1、 陕西省咸阳市陕西省咸阳市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题学年高二上学期期末考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.与命题“若，则”等价的命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可. 【详解】其等价的命题为其逆否命题：若 x 2-2x-30，则 x3. 【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力. 2.在等比数列中，若，是方程的两根
2、，则的值为 A. 6 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解 【详解】在等比数列中，是方程的两根， 的值为 故选：B 【点睛】 本题考查等比数列中两项积的求法， 考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 3.设，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断 【详解】， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题 4.命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D
3、 【解析】 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：， 故选：D 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 5.不等式的解集为 A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可 【详解】不等式等价为， 得，即， 即不等式的解集为， 故选：C 【点睛】本题主要考查分式不等式的求解，将其转化为一元二次不等式是解决本题的关键 6.命题甲：是命题乙：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充 分
4、也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：根据命题甲和命题乙的关系，即可判定甲乙的关系，得到结果 详解：由命题乙：，即， 所以命题甲：是命题乙：的充分不必要条件，故选 A 点睛： 本题主要考查了充分不必要条件的判定， 熟记充分不必要条件的判定方法是解答的关 键，着重考查了推理与运算能力 7.中，a，b，C 分别是角 A，B、C 所对应的边，则 A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正弦定理和大边对大角，可得答案 【详解】由，可得； 正弦定理：，可得 解得：； ， 或； 故选：A 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 8.设实
5、数，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可 【详解】， ， ， 即， 故选：A 【点睛】本题主要考查式子的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键 9.已知 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最小值为 A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 作出平面区域，平移直线 x+3y=0 确定最优解，再求解最小值即可 【详解】作出 x，y 满足约束条件 所表示的平面区域如图， 作出直线 x+3y=0，对该直线进行平移， 可以发现经过点 A（2，0）时 Z 取得最小值：2； 故答案为：B
6、【点睛】 (1)本题主要考查线性规划问题， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结 合分析推理能力.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函 数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大. 10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知结合等差数列的性质可判断出a60，a70，从而可得和取最大值时的条件 【详解】等差数列an中，a3+a100， a6+a7a3+a100， S110， a1+a110， a1+a112a60， a60，a70， 则当n6 时，Sn有最大值 故选：B 【点睛】本题考
7、查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 11.如图，在四面体中， 、 分别在棱、上，且满足，点 是线段的中点，用向量，表示向量应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ，化简得到，故选 A. 12.设抛物线 C：的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 上，线段 MF 中点的 横坐标为 ，若以 MF 为直径的圆过点，则抛物线 C 的焦点到准线的距离为 A. 4 或 8 B. 2 或 8 C. 2 或 4 D. 4 或 16 【答案】B 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义和中点坐标公式和与 y 圆相切的条件，求出，代入抛物线方程 即可求出 p 【详
8、解】解：抛物线 C 方程为，焦点，准线方程为， 设，由抛物线性质，可得， 因为圆心是 MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得， 圆心横坐标为， 由已知圆半径也为 ，据此可知该圆与 y 轴相切于点， 故圆心纵坐标为 2，则 M 点纵坐标为 4， 即，代入抛物线方程得，所以或， 则焦点到准线距离为 2 或 8 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，其中要注意以焦半径为直径的圆与 y 轴相切，属于 中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.已知，2，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘
9、的积相等，列方程求 x 值 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决 的思路 14.若一元二次不等式的解集是，则 a 的值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值 【详解】一元二次不等式的解集是， 则和 是一元二次方程的实数根， ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题 15.已知两个正实数 x，y 满足，且恒有，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先用基本不等式求出的最小值，然后解一元二次不等式得到结
