1、 1 / 10 北京市 2014 年高级中等学校招生考试 数学 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数 ， 可知 2 的相反数是 2? ， 故选 B. 【 考点 】 相反数 . 2.【答案】 B 【解析】 科学记数法是将一个数写成 n10a? 的形式 ， 其中 1 10a ， n 为整数 .当原数的绝对值大于等于 10时 ， n 为正整数 ， n 等于原数的整数位数减 1； 当原数的绝对值小于 1 时， n 为负整数 ， n 的 绝对值等于原数中左起第 一个非零数前零的个数 （ 含整数位上的零 ）， 即 5300 000 3
2、 10? ， 故选 B. 【考点 】科学记数法 . 3.【答案】 D 【解析】 六张扑克牌中有 2 张 的点数是偶数 ， 故 3162P ?（ 抽 到 的 点 数 是 偶 数 ）， 故选 D. 【考点】概率 的 计算 . 4.【答案】 C 【解析】 根据三视图的形状可确定该几何体是正三棱 锥 ， 故选 C. 【 考点】三视图 . 5.【答案】 A 【解析】 众数是一组数据中出现次数最多的数 ； 求平均数的方法是将这组数据的和除以这组数据的个数本题中 18 岁的有 5 人，出现的次数最多 ， 则这 12 名队员年龄的众数是 18 ； 平均数 是1 8 5 1 9 4 2 0 1 2 1 2 19
3、12? ? ? ? ? ? ? ?， 故选 A. 【 考点】众数，平均数 . 6.【答案】 B 【解析】 因为休息时绿化面积不变 ， 由图象可知 ， 当 12t 时 ， 园林队在休息，绿化面积保持 60 平方米不变 ； 当 24t 时 ， 即休息后工作的时间为 2 小时 ， 园林绿化面积增加 160 60 100? （平方米）， 则休息后园林队每小时绿化面积是 100502 ? （ 平方米 ） ， 故选 B. 【 考点】函数图象 . 2 / 10 7.【答案】 C 【解析】 22.5A?Q ， 根据同弧所对的圆周角等于圆心 角的 一半 ， 得 45COE? ， 在 Rt COE 中，2s i
4、n 4 2 22C E O C C O E? ? ? ?g ， 又 AB CD?Q ， 2 2 2 2 4 2C D C E? ? ? ? ?， 故选 C. 【 考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形 . 8.【答案】 A 【解析】 因为由图象看 ， 点 P 在运动过程中 AP 是先增大再减小 ， 直到半周的位置而当点 P 沿菱形边界运动半周时， AP 是先增大再减小再增大 ； 当点 P 沿正方形边界运动 半 周时 ， AP 一直在增大 ； 当点 P 沿圆边界运动半周时， AP 也 一 直在增大 .故由排除法应选 A. 【 考点】动点问题，函数图象 . 第 卷 二、填空题 9.【答案】 22
5、( 3 )( 3 )a x y x y? 【解析】 首先应提取公因式 ， 再利用公式进一步分解 ： 即原式 4 2 2 2( 9 ) ( 3 ) ( 3 )a x y a x y x y? ? ? ? ?， 故 答案是 22( 3 )( 3 )a x y x y?. 【 考点】因式分解 . 【提示】 分解因式应将积的每一个因式分解到不能再分解为止 ， 本题易出现分解不彻底的错误 . 10.【答案】 15 【解析】 在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比，设旗杆的高度为 x m， 根 据题意得 1.8=3 25x ，解得 15x? ，故 答案 是 15. 【 考点】 相似三角形 . 11.【答案
6、】 ky x? （ 04k ）（如 4y x? ） 【解析】 由题意反比例函数 ky x? 的图象与正方形 OABC 有交点 ， 设交点为 P， 过点 P 作 PM x 轴于点 M，作 PN y? 轴于点 N， 则四边形 PMON 的面积 S 应满足 04S .根据反比例函数系数的几何意义知 kS? ，又图象在第一象限 ， 故 0k ， 所以 04k ， 故答案 是 ky x? （ 04k ）（如 4y x? ） . 【考点 】反比例函数 的 几何意义 . 12.【答案】 (3,1)? ； 3 / 10 (0,4) ； 1102ab? ， 【解析】 因为点 1(3,1)A ， 根据题意可求得点
7、 2(0,4)A ， 点 3( 3,1)A? ， 点 4(0, 2)A ? ， 点 5(3,1)A ， ， 所以周期为 4， 因为 2 014 503 4 2? ? ?， 故点 2014A 与点 2A 重合 ， 所以点 2014A 的坐标是 (0,4) .若点 1( , )Aab ， 则点 2( 1, 1)A b a? ? ? ， 点 3( , 2)A a b? ? ? ， 点 4( 1, 1)A b a? ? ? ， 因为点 nA ， 均在 x 轴上方 ， 所以 nA 的纵 坐标均大于 0， 即0102010baba? ， ， ， ，解得 1102ab? ， ，故 答案 是 (3,1)? ；
