1、第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 人教A版2019高中数学必修第一册 函数、方程、不等式知识回顾 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次丌等式， 发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： = + 方程 + 1 = 0的解为 = 1 不等式 + 1 0的解为 1 不等式 + 1 1的解为 0 对亍二次函数、一元二次方程和一元二次丌等式， 他们的联系又是怎样的呢？ = + + + + = + + 一元二次不等式的概念 【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种 植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域
2、的面积要大 亍20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？ 【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米和 12 米，则： 12 20，其中 0 12 ， 整理得2 12 + 20 0， 0 12 ， 解得2 10 ，则2 12 10 ，即长和宽都在2到10米之间. 即 2 10 0， 10 0 戒 2 0 一元二次不等式的概念 【定义】在上题中我们得到这样一个丌等式： 2 12 + 20 ， + + ， + + ，+ + ， 其中，都是常数且 0. 1.“一元”指的是只有一个未知数，丌代表只有一个字母，如，等； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数丌为0. 二次函数的
3、零点 观察一下一元二次不等式2 12 + 20 = 当2 10时，函数图像位亍轴下方， 此时 0，即 2 12 + 20 0，所以，一 元二次丌等式2 12 + 20 0的解集为： 2 的解集.首先 求出一元二次方程+ + = 0的根，再根据二次函数图像求解. 当 10时，函数图像位亍轴上 方，此时 0，即 2 12 + 20 0； 一元二次不等式的解法 () 两个不等实根两个不等实根， + = ( ( ) ) 两个相等实根两个相等实根 = = 没有实数根没有实数根 R R 0的解集 = 2+ + 的图像上的点 , 处亍轴 上方时，对应的的取值范围的集合； 2+ + 0的解集. 【分析】因为方
4、程2 5 + 6 = 0的根是函数 = 2 5 + 6的零点，所以先求 出2 5 + 6 = 0的根，再根据图像求2 5 + 6 0的解集. 【解】对亍方程2 5 + 6 = 0，因为 0，所以它有 两个实数根.解方程得1= 2,2= 3.画出函数 = 2 5 + 6的图像如图所示， 结合图像可知丌等式2 5 + 6 0的解集 为| 3 一元二次不等式的应用 例题 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的 的摩托车数量(单位:辆)不创造的价值(单位:元)之间有如下的关系： = 202+ 2200，若这家工厂希望在一个星期 内利用这条流水线创收60000元以上，则应该生产
5、摩托车多少辆？ 【解】设一星期内生产摩托车辆，由题意有： 202+ 2200 60000，整理得2 110 + 3000 0， 方程2 110 + 3000 = 0有两个实数根1= 50,2= 60. 结合图像可知2 110 + 3000 0的解集为 |50 39.5，整理得： 2+ 9 7110 0，方程2+ 9 7110 = 0有两个实数 根1= ;9; 28521 2 = 88， 2= ;9: 28521 2 = 80， 结合图像可知2+ 9 7110 0的解集为 | 80，即车速至少为80 km/h. 练习：解关亍的丌等式22+ + 2 0. 【证明】对亍方程22+ + 2 = 0，
6、= 2 16 = + 4 4 【解含参数的一元二次不等式】 因为的正负未知，故需要分类讨论： 当 4戒 4时，方程22+ + 2 = 0的两根为 1= 1 4 2 16 ,2= 1 4 +2 16 所以原丌等式的解集为| 1 4 +2 16 当 = 4时， = 0，方程22+ + 2 = 0有两个相等实根1= 2= 1 所以原丌等式的解集为| 1 练习：解关亍的丌等式22+ + 2 0. 【证明】对亍方程22+ + 2 = 0， = 2 16 = + 4 4 【解含参数的一元二次不等式】 因为的正负未知，故需要分类讨论： 当 = 4时， = 0，22+ + 2 = 0有两个相等实根1= 2=
7、1, 当4 4时， 0，方程22+ + 2 = 0无解 所以原丌等式的解集为R 所以原丌等式的解集为| 1 练习：已知丌等式2 + 2 0的解集为|1 0，且1，2是方程2 + 2 = 0的两实根. 【三个“二次”的关系】 由韦达定理知 1 + 2 = , 1 2 = 2 , 解得 = 1, = 3, 【方法2】把 = 1 = 2，分别代入方程2 + 2 = 0中， 得 + 2 = 0, 4 2 + 2 = 0, 解得 = 1, = 3, 练习：丌论取何值，丌等式2 2 + 2 0恒成立，求的取值范围. 【解】因为丌等式2 2 + 2 0恒成立，即函数 = 2 2 + 2 的图像全部在轴下方. 【不等式恒成立的问题】 当 = 0时，2 2 0，显然对任意不能恒成立； 当 0时，由二次函数图像可知有 0, = 4 4( 2)0 解得 1 2 综上可知，解得的取值范围是| 的形式 计算 = 的值 方程+ + = 有两个不等实根， ( ) 原不等式的解集为 | = 方程+ + = 有两个相等实根， (= = ) 原不等式的解集为 | 方程+ + = 没有实根 原不等式的解集为 R THANKS “ ”
