1、 四川省内江市四川省内江市 20172017- -20182018 学年高二数学上学期期末考试试题学年高二数学上学期期末考试试题 文 （含解文 （含解 析）析） 一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分） 1.下列命题正确的是（ ） A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】 根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据
2、 平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一 可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点 确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项 D,空间四 边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题. 2.若某中学高二年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示， 则这组数据的中位数是 （ ） A. 90.5 B. 91.5 C. 90 D. 91 【答案】A 【解析】 【分析】 共有 8 个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均
3、数，求解即可. 【详解】根据茎叶图，由小到大排列这 8 个数为 84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为，故选 A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是 【答案】D 【解析】 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图为圆 柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何 体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型
4、 4.为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区 6070 岁，4050 岁，2030 岁的三个年龄段中的 128，192，x人中，采用分层抽样的方法共抽出 了 30 人进行调查，若 6070 岁这个年龄段中抽查了 8 人，那么x为（ ） A. 64 B. 96 C. 144 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 6070 岁这个年龄段中 128 人中抽查了 8 人， 可知分层抽样的抽样比为，因为共 抽出 30 人，所以总人数为人，即可求出 2030 岁年龄段的人数. 【详解】 根据 6070 岁这个年龄段中 128 人中抽查了 8 人， 可知分层抽
5、样的抽样比为, 因为共抽出 30 人，所以总人数为人, 所以，2030 岁龄段的人有，故选 D. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题 5.圆（x+1） 2+y24 与圆（x2）2+（y1）29 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】 求出两圆圆心的距离，比较圆心距与两圆半径的关系，即可得出结论. 【详解】由圆的方程知圆的圆心为，圆的圆心为, 圆心距， 因为，所以两圆相交. 故选 C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，属于中档题. 6.不等式组表示的平面区域内的整点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3
6、 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 作出可行域（的内部） ，分析可行域内整点即可得出结论. 【详解】作出可行域如图： 因为， 所以的内部的整数点只有， 故选 A. 【点睛】本题主要考查了简单线性规划，整点问题，属于中档题. 7.已知A（1，4）关于直线l的对称点为B（3，6） ，则直线l的方程是（ ） A. x2y90 B. 2x+y70 C. 2xy+30 D. x+2y110 【答案】B 【解析】 【分析】 根据的坐标可求出，及中点坐标，由关于 对称，知 的斜率，且过的中 点，即可求出. 【详解】因为，AB 的中点为， 所以 的斜率，且过点， 则直线l的方程，即， 故选 B. 【点
7、睛】本题主要考查了直线方程，对称问题，属于中档题. 8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 1cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为 1cm， 那么该棱柱的表面积为（ ） A. （2+4）cm 2 B. （4+2 ）cm 2 C. （4+4 ）cm 2 D. （2+8 ）cm 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 1cm的球面上，可知，解出棱柱 的高即可利用面积公式求解. 【详解】设正四棱柱的 为 h， 因为正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 1cm的球面上， 所以， 解得， 所以cm 2， 故选 A. 【点睛】本题主要考查了球的内接正四棱柱，四棱柱的表面积
8、，属于中档题. 9.若动点分别在直线上移动， 则线段AB的中点M到 原点的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 AB 中点在直线上，该直线到的距离相等；则解得，所以 M 轨迹为则 M 到原点距离的最小值为原点的直线的距离即为 故选 C 10.在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成角为 60，E为PC的中点，则 异面直线PA与BE所成角为（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】C 【解析】 试题分析：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，OP；因为 E 为 PC 中点，所以 OEPA， 所以OEB 即为异面直线 PA