8、 (0,4) ； 1102ab? ， 【 考点】 规律 的探究，不等式组 的 解法 . 【提示】 本题易因探索不到规律而找不到解题思路，关键是要耐心细致的计算 . 三、解答题 13.【答案】 证明： BC DEQ ， ABC D? 在 ABC 和 EDB 中， AB EDABC DBC DB?， ，ABC EDB ? ， AE? 【 考点 】 平行线的性质 ， 全等三角形的判定和性质 . 14.【答案】 原式 31 5 3 3 43? ? ? ? ? ? ?. 【 考点】特殊三角函数值 ， 零指数幂 ， 绝对值的计算 . 15.【答案】 解 ： 去分母 ， 得 3 6 4 3xx? . 移项，
9、得 3 4 6 3xx? . 合并 ， 得 3x? . 系数化为 1， 得 3x ? . 不等式的解集在数轴上表示如下 ： 【 考点 】 解一元一次不等式 ， 用数轴表示不等式的解集 . 16.【答案】 解： 2 2 2 2 2( 1 ) 2 ( 2 ) 2 1 2 2 2 1x x y y x x x x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 4 / 10 3xy?Q ， ?原式 2 14xy? ? ?=( ) . 【 考点 】 代数式的化简求值 . 17.【答案】 （ 1） 证明 ： 0m?Q ， 2 ( 2 ) 2 0m x m x? ? ?
10、 ? ?是关于 x 的一元二次方程 . 22 ( + 2 ) 4 2 ( 2 )m m m? ? ? ? ? ? ? ?. 2( 2) 0m? Q ， ?方程总有两个实数根 . （ 2） 由求根公式 ， 得 ( 2) ( 2)2mmx m? ? ? . 1 1x?， 2 2x m? . Q 方程的两个根都是整数，且 m 为正整数， 1m?， 2. 【 考点 】 一元二次方程的根的判别式 ， 求根公式解一元二次方程 . 18.【答案】 解 ： 设新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 x 元 . 由题意 ， 得 27 1080.54xx? ? . 解得 0.18x? . 经检验 ， 0.
11、18x? 是原方程的解 ， 且符合题意 . 答 ： 新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费为 0.18 元 . 【 考点 】 分式方程在实际生活中的应用 . 19.【答案】 （ 1） 证明 ： BFQ 是 ABC? 的平分线， ABF EBF? ? . AD BCQ ， AFB EBF? . AFB ABF? ， AB AF? 同理 AB BE? . AF BE?. ?四边形 ABEF 是平行四边形 . AB AF?Q ， ?四边形 ABEF 是菱形 . 5 / 10 (2)过点 P 作 PG AD? 于点 G， 如图 . Q 四边形 ABEF 是菱形， 60ABC? ? ? ， ABE
12、? 是等边三角形 . 4AB?Q ， 4AE AB? ? ? . 1 22AP AE? ? ? . 在 Rt AGP 中，可求 60PAG? ? ? . co s 6 0 1A G A P? ? ?og ， sin 6 0 3G P A P?og . 6AD?Q ， 5DG?. 3tan 5ADP? . 【 考点 】 角平分线 的定义 ， 平行四边形及菱形的判定和性质 ， 解直 角 三角形等 . 20.【答案】 （ 1） 66.0 （ 2） 5.00 0.02? （ 3） 7500 30? 【 考点 】 扇形统计图 ， 统计表的 应用 . 21.【答案】 （ 1） 证明 ： 连接 BC. AB
13、Q 是 Oe 的直径， 90ACB? ? ? . CQ 是 AB 的中点， =AC BC? . AC BC?. 45C A B C B A? ? ? ? ? ?. BDQ 是 Oe 的切线， 90ABD? ? ? . 可证 45CBD D? ? ? ?. BC CD?. AC CD?. 6 / 10 （ 2） 连接 OC. OA OC?Q ， 45O C A C A B? ? ? ? ? ?. 90COE? ? ? . EQ 是 OB 的中点， OE BE?. CEO FEB? ?Q ， R t R tC O E F B E ? . BF OC?. 2OB?Q ， 2BF?. 由勾股定理，得
14、25AF? . 90A B F A H B? ? ? ? ?Q ， 4=55A B B FBH AF?g . 【 考点 】 切线的性质 ， 等腰直角三角形的性质 ， 全等角形的判定与性质 ， 勾股定理等 . 22.【答案】 解 ： ACE? 的度数为 75? .AC 的长为 3. 解决问题： 过点 D 作 DF AB 交 AC 于点 F.如图 . 90D F E B A C? ? ? ? ? ?， ABE FDE . BE AE ABDE FE FD? ? ? . 2BE ED?Q ， 2AE? ， 1FE?， 3AF?. 7 / 10 30CAD? ? ?Q ， 3FD?， 23AD? .
