1、1 三明一中 20202021 学年上学期第一次月考试卷 高一数学 （总分 150 分，时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1.已知集合 ? ? ? ? 0 ，? ?0?1?2?，则? A. ?B.?C.? ? ? ? D.? ? ? ? 解析：选 B 2下列说法正确的是() AN 中最小的数是 1B若aN*，则 aN* C若 aN*，bN*，则 ab 最小值是 2 Dx244x 的实数解组成的集合中含有 2 个元素 解析：选 CN 是非负整数集，最小的非负整数是 0，故 A 错误；当 a0 时，aN*， 且 aN*，故 B 错误；若 aN*，则 a 的最小
2、值是 1，又 bN*，b 的最小值也是 1，当 a 和 b 都取最小值时，ab 取最小值 2，故 C 正确；由集合元素的互异性知 D 是错误的故 C 正 确 3.下列关于空集?的叙述：?0 ? ?；? ? ?；? ?0?；正确的个数为? A.0B.1C.2D.3 【答案】B 【解析】解：? ?中没有任何中元素，0 ? ?，故?错误；? ? ?，故?正确； ?0? ? ?，故?错误；故正确的只有?；故选：B直接根据?中没有任何中元素，? 是?的元素，且是?0?的真子集即可判断本题考查命题真假的判断，考查元素与集 合、空间和单元素集合?0?关系等基础知识，是基础题 4已知2,3,4,5,6,7U
3、，3,4,5,7M ，2,4,5,6N ，则（）. A4,6MN B.MNUC() u C NMUD.() u C MNN 【答案】B 5.下列命题为真命题的是 A.若 ? ? ，则 ? ? B.若 ? ? 2，则 ? ? C.若 ? ? ? ? ，则 ? D.若 ? 1，则 ? 【答案】D 2 【分析】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题 分别举例说明选项 A，B，C 错误；利用基本不等式的性质说明 D 正确 【解答】 解：由 ? ? ，当 0 时，有 ? ，选项 A 错误； 若 ? ? 1 ? 2，但? 1 ，选项 B 错误； 若? ? ? ? ，不一定有 ? ，如
4、 ? 2 ? ? ?，当 2 ? ?，选项 C 错误； 若 ? ，则? ?2 ? ?2，即 ? ，选项 D 正确故选：D 6.设 ? ? ? ? ?.则“? ? ”是“? ? ?”的? A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】本题考查充分条件，必要条件的判断，属于基础题可以代入特殊值分别判断充分 性和必要性 【解答】解：若 ? ? ，取 ? 1， ? 2，则? ?，则“? ? ”是“? ? ?”不充 分条件；若? ? ?，取 ? ? 2， 1，则 ? ，则“? ? ?”是? ? ”不必要条件； 则 ? ? ?， ? ?.“? ? ”是
5、“? ? ?”的既不充分也不必要条件，故选：D 7. 已知正实数 x，y 满足.则的最小值为? A.4B.C.D. 【答案】D 【分析】本题考查不等式的实际应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 把已知等式变形，可得 1 2? 1 ? 1，再由 ? ? ? ? ? ? 1 2? 1 ? ?，展开后利用基本不等式 求得最值 解：由 ? ? 0，? ? 0，? 2? 2?，得 1 2? 1 ? 1， 则 ? ? ? ? ? ? 1 2? 1 ? ? ? 2? 1 1 2 ? ? ? ? 2 2 ? 2? ? ? ? ? 2 2， 当且仅当 ? 2? ? ?，即 ? 22 2 ，? 1 2 2
6、时等号成立 ? 故选 D 8. 已知，关于的一元二次不等式的解集为? A.，或B. C.，或D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，先化简得? ? 2? ? 1? ? 0，再结合 ? 0 可解得答案 【解答】解：由得? ? 2? ? 1? ? 0， 又因为 ? 0，故可得2 ? ? 1，故选 B 9.设恒成立，则实数的最大值为? A.2B.4C.8D.16 【答案】B 【分析】本题考查基本不等式求最值以及不等式的恒成立问题，属于基础题 先求出 ? ? ?时，? ? 1 ? 1 ? ?的最小值，即可得到 a 的最大值 【解答】 解：因为 ? ? ?时，? ? 1 ? 1 ? 恒
7、成立， 所以? ? 1 ? 1 ? ?， 因为 ? ? ?，则? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ?2 2 ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 ? ? 时取得，所以? ? 1 ? 1 ? ? ?， 所以 ?，即实数 a 的最大值为 4故选 B 10. 已知 ? ?0?1?2?，且 A 中至少有一个奇数，则这样的集合 A 共有? A.11 个B.12 个C.15 个D.16 个 【答案】B ? 【分析】本题考查了子集的定义，解题的关键在于对“A 中至少有一个奇数”的理解，进而 分“A 中有 1 个奇数或 2 个奇数”两种情况讨论 根据题意，分 A 中有 1 个奇数或 2 个奇数两种情况讨
