1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合 0,1,2,3,4,5A ，1,3,6,9B ，则，则AB （ ） A1,3 B1,3,6 C D3,6 【答案】【答案】A 【解析【解析】根据集合的交集运算,即可得解. 【详解】 集合0,1,2,3,4,5A ,1,3,6,9B 由集合的交集运算可得1,3AB 故选:A 【点睛】 本题考查了集合的交集运算,属于基础题. 2函数函数 5lg 2f xxx的定义域是（的定义域是（ ） A2,5 B 2,5 C2,5 D2,5 【答案
2、】【答案】A 【解析】【解析】使解析式有意义，因此必须有50 x且20 x 【详解】 由 5lg2f xxx，得 50 20 x x ，即 5 2 x x ，所以2,5x . 故选：A. 【点睛】 本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围 3 5 12 （ ） A70 B75 C80 D85 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用 180 1rad ，进行转化求解. 【详解】 第 2 页 共 16 页 因为 180 1rad ， 故 5 12 5180 75 12 . 故选：B. 【点睛】 本题考查弧度转化角度，公式为： 180 1rad . 4若函数若函数 21 ( )2
3、2 m f xmmx 是幂函数，则是幂函数，则m（ ） A3 B1 C3 或或1 D13 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据幂函数定义可知 2 221mm,解方程即可求得m的值. 【详解】 因为函数 21 ( )22 m f xmmx 是幂函数,所以 2 221mm, 解得1m或3m. 故选:C 【点睛】 本题考查了幂函数的定义,属于基础题. 5设终边在设终边在y轴的负半轴上的角的集合为轴的负半轴上的角的集合为M则（ 则（ ） A 3 |, 2 MkkZ B 3 |, 22 k MkZ C |, 2 MkkZ D|2, 2 MkkZ 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据角的表示方法及
4、终边在y轴的负半轴上,即可得解. 【详解】 根据角的表示方法可知,终边在y轴的负半轴上的角可以表示为2 2 k ,kZ, 故选:D 【点睛】 本题考查了角的表示方法,终边在y轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题. 6圆心角为圆心角为 60，弧长为，弧长为 2 的扇形的面积为（的扇形的面积为（ ） ） 第 3 页 共 16 页 A 1 30 B 30 C 3 D 6 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得. 【详解】 由弧长公式lr，得半径 6 r . 故扇形的面积公式 16 2 Slr . 故选：D. 【点睛】 本题考查弧长公式与扇形的面积公式，
5、属基础题. 7cos350 sin70sin170 sin20（ （ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】化简得到原式cos10 cos20sin10 sin20，再利用和差公式计算得到答 案. 【详解】 3 cos350 sin70sin170 sin20cos10 cos20sin10 sin20cos30 2 故选：B 【点睛】 本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 8函数函数 3 2lnfxxxx 的部分图象大致为（的部分图象大致为（ ） A B 第 4 页 共 16 页 C D 【答案】【答案】C
6、【解析】【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除 A、B，再根据函数值的正负情况， 即可判断. 【详解】 由题意， 3 ()(2 )ln( )fxxxxf x，即 f x是定义在,00,上 的奇函数，所以排除 A，B；当01x时， 0f x ；当1x 时， 0f x ，排除 D 故选：C. 【点睛】 本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 9若若为第二象限角，下列结论错误的是（为第二象限角，下列结论错误的是（ ） ） Asincos Bsintan Ccostan0 Dsincos0 【答案】【答案】D 【解析【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【
7、详解】 因为为第二象限角, 所以sin0,cos0,tan0 A,B,C 对,D不一定正确. 故选:D 【点睛】 本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题. 10 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放， 规定排放时污染物的残留含量不得超过原某工厂产生的废气必须经过过滤后排放， 规定排放时污染物的残留含量不得超过原 污染物总量的污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克（单位：毫克/升）与过升）与过 第 5 页 共 16 页 滤时间滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（单位：小时）之间的函数关系为 0 kt PP e（k为常数，
