1、 20172017- -2018 2018 学年上学期高一期中考试数学试题学年上学期高一期中考试数学试题 曾都一中曾都一中 枣阳一中枣阳一中 襄州一中襄州一中 宜城一中宜城一中 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】由题意得， 的子集个数为。选 D。 2. 下列各组函数中，表示同
2、一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选项 A 中，函数与函数的定义域、对应法则相同，是同一函数； 选项 B 中，函数的定义域为 R，的定义域为，故不是同一函数； 选项 C 中，函数的定义域为 R，的定义域为，不是同一函数； 选项 D 中，函数的定义域为， 的定义 域为，不是同一函数。 综上可得 A 正确，选 A。 3. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】方法一： （排除法）由题意得只有选项 B,D 中的函数为奇函数，而选项 D 在定义域上不是 单调函数，故选 B。 方法一：由题意得只有选项 B,D 中
3、的函数为奇函数，选项 B 中，由于函数和都是增函数， 所以也为增函数，故选项 B 正确。选 B。 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】要是函数有意义，需满足，即，解得。故函数的 定义域为。选 B。 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，, ，故。 ，。 。选 B。 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， 。选 D。 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】方法一：令，则，所以。 。选 B。 方法二：令，则。 ，即， 。选 B。 8. 设是 上的奇函数，且当时，则当时
4、，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 是 上的奇函数, , . 又. 当时，.选 D。 9. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数为增函数，且过点（1,1） ；函数为减函数，且过点（0,2） 。 综合以上两点可得选项 C 符合要求。选 C。 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且为增函数，则不等式的解集为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， , 又函数是奇函数， , 定义在上，且为增函数. ，解得。 不等式的解集为。选 C。 11. 若函数为 上的增函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
5、 【答案】A 【解析】函数 在 上为增函数， ，解得。 实数 的取值范围是。选 A。 点睛：由于分段函数是一个函数，因此在研究分段函数在 R 上的单调性问题时，除了研究分段函 数每一段的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小。如在本题中函数 在 上为增函数， 除了要求和都单调递增之外，还要保证当时，的值不小于 的值， 这是比较容易出现的错误。 12. 若不等式对任意的恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得对任意的恒成立， 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 对任意的恒成立。 令， 则，当且仅当时等号成立。选 A。 点睛：本题综合性较强，以
6、对数函数的单调性和指数型函数的最值问题为载体，研究函数的恒成 立问题。求解不等式恒成立问题时，常用的方法是将参数分离出来，通过构造新函数将参数范围问题 转化为研究新函数的最值（值域）问题 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 若函数是幂函数，且满足，则的值等于_ 【答案】 【解析】试题分析：设 考点：幂函数 14. 函数的递减区间是_ 【答案】 【解析】试题分析：要使函数有意义，则，即或设，则 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减 函数，在定义域上为单调递减函数，
7、 根据复合函数的单调性之间的关系可知， 当时，函数单调递减， 即函数的递减区间为故答案为： （5，+） 考点：复合函数的单调性 15. 定义在 上的函数，对任意的都有且当时，则不等式 的解集为_ 【答案】 【解析】当时，由，得；由，得. ， 函数为奇函数。 当时，由，得；由，得. 不等式等价于或， 解得或。 不等式的解集为。 答案： 16. 符号表示不超过 的最大整数，如，定义函数.给出下列四个结 论：函数的定义域是 ，值域为；方程有 2 个解；函数是增函数；函数 对于定义域内任意 ，都有，其中正确结论的序号有_ 【答案】 【解析】画出函数的图象（如图） 。 函数x的定义域是 R，但 0 xx
