
17、详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； 结合通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于 a 的不等 式，解出即可 【详解】解：的定义域是， ， 时，在递增， 时，令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增； 由时，在递增，而， 故时， 故当时，成立， 故符合题意， 时，在递减，在递增； 令，解得：， 时， 故在递增， 故， 解得：， 时， 故在递减，在递增， ， 当时， 只需即可， 令， ，在递增， 故， 不合题意； 综上， 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思 想，是一道综合题