8、为常数， 0 P为原污染物总为原污染物总 量）量）.若前若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还，那么要能够按规定排放废气，还 需要过滤需要过滤n小时，则正整数小时，则正整数n的最小值为（的最小值为（ ） （参考数据：取） （参考数据：取 5 log 20.43） A8 B9 C10 D14 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据已知条件得出 4 1 5 k e，可得出 ln5 4 k ，然后解不等式 1 200 kt e，解 出t的取值范围，即可得出正整数n的最小值. 【详解】 由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为 0
9、kt PP e，所以 4 00 1 80% k PPe，所以 4 0.2 k e，即4ln0.2ln5k，所以 ln5 4 k ， 则由 00 0.5% kt PPe，得 ln5 ln0.005 4 t ， 所以 23 55 4ln200 4log 2004log52 ln5 t 5 8 12log 213.16 ， 故正整数n的最小值为14 410 . 故选：C. 【点睛】 本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等 题. 11设设 1 x, , 2 x, , 3 x分别是方程分别是方程 3 log3xx, , 3 log2xx, , ln4 x ex的实根
10、的实根, , 则则( )( ) A 123 xxx B 213 xxx C 231 xxx D 321 xxx 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】 由题,对于 3 log3xx,由 3 logyx与3yx的图像,如图所示, 第 6 页 共 16 页 可得 1 23x； 对于 3 log2xx,由 3 log2yx与y x的图像,如图所示, 可得 2 10 x ； 对于ln4 x ex,由4 x ye与 lnyx 的图像,如图所示, 可得 3 0,1x 或 3 1,2x 故 231 xxx 【点睛】 本题考查零点的分
11、布,考查转化思想与数形结合思想 12已知函数已知函数 2 ( )ln(1)f xxx ，若，若(0,)x时，不等式时，不等式 2 (1)() 0fxfmx 恒成立，则恒成立，则实数实数m的最大值为（的最大值为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 根据分子有理化,可判断 ( )f x为奇函数.由解析式判断出单调性,即可将不等式化 简,求得m的最大值. 【详解】 依题意知函数 ( )f x的定义域为R, 22 22 2 11 ()ln1lnln1 1 xxxx fxxxxx xx 第 7 页 共 16 页 即()( )fxf x ,所以 ( )f x为奇函数.由解析
12、式可知( )f x为减函数. 所以不等式 2 10fxfmx可化为 2 1fxf mx, 即 2 1xmx , 即在(0,)上 2 2 1x m x 恒成立. 因为 2 22 11 11 x xx , 所以1,mm的最大值是 1. 故选:B 【点睛】 本题考查了对数函数的运算性质,对数函数奇偶性及单调性的判断.根据奇偶性及单调性 解不等式求参数,属于中档题. 二、填空题二、填空题 13已知已知tan4，则，则tan2_. 【答案】【答案】 8 15 【解析】【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解. 【详解】 由正切的二倍角公式,代入即可求解. 2 2tan tan2 1tan . 2 248
13、 15 14 故答案为: 8 15 【点睛】 本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题. 14已知函数已知函数 2 6,0, ( ) log (),0, xx f x x x ，若，若( )5f a ，则，则a_. 【答案】【答案】32 【解析】【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】 第 8 页 共 16 页 函数 2 6,0, ( ) log (),0, xx f x x x 所以当0a时,( )66f aa,即( )5f a 无解; 当0a , 2 ( )log ()5f aa,即32a ,解得32a 综上可知,32a 故答案为:32 【点睛】 本题考查了分段函数的
14、简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 15 2 40 43 2 ( 3)(3)log 6427_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 【详解】 根据指数幂运算及对数的性质,化简可得 2 40 43 2 ( 3)(3)log 6427 2 63 3 2 31 log 23 3 1 691 . 故答案为:1 【点睛】 本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题. 16定义在定义在 R上的偶函数上的偶函数 ( )f x满足 满足( )(4)f xfx,且当且当0,2x时时,( )cosf xx,则则 ( )( )lgg xf xx的零点个数为
15、的零点个数为_. 【答案】【答案】10 【解析】【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数( )( )lgg xf xx的 零点个数等价于函数( )yf x的图像与函数lgyx的图像的交点个数，再结合函数 的性质作图观察即可得解. 【详解】 解：由于定义在 R 上的偶函数 yf x满足4( )f xfx, 所以 yf x的图象关于直线2x对称, 第 9 页 共 16 页 画出0,)x时， yf x部分的图象如图,在同一坐标系中画出lgyx的图象, 由图可知：当(0,)x时,有 5 个交点, 又lgyx和 yf x都是偶函数, 所以在 (,0)x 上也是有 5个交点,所以 lgg