9、与 BE 所成的角 因为四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥， 所以 PO平面 ABCD， 所以 AO 为 PA 在面 ABCD 内的射影，所以PAO 即为 PA 与面 ABCD 所成的角，即PAO=60， 因为 PA=2，所以 OA=OB=1，OE=1 所以在直角三角形 EOB 中OEB=45，即面直线 PA 与 BE 所成的角为 45 故选：C 考点：异面直线及其所成的角 11.已知一组数据 3，4，5，a，b的平均数是 4，中位数是m，从 3，4，5，a，b，m这组数据 中任取一数，取到数字 4 的概率为 ，那么 3，4，5，a，b这组数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】
10、D 【解析】 【分析】 根据 3，4，5，a，b的平均数是 4，中位数是m，从 3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数， 取到数字 4 的概率为 ，可知，由方差公式求解即可. 【详解】因为从 3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字 4 的概率为 ，所以 3，4， 5，a，b，m这 6 个数字中有 4 个 4， 所以， 所以 故选 D. 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，概率，方差，属于中档题. 12.已知圆C：x（a2） 2+（y a） 216，定直线 l经过点A（2，0） ，若对任意的实 数a，定直线l被圆C截得的弦长始终为定值d，则圆心C到直线l的距离等于（ ） A. 8
11、 B. 4 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，圆心到直线的距离为定值，分直线斜率存在和不存在两种情况分类讨论，即可求 值. 【详解】根据圆的半径，弦心距，半径构成直角三角形可知，当弦长为定值时，弦心距为定 值，即圆心到直线的距离为定值， 若直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，不是 定值，不合题意； 当直线斜率存在时，直线方程为，即，圆心到直线的距离 为定值，与 无关，所以，此时， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论 的思想，属于中档题. 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小
12、题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分） 13.在棱长为 2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于 1 的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 以正方体的中心为球心，1 为半径做球，若点在球上或球内时，符合要求，求其体积，根据几 何概型求概率即可. 【详解】当正方体内的点落在以正方体中心为球心，1 为半径的球上或球内时，此点到正方体 中心的距离不大于 1， 因为， 因此正方体内点到正方体中心的距离不大于 1 的概率， 故填 . 【点睛】本题主要考查了几何概型，球的体积，正方体的体积，属于中档题. 14.已知，则x 2+y2的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出
13、满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出 的最小值即 可. 【详解】作出可行域如图： 的几何意义表示可行域内一点到原点的距离的平方， 显然，原点到直线的距离是最小值， 由知， 所以的最小值是. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，的几何意义，点到直线的距离，属于中 档题. 15.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为 8，则输出的s的值为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当时，满足循环条件， 当时，满足循环条件， ， 当时，满足循环条件，； 当时，不满足循环条件，跳出循环，输出. 故填
14、 . 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题. 16.如图，透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平 地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： 有水的部分始终呈棱柱形； 没有水的部分始终呈棱柱形； 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； 棱 A1D1始终与水面所在平面平行； 当容器倾斜如图(3)所示时，BEBF 是定值 其中所有正确命题的序号是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的 交
15、线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以正确； 因为水面 EFGH 所在四边形，从图 2，图 3 可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边 长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形 EFGH 的面积是变化的，不对； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以正确； 因为水的体积是不变的，高始终是 BC 也不变，所以底面积也不会变 ，即 BEBF 是定值， 所以正确；综上知正确， 故填. 【点睛】本题主要考查了棱柱，棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积，属于中档题. 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分） 17.在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是A
