1、 太原市太原市 20182018- -2019 2019 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试 数学（理）试卷数学（理）试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 12 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 36 36 分）分） 1.椭圆的焦距为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆方程得出,，进而可求出，即可求出结果. 【详解】 因为椭圆的方程为， 所以,， 因此， 所以， 所以焦距为. 故选 C 【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，由椭圆方程求出,即可，属于基础题型. 2.命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ，
2、 C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 由命题的否定，可直接写出结果. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题：“，”的否定是“， ”.故选 A 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，改量词改结论即可，属于基础题型. 3.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， 线段的中点的坐标，即 故选 4.下列命题是真命题的是() A. 且 B. 1 是奇数且 1 是素数 C. 2 是偶数或 3 不是素数 D. 周长或面积相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复合命题的真假，逐项判断即可. 【
3、详解】A，故 A 错；B 中 1 不是素数，故 B 错；C 中“2 是偶数”是真，“3 不是素 数”为假，所以“2 是偶数或 3 不是素数”为真；D 中周长或面积相等的两个三角形都不一定 全等，所以 D 错. 故选 C 【点睛】本题主要考查复合命题的真假，属于基础题型. 5.抛物线的焦点到准线的距离是() A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的焦点到准线的距离等于 p，可直接得出结果. 【详解】因为抛物线的方程为，即，所以， 因此焦点到准线的距离是 . 故选 D 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记性质即可，属于基础题型. 6.已知空间直角坐标系中点， 若
4、在 z 轴上取一点 ， 使得最小， 则点 的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，若最小，只需轴，进而可求出结果. 【详解】因为，若在 z 轴上取一点 ，使得最小，只需轴，所以 点竖坐标 为 3，故点 的坐标为. 故选 C 【点睛】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题型. 7.“”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 设，表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为 必要不充分条件. 8.若直线 的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则可能使的是（
5、 ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 若，则，因此只需向量数量积为 0 即可. 【详解】A 中，所以排除 A；B 中，所以排除 B； C 中，所以排除 C；D 中，所以，能使. 故选 D 【点睛】本题主要考查空间向量的方法判断线面平行，由向数量积为 0 即可，属于基础题型. 9.已知三点，则以 为方向向量的直线与平面系是 （ ） A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有 可能 【答案】A 【解析】 由题意，所以以 为方向向量的直线 与平 面垂直，故选 A. 10.已知双曲线的右顶点为 ，抛物线的焦点为 若在 的 渐近线上存在点 ，使得，则 的
6、离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意得，设，由，得 , 因为在 的渐近线上存在点 ，则， 即 ，又因为 为双曲线，则 ，故 选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐 标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的 几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一 元二次方程有实数解，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题 的关键. 11.若的三个顶点分别为，则角 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【
7、分析】 先求出与的坐标，再由向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以，所以. 故选 A 【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，由向量的坐标运算即可求解，属于基础题型. 12.已知正方体的棱长为 1，点 是平面的动点，若点 到直线的距 离等于点 到直线的距离，则动点 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】 以点 为坐标原点，方向为 轴，方向为 轴，方向为 轴，建立空间直角坐标系，设 ， 根据点 到直线的距离等于点 到直线的距离， 建立等量关系， 即可求出结果. 【详解】以点 为坐标原点，方向为 轴，方向为 轴，
8、方向为 轴，建立空间直角坐 标系， 因为点 是平面的动点，所以设，因此 到直线的距离为，点 到直线的 距离为, 又因为点 到直线的距离等于点 到直线的距离， 所以，即，为双曲线. 故选 B 【点睛】本题主要考查立体几何中点的轨迹问题，由空间向量的方法，列等量关系即可，属 于常考题型. 二二、填空题（本大题共填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 12 12 分）分） 13.双曲线的实轴长为_。 【答案】 【解析】 【分析】 由双曲线方程可直接得出结果. 【详解】因为双曲线中，所以，因此实轴长为. 故答案为 【点睛】本题主要考查由双曲线的方程求实轴长的问题，属于