16、xf xx的零点个数是 10， 故答案为：10. 【点睛】 本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转 化，属中档题. 三、解答题三、解答题 17已知集合已知集合 2Ax xa或或 3xa， 0 50 x Bx x . （1）当）当1a 时，求时，求AB； （2）若）若ABB，求实数，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1x x 或0 x ； （2）(, 37,) . 【解析】【解析】 （1）先写1a 时集合 A与 B，再计算并集即可； （2）先判断BA，再列关系求参数范围即可. 【详解】 （1）集合 B中因为 0 50 x x ，所以05x
17、，即05Bxx， 当1a 时，2Ax xa或 3xa， 所以1ABx x 或0 x . （2）因为ABB，所以BA，由（1）知05Bxx， 则30a 或25a，即3a或7a， 所以实数a的取值范围为(, 37,) . 第 10 页 共 16 页 【点睛】 本题考查了集合的并集运算，利用子集关系求参数，属于基础题. 18已知角已知角的终边经过点的终边经过点 2, 3P, ,求下列各式的值求下列各式的值. . ( (1) ) 2sin 3cossin ; ; ( (2) ) 222 3 cossinsin2 22 . . 【答案】【答案】(1) 2 3 (2) 4 13 【解【解析】析】 （1）由
18、三角函数定义可得 3 tan 2 ,对于原式分子分母同除cos,进而求解 即可； （2） 由三角函数定义可得 2 2 33 13 sin 13 23 , 利用诱导公式化简,进而代入 求解即可 【详解】 解:(1)由角的终边经过点2, 3P,可知 3 tan 2 , 则 3 2 2sin2tan22 33cossin3tan3 3 2 (2)因为 33 13 sin 1349 , 所以 222 3 cossinsin2 22 222 sincossin2 2 sin1 2 94 1 1313 【点睛】 本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数 值 19已知函
19、数已知函数 ( )2cos() 0 2 f xx 的图象过点的图象过点(0,2). 第 11 页 共 16 页 （1）求函数）求函数 f x的解析式，并求出的解析式，并求出 f x的最大值的最大值 最小值及对应的最小值及对应的x的值；的值； （2）把）把 yf x的图象向右平移的图象向右平移 1 个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数 g x的图象，求的图象，求 g x的的 单调递减区间单调递减区间. 【答案】【答案】 （1）( )2cos 4 f xx ， 1 2() 4 xkkZ时， max ( )2f x， 3 2() 4 xkkZ时， min ( )2f x ； （2） 37 2,2
20、() 44 kkk Z. 【解析】【解析】 （1） 先将点代入得到值， 即得到解析式， 再利用余弦函数特征得到结果即可； （2）先按照平移变换函数 g x解析式，再利用余弦函数特征得到递减区间. 【详解】 （1）代入点0,2，得2cos(0)2， 2 cos 2 . 因为0 2 ，所以 4 ，( )2cos 4 f xx . 当2 4 xk ，即 1 2() 4 xkkZ时， max ( )2f x； 当2 4 xk ，即 3 2() 4 xkkZ时， min ( )2f x . （2）由（1）知( )2cos 4 f xx ， 所以 3 ( )2cos(1)2cos 44 g xxx . 当
21、 3 22() 4 kxkk Z时，( )g x单调递减， 所以 37 22 () 44 kxk kZ， 所以( )g x的单调递减区间为 37 2,2() 44 kkk Z. 【点睛】 本题考查了余弦函数图像的综合应用，属于中档题. 20已知函数已知函数 f x是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当 0,x时，时， 2 3 2f xxaxa . （1）求）求 f x的解析式；的解析式； 第 12 页 共 16 页 （2）若）若 f x是是R上的单调函数，求实数上的单调函数，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 2 2 32 ,0 0,0 32 ,0 xaxa x
22、f xx xaxa x ； （2） 3 0, 2 【解析】【解析】 （1）由奇函数的定义可求得解析式； （2）由分段函数解析式知，函数在R上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴 和最值可得参数范围即0 x时要是增函数，且端点处函数值不小于 0. 【详解】 解： （1）因为函数 f x是定义在R上的奇函数，所以 00f， 当0 x时，0 x ， 则 2 32fxxaxa 2 3 2xaxaf x ， 所以 2 3 20 xaxaf xx ， 所以 2 2 32 ,0 0,0 32 ,0 xaxa x f xx xaxa x . （2）若 f x是R上的单调函数，且 00f， 则实数a满足 0