8、论，利用列举法即可求出答案 【解答】 解：根据题意，A 中至少有一个奇数，包含两种情况，A 中有 1 个奇数或 2 个奇数， 若 A 中含 1 个奇数，有?1?，?，?0?1?，?1?2?，?0?，?2?，?0?1，2?，?0?2，?，共 8 种， A 中含 2 个奇数，有?1?，?0?1，?，?1?2，?，?0?1，2，?，共 4 种， 则这样的集合 A 共有 ? ? 12 种情况 故选 B 11.下列命题中，真命题的是? A.? 0 的充要条件是 ? 1 B.? ? 1， ? 1 是 ? ? 1 的充分条件 C.命题“? ? ?，使得?2 ? 1 0”的否定是“? ? ? 都有?2 ? 1
9、 ? 0” D.“? ? 1”是“?2 ? ? 2 ? 0”的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】本题主要考查命题 d 的真假的判定，以及充分、必要条件，含有一个量词的命题的 否定，属于基础题逐个进行判断即可 【解答】 解：A? 0? 0 时，不能得 ? 1，由 ? 1 得 ? ，所以 A 错误； B.? ? 1， ? 1，则 ? ? 1，正确； C.命题“? ? ?，使得?2 ? 1 0”的否定是“? ? ? 都有?2 ? 1 ? 0”，正确； D.解?2 ? ? 2 ? 0 得 ? ? 1 或 ? ? 2，所以“? ? 1”是“?2 ? ? 2 ? 0”的充分不必要 条件，正确故选 B
10、CD 12.对任意 A，? ? ?，记 ? ? ? ? ? ? ? ?，并称 ? ? ? 为集合 A，B 的对 称差例如，若 ? ?1?2，?，? ?2?3，?，则 ? ? ? ?1?，下列命题中，为真命题的 是? A.若 A，? ? ? 且 ? ? ? ?，则 ? ? B.若 A，? ? ? 且 ? ? ? ?，则 ? ? 5 C.若 A，? ? ? 且 ? ? ? ? ?，则 ? ? ? D.存在 A，? ? ?，使得 ? ? ? ? ? ? 【答案】ABD 【分析】本题主要考查新定义，考查了交、并、补集的混合运算，属于较难题 根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可 【解答】 解： 对
11、于 A 选项， 因为 ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ?， 且 B 中的元素不能出现在 ? ? ? 中，因此 ? ?，即选项 A 正确； 对于 B 选项，因为 ? ? ? ?，所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? 与 ? ? ? 是相同 的，所以 ? ?，即选项 B 正确； 对于 C 选项，因为 ? ? ? ? ?，所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ?，即选项 C 错误； 对于 D 选项，设 ? ? 2 ? ? ? 1 ?则 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 所以 ? ? ? ?1或?2
12、，又? ?2 ? ?1 ， ? ? ? ?1或?2 ? ? ? ? ?，所以? ? ? ?1或?2 ， 因此 ? ? ? ? ? ?，即 D 正确故选：ABD 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13已知集合0,1A ，0,1,2,3B ，则AB中的元素个数为_. 解析：4 14. 设集合 A1，2，a21，B1，a23a，0，若 AB，则实数 a_ 解析：由集合相等的概念得 a210， a23a2，解得 a1. 答案：1 15.已知 ? ? ?，则 ? ? ? 的最小值是，此时 ? 答案：7，5 16.给出下列三个论断：? ? ；? 1 ? 1 ；? 0 且 0 以其中的两个论断
13、作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：_ 【答案】若 ? ? ，? 0 且 0，则1 ? 1 或者若 1 ? 1 ，? 0 且 0，则 ? ? 【分析】本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质是解决本题的关键难度不大 根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可 6 【解答】 解：若? ? ；? 0 且 0，则 0 ? ? ? ，则? 1 ? 1 成立，即真命题为：若 ? ? ， ? 0 且 0，则1 ? 1 ，若 1 ? 1 ；? 0 且 0，则 ? ? 成立，即 1 ? 1 ；? 0 且 0， 则 ? ? 是真命题， 故答案为：若 ? ? ，? 0 且 0，则1 ? 1 ，或
14、者若 1 ? 1 ，? 0 且 0，则 ? ? 三、解答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分） 17.已知 ? ? ?，求证：?22 ?2 2? ? 1? 【答案】证明：由均值不等式得?22 ?2? 2?2，?22 2? 22?，2 ?2? 2?， 三式相加得 2?22 2?2 22? 2?2 2?2 2? 2? 1? 所以?22 ?2 2? ? 1? 【解析】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题 利用均值不等式，利用综合法证明即可 18.已知集合 ? ?2? 2? ? ? ? 0?，? ? ? 1? ?1?求集合 A?2?若全集 ?