9、基础题型. 14.命题“如果，那么且”的逆否命题是_ 【答案】如果 或 ，则 【解析】 【分析】 由四种命题之间的关系，即可写出结果. 【详解】命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”. 故答案为：如果 或 ，则 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 15.已知双曲线 与椭圆有共同的焦点，且它们的离心率之和为，则双曲线 的方 程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由双曲线与椭圆有共同焦点，可求出焦点坐标得到 ，再由离心率之和为可求出双曲线离心 率，进而求出 ，即可求出双曲线方程. 【详解】因为双曲线 与椭圆有共同的焦点，所以，且焦点在 轴上； 设双曲
10、线的方程为， 又离心率之和为，所以，解得，所以， 因此双曲线 的方程是. 故答案为 【点睛】本题主要考查求双曲线的方程，熟记椭圆与双曲线的性质即可，属于基础题型. 16.空间四点满足，则_。 【答案】0 【解析】 【分析】 由代入，再由代入进一步化简整理即可. 【详解】因为 . 故答案为 0 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，灵活运用数量积的运算公式即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 5252 分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：
11、椭圆 的焦点在y轴上 判断命题p的否定的真假； 若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围 【答案】 （1）为假； （2）. 【解析】 【分析】 （1）根据判别式显然成立，即可判断出结果； （2）先求出 为真时，实数m的取值范围，再由“ 且 ”是假命题，“ 或 “是真命题，判 断出 、 的真假，进而可得出结果. 【详解】 （1）由可得显然成立，故命题 为真，为 假； （2）由已知得， 为真时，所以 为假时，或 因为“ 且 ”是假命题，“ 或 “是真命题，由(1)知 为真，所以 真 假， 所以 【点睛】本题主要考查复合命题，由命题的真假求参数，属于基础题型. 18.已知抛物线C
12、：经过点 求抛物线C的方程； 若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为，求直线AB的方程 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）将点代入，即可求出结果； 先设点坐标分别为，结合抛物线方程，作差求出直线 AB 的斜率，进而 可求出结果. 【详解】 （1）由题知抛物线经过点代入，解得，故抛物线方程为 ； （2）设点坐标分别为，由为抛物线 上的不同两点， 故有，由得，整理得，又的中 点坐标为，则，代入得，直线过点，直线的方程为 ，即. 【点睛】本题主要考查抛物线方程，以及中点弦的问题，求中点弦所在直线方程，常用点差 法结合中点坐标求出斜率，进而可得出结果. 19.如图，
13、在棱长为 的正方体中，分别是棱、上的点， 且. （1）求线段的长 （2）求异面直线与所成的角 【答案】 （1）； （2） . 【解析】 【分析】 用空间向量的方法：以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，求出 的坐标，进而可求出，与的坐标； （1）由向量的模的坐标表示即可求出结果； （2）求出与夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】 以 为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，根据题意及，可得： ， （1） （2），故异面 直线与所成的角为 . 【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，建立适当的坐标系，求线段长即是求 向量的模；求直线是方向向量夹角即可求出异面直线所成的角，属于基础题型. 2
14、0.已知椭圆C：的左右焦点分别为，焦距为 2，过点作直线 与椭圆相交于A，B两点，连接，且的周长为 求椭圆C的标准方程； 若直线AB的斜率为 1，且，求 的值 【答案】 （1）； （2）或 3. 【解析】 【分析】 （1）由焦距为 2，求出 ；再由的周长为，求出 ，进而即可求出结果； （2）先由题意得到直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，求出坐标，即可得 出结果. 【详解】 （1）由题意得，又因为，故可得，从而椭 圆 的标准方程为 （2） 由题意可得直线的方程为：， 联立， 可得， 从而， ，或者，由题意， 当坐标分别为，时，故； 当坐标分别为，时，故， 综上，或 3. 【点睛】本题主要考查椭
15、圆的标准方程，以及直线与椭圆交点的坐标问题，只需联立直线与 椭圆方程求解即可，属于常考题型. 21.已知四边形为直角梯形，过的中点 作 ，交于点 ，沿将四边形折起，连接、. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求二面角的大小. 【答案】 （1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可得平面； （2）以 点为原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的法向量，求出两向量的夹角，即可得出结果. 【详解】 （1）在未折叠之前有： 是的中点，则，又，且 ，则四边形是正方形，折叠之后， 取中点 ， 连接， 则， 又且即， 则四边形 是平行四边形，且，即，四边形是 平行四边形，四边形为 平行四边形，平面平面 ，平面，平面 （2）因为平面平面，所以易得两两垂直，因此以 点为原点， 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设平 面的法向量为，平面的法向量为，由 ，令，得， ，令，得， ， 因为二面角是钝二面角，所以其大小为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间向量的方法求二面角的大小，通常需要求 出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值即可，属于常考题型.