15、2ABFD?Q ， 23AB? . 75ADC? ? ?Q ， 75ACD? ? ? . 23AC AD? ? ? . 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 26BC? . 【 考点 】 相似三角形的判定与性质 ， 勾股定理等 . 23.【答案】 （ 1） Q 点 A， B 在抛物线 22y x mx n? ? ? 上 ， 224 2 3 3 .n mn? ? ? ? ? ?， 解得 42.mn? ? ，?抛物线的表达式为 22 4 2y x x? ? ? . ?抛物线的对称轴为 1x? . （ 2） 由题意可知 ， 点 C 的坐标为 ( 3, 4)? . 设 直线 BC 的表 达式为 y k
16、x B?. 434 3 .kbkb? ? ? ， 解得 430.kb? ? ?， ?直线 BC 的表达式为 43yx? . ?当 1x? 时， 43y? . 8 / 10 结合图象可知 ， 点 A 在直线 BC 的下方 ， 且抛物线的顶点坐标为 (1, 4)? . 44 3t? . 【解析】待定系数法求函数解析式 ， 在平面直角坐标系中比较的数值的大小 . 24.【答案】 （ 1） 补全图形，如图 1 所示 . （ 2）连接 AE，如图 2. Q 点 E 与点 B 关于直线 AP 对称， AE AB?， 20EAP BAP? ? ? ?. AB AD?Q ， 90BAD? ? ? ， AE A
17、D?. AED ADF? ? . 2 4 0 9 0 1 8 0A D F? ? ? ? ? ? ? ?. 25ADF? ? ? . （ 3） AB， FE， FD 满足的数量关系： 2 2 22FE FD AB?. 证明：连接 AE， BF， BD，设 BF 交 AD 于点 G，如图 3. 9 / 10 Q 点 E 与点 B 关于直线 AP 对称， AE AB?， FE FB? . 可证得 FEA FBA? ? . AB AD?Q ， AE AD?. ADE AED? ? . ADE ABF? ? . 又 DGF AGB? ?Q ， 90D F B B A D? ? ? ? ? ?. 2 2
18、 2FB FD BD? ? ? . 222BD AB?Q ， 2 2 22FE FD AB? ? ? . 【解析】 轴对称的性质 ， 等腰三角形的性质 ， 三角形的内角和定理 ， 勾股定理等 . 25.【答案】（ 1） 1y x? （ 0x ）不是有界函数； 1( 4 2)y x x? ? ? 是有界函数，边界值是 3. （ 2）对于函数 1( )y x a x b b a? ? ? ， ， Q y 随 x 的增大而减小， ?y 的最大值是 1a?， y 的最小值是 1b?. Q 函数的最大值是 2， 1a? . 又 Q 函数的边界值是 2， 12b? ? ? . 3b? . 13b? . （ 3）由题意，函数平移后的表达式为 2 ( 1 0 )y x m x m m? ? ? ， . 当 1x? 时， 1ym? ；当 0x? 时， ym? ； 当 xm? 时， 2y m m?. 根据二次函数的对称性， 当 01m 时， 21 m m m? ； 10 / 10 当 1m 时， 21 m m m? .