8、1，故函数x的值域为0,1)，故不正确； 由图象可得函数的图象与的图象有两个交点，所以方程有两个解，即 方程有 2 个解，故正确； 由图象可得函数不是单调函数，故不正确； 因为x+1=x+1x+1=xx=x，所以，故正确。 综上可得 正确。 答案： 点睛：本题以新定义函数的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性 质得综合类问题。在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，特别是利用函数的图象进行解 题，更是数学中常用的方法，这点值得利用。 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤 ） 17. 求下列各式的值 （1）若，求的值； （2） 【答案】 （1）； （2） . 试题解析： （1）由，得 。 （2）原式 18. 设全集为 ，集合，. （1）分别求； （2）已知，若，求实数 取值构成的集合 【答案】 （1）； （2） 【解析】试题分析： （1）由两集合的相同元素构成两集合的交集，两集合所有的元素构成两集合 的并集，由补集的概念知, 的补集为全集中不在集合 的元素构成的集合,可先求补集再求并集； （2） 由,根据数轴,数形结合可得 的边界与 的边界值的大小关系， 得到关于 的不等式， 解得 的范围. 试题解析： （1） （2）由题意集合，. 考点
10、：1.集合间的基本关系；2.集合间的基本运算. 19. 已知二次函数的最大值为 3，且 （1）求的解析式； （2）求在区间（）上的最大值 【答案】 （1）； （2） 【解析】试题分析： （1）由条件设二次函数的解析式为，根据可得对称轴 为，故。又最大值为 3，故。再由得，从而可得解析式； （2）函数图象 的对称轴为，根据对称轴和区间的关系以及函数图象的开口方向得到函数在区间上的单调性，进 而求出函数的最大值。 试题解析： (1)设二次函数的解析式为 由知，图象关于直线对称， 又， ， 由得 即 （2）由（1）知，函数图象的对称轴为。 当，即时，在上为增函数， 当，即时，在上为增函数，在上为减函
11、数 综上. 点睛： （1）二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点 式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果 （2）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论 哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系。当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论。 20. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为，鲑鱼的耗氧量的单位数 为 ，研究中发现 与成正比，且当时， （1）求出 关于 的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是时耗氧量的单位数； （3）当鲑鱼的游速增加时
12、，其耗氧量是原来的几倍？ 【答案】 （1）； （2）耗氧量为 2700 个单位； （3）耗氧量是原来的 9 倍 （1）设， 【解析】试题分析： （1）用待定系数法求解，可得； （2）将代入（1） 中的解析式，解方程求 即可； （3）设原来的游速为，耗氧量为，游速增加后为， 耗氧量为 ，以上两式消去，整理可得，即可得到结论。 试题解析： （1）设， 当时， 解得， 所以 关于 的函数解析式为. （2）当游速为时，由解析式得 解得， 即耗氧量为 2700 个单位. （3）设原来的游速为，耗氧量为，游速增加后为，耗氧量为 ， 则， -得：, 所以耗氧量是原来的 9 倍. 21. 已知函数，且的定义域
13、为 （1）求 的值及函数的解析式； （2）解方程； （3）若方程有解，求实数 的取值范围 【答案】 （1）；（2）； （3） 【解析】试题分析： （1）化简可得，解得，代入原解析式可得 ； （2）方程即为，令，可得,解得； （3）令 ，可求得函数的值域为，即为所求范围。 试题解析： （1）， 解得 . （2）由（1）得 ， 故方程即为(*) 令， ， ， 方程(*)可化为， 解得 即， （3）由（2）得 当，即时， ； 当或，即或时，； ， 所以方程有解，则实数 的取值范围为. 点睛： （1）研究指数型的二次函数问题时，常用还原的方法，如本题中通过令将原来的函数 化为一般的二次函数。 （2）二
14、次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是 “三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，常用数形结合 的方法解决，密切联系图象是探求解题思路的有效方法 22. 已知函数，其中且 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：当时，函数在上为减函数； （3）求函数的值域 【答案】 （1）为偶函数； （2）证明见解析； （3）当时，值域为；当时，值域为. 【解析】试题分析： （1）先判断定义域是否关于原点对称，再验证还是； （2）按照单调性的定义进行证明即可； （3）令，由条件可得， 然后分和两种情况求函数的值域。 试题解析： （1）要使函数有意义，需满足， 解得 函数的定义域为， 函数为偶函数。 （2）由题意得, 设，且，则 又 ， ， 又 函数在上为减函数. （3）令，则。 ， 当时，故函数的值域为， 当时，故函数的值域为。 综上可得当时，函数的值域为；当时，函数的值域为。 点睛：解决对数函数综合问题时，要注意以下几点： (1)要分清函数的底数，还是；在不知底数的情况下，要进行分类讨论； (2)确定函数的定义域， 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质， 都要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则会得到错误的结论