23、 2 320 a a ， 解得 3 0 2 a， 故实数a的取值范围是 3 0, 2 . 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相 同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系 21已知函数已知函数 ( )2sin()f xx06,| 2 ， ( )f x的图象的一条对称轴 的图象的一条对称轴 是是 3 x ，一个对称中心是，一个对称中心是 7 ,0 12 . （1）求）求 ( )f x的解析式； 的解析式； 第 13 页 共 16 页 （2） 已知） 已知, ,A B C是是ABC的三个内角， 且的三个内角， 且 48 1225 fB ， 5 cos
24、13 C ， 求， 求cosA. 【答案】【答案】 （1）( )2sin 2 6 f xx ； （2） 33 65 或 16 65 【解析】【解析】 （1）根据对称轴和对称中心,可表示出周期.由06即可求得的值.再由 对称轴即可求得的值,进而求得 ( )f x的解析式; （2）根据 48 1225 fB ,代入解析式,结合同角三角函数关系式,即可求得 sin ,cosBB的值.再根据 5 cos 13 C 求得sinC,结合诱导公式及余弦的和角公式即可 求得cosA. 【详解】 （1）设 ( )f x的最小正周期为T, ( )f x的图象的一条对称轴是 3 x ,一个对称中心是 7 ,0 12
25、 , 7 (21) 1234 T k , * kN , 21 T k , * kN , 2 21k , * kN , 42k, * kN 06,2 ( )f x图象的一条对称轴是 3 x , 2 32 k ,kZ, 6 k ,kZ. | 2 , 6 6 ( )2sin 2 6 f xx . 第 14 页 共 16 页 （2）由（1）知 48 2sin2 1225 fBB , 所以 24 sin2 25 B ,即 12 sincos 25 BB . 因为, ,A B C是ABC的三个内角,0B,所以sin0B,cos0B . 又因为 22 sincos1BB , 联立,得 4 sin, 5 3
26、cos 5 B B 或 3 sin, 5 4 cos. 5 B B 当 4 sin 5 B , 3 cos 5 B 时, 3541233 coscos()coscossinsin 51351365 ABCBCBB ； 当 3 sin 5 B ,cos 4 5 B 时, 4531216 coscos()coscossinsin 51351365 ABCBCBB . 【点睛】 本题考查了根据三角函数的性质求三角函数解析式.由同角三角函数关系式及余弦的和 角公式求三角函数值,属于基础题. 22已知函数已知函数 22 ( ) 3 xx ee f x ，其中，其中e为自然对数的底数为自然对数的底数. （
27、1）证明：）证明： ( )f x在 在(0,)上单调递增上单调递增. （2）设）设0a，函数，函数 2 ( )cos2cos 3 g xxaxa，如果总存在，如果总存在 1 ,xa a ，对任，对任 意意 2 xR， 12 f xg x都成立，求实数都成立，求实数a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）ln2,) 【解析】【解析】 （1）根据定义任取, 12 ,(0,)x x ,且 12 xx,利用作差 12 f xf x,变形后 即可判断符号,即可证明函数的单调性. （2）根据定义可判断 ( )f x和( )g x的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在 1
28、 , (0)xa a a ,对任意 2 xR都有 12 f xg x.根据解析式及单调性,分别求得 ( )f x的最大值和( )g x的最大值,即可得不等式 25 ( ) 33 aa f aee.再利用换元法, 第 15 页 共 16 页 构造对勾函数形式,即可解不等式求得a的取值范围. 【详解】 （1）证明：任取, 12 ,(0,)x x ,且 12 xx,则 12 f xf x 1122 121212 1 2 2 2 22222211 3333 xxxx xxxxxx x eeee eeeeee ee 21 12121212 121212 2212 (11 333 xx xxxxxxxx
29、xxxxxx ee eeeeeee eee 因为 12 ,(0,)x x , 12 xx,所以 12 1 xx ee , 12 0 xx ee , 12 1 xx e , 所以 12 f xf x,即当 12 0 xx时,总有 12 f xf x,所以( )f x在(0,)上单 调递增. （2）由 2e2e ()( ) 3 xx fxf x , 得 ( )f x是R上的偶函数,同理,( )g x也是R上的偶函数. 总存在 1 , (0)xa a a ,对任意 2 xR都有 12 f xg x,即函数( )yf x在 , a a 上的最大值不小于( )yg x,xR的最大值. 由（1）知 ( )
30、f x在(0,)上单调递增,所以当, xa a 时,( )f x的最大值为 ( )f a, 2 2 2 11 ( )2coscos2 cos 3483 aa g xxaxaxa . 因为1cos1x ,0a,所以当cos1x时,( )g x的最大值为 5 3 . 所以 25 ( ) 33 aa f aee. 令1(0) a tea,则 15 2 t t , 令 1 ( )(1)h ttt t , 易知( )h t在(1,)上单调递增,又 5 (2) 2 h,所以2t ,即 2 a e , 所以ln2a,即实数a的取值范围是ln2,). 【点睛】 本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值 范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题. 第 16 页 共 16 页