16、B，BD的中点， 求证： （I）直线； （II）。 【答案】 （I）证明见解析。 （II）证明见解析。 【解析】 证明： （I）E，F分别为AB，BD的中点 。 （II），又， 所以。 18.从某保险公司的推销员中随机抽取 50 名，统计这些推销员某月的月销售额（单位：千元） ， 由统计结果得如图频数分别表： 月销售额 分组 12.25， 14.75） 14.75， 17.25） 17.25， 19.75） 19.75， 22.25） 22.25， 24.75） 频数 4 10 24 8 4 （1）作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这些推销员的月销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间
17、的中点作代表） ； （3）根据以上抽样调查数据，公司将推销员的月销售指标确定为 17.875 千元，试判断是否 有 60%的职工能够完成该销售指标 【答案】 （1）见解析 （2）18.4 （3）有 【解析】 【分析】 （1）根据题意填写频率分布表，作出频率分布直方图（2）根据题意计算平均数即可（3）根 据题意计算销售额小于 17.875 千元的频率，从而得出结论. 【详解】 （1）根据题意填写频率分布表，如下； 月 销 售 额 分组 频数 4 10 24 8 4 频率 0.08 0.20 0.48 0.16 0.08 频率/组距 0.032 0.08 0.192 0.064 0.032 作出频
18、率分布直方图如图所示； （2）计算 估计这些推销员的月销售额的平均数为 18.4 千元； （3）根据题意，计算销售额小于 17.875 千元的有 则公司将推销员的月销售指标确定为 17.875 千元时，有 60%的职工能够完成该销售指标。 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数与频率的计算问题，属于中档题. 19.如图是一个简单的几何体的三视图 （1）画出该几何体的直观图； （2）求此几何体的表面积S与体积V； （3）对任意实数a、b，若a*b的运算原理如图所示，求（2）中S、V的运算S*V. 【答案】 （1）见解析 （2） ，（3） 【解析】 【分析】 （1）根据三视图可知几何体为三棱
19、柱，画出直观图即可（2）分别计算两个底面的面积和棱 柱侧面积即可求出棱柱表面积（3）根据框图知，当时，即可求解. 【详解】 （1）满足条件的直观图如下图所示： （2）该几何体的底面面积为：底面周长为，高为 4， 故表面积, 体积 （3）由已知中的程序框图，可得程序的功能是计算输出 a,b 两值，并进行计算， 故S*V= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三视图，直观图，三棱柱的表面积，框图，属于中档题. 20.在高中学习过程中，同学们常这样说：“如果你的物理成绩好，那么你的数学学习就不会 有什么大问题”某班针对“高中物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物 理成绩与数学成绩具有线性相
20、关关系，如表为该班随机抽取 6 名学生在一次考试中的物理和 数学成绩： 学生编号 学科 1 2 3 4 5 6 物理成绩（x） 75 65 75 65 60 80 数学成绩（y） 125 117 110 103 95 110 （1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程； （2）该班某同学的物理成绩 100 分，预测他的数学成绩 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 参考数据：75 2+652+752+652+602+80229700， 75125+65117+75110+65103+6095+8011046425 【答案】 （1） （2）132.5 【解析】 【分析】
21、 （1）根据数据计算，代入公式即可求出 ， ，写出线性回归方程（2） 代入回归直线方程，求出数学成绩的预测值. 【详解】 （1）， 所以数学成绩 y 对物理成绩 x 的线性回归方程为： （2）令 x=100,则, 该同学的数学成绩为 132.5 【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，利用线性回归方程预测，属于中档题. 21.已知坐标平面点M（x，y）与两个定点M1（1，1） ，M2（4，1）的距离之比为 （1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为C，过点A（1，1）的直线l被C所截得的线段的长为 2，求 直线l的方程 【答案】 （1），轨迹是以（0，1）为圆心，2
22、 为半径的圆 （2）直线 l 的方程为 或. 【解析】 【分析】 （1）直接利用距离的比，列出方程即可求点 M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形（2） 设出直线方程，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出直线的方程即可. 【详解】 （1）由题意可得： 即， 化为： 点 M 的轨迹方程为， 轨迹是以（0，1）为圆心，2 为半径的圆； （2）当直线 l 的斜率不存在时，过点 A(-1,-1)的直线 l:x=-1, 此时过点 A(-1,-1)的直线 l 被圆所截得的线段的长为： 符合题意， 当直线 l 的斜率存在时，设过点 A(-1,-1)的直线 l 的方程为，即 圆心到 l 的距离
23、，解得， 直线 l 的方程为，即 综上，直线 l 的方程为或 【点睛】本题主要考查了轨迹方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题. 22.如图， 在边长为 4 的正方形 ABCD 中， E， F 分别是边 AB， BC 上的点 （端点除外） ， 将AED， DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A（如图） （1）求证：ADEF； （2）当点E，F分别为AB，BC的中点时，求直线AE与直线BD所成角的余弦值 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）利用折叠前后有些垂直关系不变及直线与平面垂直的判定和性质可证（2）取 AF 的中 点 N， EF 的中点 M,异面直线AE与直线BD所成角转化为相交直线 NM 与 ND 所成锐角或直角， 利用余弦定理求其余弦值即可. 【详解】 （1）证明：显然，又, 因为, 所以 （2）设,取 AF 的中点 N, 因为 E、F 为 AB,BC 的中点，所以 M 为 EF 的中点， 连 MN 则 MN/AE，连 ND, 则或其补角就是异面直线 AE 与 BD 所成角， 在中， ， 直线 AE 与直线 BD 所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，属于中档题.