10、果 【详解】解：， ， 当且仅当，时，取等号， 恒成立等价于， 故答案为： 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题 16.当双曲线 M：的离心率取得最小值时，双曲线 M 的渐近线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出 m，即可求得双曲线渐近线方程 【详解】解：双曲线 M：，显然， 双曲线的离心率， 当且仅当时取等号， 此时双曲线 M：，则渐近线方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知
11、为等差数列，且， 求的通项公式； 若等比数列满足，求的前 n 项和公式 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则的 通项公式可求； 求出，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解 【详解】为等差数列，设公差为 d， 由已知可得，解得， ； 由， 等比数列的公比， 的前 n 项和公式 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前 n 项和，是中档题 18.在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 1 求角 A 的大小； 2 若，求 a 的值 【答案】()； （）. 【解析】 【分析】 由正弦
12、定理化简已知等式可得：，结合，利用两角和的正弦函数 公式可求，结合范围，可求 A 的值 利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理即可解得 a 的值 【详解】由正弦定理可得：， ， ， ，可得：， ， ，可得：， ， 可得：， ， 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理 在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19.直三棱柱中， 底面 ABC 为等腰直角三角形， M 是侧棱上一点，设，用空间向量知识解答下列问题 1 若，证明：； 2 若，求直线与平面 ABM 所成的角的正弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 【分析】 1
13、以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量的数量 积为 0 即可证明C. 2 当时，求平面 ABM 的法向量，利用向量法求出直线与 平面 ABM 所成的角的正弦值 【详解】证明： 1 直三棱柱中，底面 ABC 为等腰直角三角形， ， M 是侧棱上一点，设， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系， 0，2，0，2， 2，2， ，C. 2 当时，2，0， 0，2， 设平面 ABM 的法向量y， 则，取，得1， 设直线与平面 ABM 所成的角为 ， 则 直线与平面 ABM 所成的角的正弦值为 【点睛】本题
14、考查利用向量的方法证明线线垂直，考查向量法解决线面角问题，考查运算求 解能力，属于基础题 20.已知椭圆 C：过点，直线 l：与椭 圆 C 交于，两点 1 求椭圆 C 的标准方程； 2 已知点，且 A、M、N 三点不共线，证明：是锐角 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 1 将题干中两点坐标代入椭圆 C 的方程，求出 a 和 b 的值，即可得出椭圆 C 的标准方程； 2 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 列出韦达定理， 利用向量数量积的坐标运算并代入韦 达定理计算，并结合 A、M、N 三点不共线，可证明出是锐角 【详解】解： 1 将点、的坐标代入椭圆 C 的方程得，
15、解得， 所以，椭圆 C 的标准方程为； 2 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 消去 x 并化简得， 恒成立，由韦达定理得， ，同理可得 所以， 由于 A、M、N 三点不共线，因此，是锐角 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用， 考查向量数量积的坐标运算， 属于中档题 21.如图，已知平面 ACD，平面 ACD，为等边三角形，F 为 CD 的中点 求证：平面 BCE； 求二面角的余弦值的大小 【答案】 （1）见解析 （2） 【解析】 【分析】 （1）设，以，所在的直线分别作为 轴、轴，以过点 在平面 内和垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系，利用向量法证明， 即证平面.(2
16、)利用向量法求二面角的余弦值的大小 【详解】 设，以，所在的直线分别作为 轴、轴，以过点 在平面内和 垂直的直线作为 轴，建立如图所示的坐标系， ， 为的中点， （1）证明， ，平面， 平面 （2）设平面的一个法向量， 则，即，不妨令可得 设平面的一个法向量，则， 即，令可得 于是， 故二面角的余弦值为 【点睛】 （1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些 知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.（2）二面角的求法方法一： （几何法）找作（定 义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二： （向量法）首先求 出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是
17、两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号） 22.已知抛物线 E：的焦点为 F，是抛物线 E 上一点，且 1 求抛物线 E 的标准方程； 2 设点 B 是抛物线 E 上异于点 A 的任意一点，直线 AB 与直线交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 E 于点 M，设直线 BM 的方程为，k，b 均为实数，请用 k 的代数 式表示 b，并说明直线 BM 过定点 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 1 利用抛物线的定义与性质求 p 的值，即可写出抛物线方程； 2 设点， 由直线 BM 的方程和抛物线方程联立，消去 y，利用根与系数的关系和 A，P，B 三点共线， 化简整理可得 BM 的方程，从而求出直线 BM 所过的定点 【详解】解： 1 根据题意知， 因为，所以， 联立解得，； 所以抛物线 E 的标准方程为； 2 设，； 又直线 BM 的方程为，代入，得； 由根与系数的关系，得，； 由轴及点 P 在直线上，得， 则由 A，P，B 三点共线，得， 整理，得； 将代入上式并整理，得， 由点 B 的任意性，得，即， 所以； 即直线 BM 恒过定点 【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，是中档 题