15、 ?，求? ? ? 【答案】解：?1? ?解不等式?2? 2? ? ? ? 0，得 ? ? 1 或 ? ? ?， ?集合 ? ?2? 2? ? ? ? 0? ? ? 1 或 ? ? ? ?2? ?集合 ? ? ? 1 或 ? ? ?.全集 ? ?，? ? ? ? 1 ? ?， ? ? ? ? 1?，? ? ? ? ? ? 1? 【解析】?1?解不等式?2? 2? ? ? ? 0，能求出集合 A ?2?由集合 ? ? ? 1 或 ? ? ?.全集 ? ?，求出? ? ? 1 ? ?，再由 ? ? ? 1?，能求出? ? ? 本题考查集合的求法，考查补集、并集的求法，考查一元二次不等式、补集、并集
16、等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 19. 已知集合 ? ?1 ? 6?，? ? ? ? ? ? ?1?当 ? ? 时，求 ? ? ?；?2?若 ? ? ? ?，求实数 m 的取值范围 【答案】解：?1?当 ? ? 时，? ?0 ? ?， 所以? ? ? 0或? ? ? 又因为 ? ?1 ? 6?， 所以 ? ? ? ? 6? ?2?由 ? ? ? ?，可得 ? ? ? ?当 ? ? ? ? ?，即 ? ? 2 时，? ?，满足题意； 7 ?当 ? ? ?，即 ? ? 2 时，由 ? ? ?，可得 ? ? ?1 ?6 ?解得 2 ? ? ? 综合?，可得实数 m 的取
17、值范围为? ? ? 【解析】 本题考查集合的交集、 并集、 补集的计算及包含关系， 集合关系中参数的取值范围， 属于基础题 ?1?当 ? ? 时，求出 N， 然后利用补集、交集定义求解即可； ?2?若 ? ? ? ?，可得 ? ? ?.则分集合 N 为空集和非空集两种情况讨论，求实数 m 的取 值范围 20.本题 12 分）设函数 ? ?2 ? ? 1? ? ? ? 若“? ? ?，? 0”是假命题，实数 a 的取值范围为集合 M，求 M； 【答案】解：若“? ? ?，? 0”是假命题， 可得? ? ?，? ? 0 恒成立，即 ?2 ? ? 1? ? ? 0， 当 ? 0 时，? ? ? 0，
18、即 ? ? 0，不恒成立； 当 ? 0 时，?的图象开口向下，? ? 0 不恒成立； 当 ? ? 0，且? ? 0，即? ? 1?2? ?2? 0，解得1 5 ? ? ? 1 所以 ? ? 1 5 ? ? ? 1? 21.已知函数 ? ?2 ? ? ? 2 2? ，a， ? ? ?1?若关于 x 的不等式 ? ? 0 的解集为? ? ? 或 ? ? 2?，求实数 a，b 的值； ?2?若关于 x 的不等式 ? 12 的解集中恰有 3 个整数，求实数?的取值范围 【答案】解：?1?由题可知，? ? 和 2 是方程?2 ? ? ? 2 2? 0 的两根， ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?
19、 2 2 2? ，解得 ? 1 ? 12 ?2?由 ? 12 得，?2 ? ? ? 2? ? 10 0， 令 ? ?2 ? ? ? 2? ? 10 ? ? 2? ? ? ? 5?， ? ?2? 0，? ? 0 的解集中的 3 个整数只能是 3，4，5 或? 1，0，1 当解集中的 3 个整数是 3，4，5 时，有 5 ? ? 5 ? 6，解得 10 ? ? 11； 当解集中的 3 个整数是? 1，0，1 时，有? 2 ? ? ? 5 ? 1，解得 ? ? ? ? 综上所述，实数?的取值范围为? ? ?10?11? ? 22.由于春运的到来，某火车站为舒缓候车室人流的压力，决定在候车大楼外搭建临
20、时候车 区，其中某次列车的候车区是一个总面积为 50?2的矩形区域?如图所示?，矩形场地的一面 利用候车厅大楼外墙?长度为 12?，其余三面用铁栏杆围挡，并留一个宽度为 2? 的入 口现已知铁栏杆的租用费用为 80 元?.设该矩形区域的长为 ?单位：?，租用铁栏杆的 总费用为 ?单位：元? ?1?将 y 表示为 x 的函数， 并求租用搭建此区域的铁栏杆所需费用的最小值及相应的 x ?2?若所需总费用不超过 2160 元，则 x 的取值范围是多少？ 【答案】解：?1?依题意有 ? ?0 50 ? ? 2 ? ? 2 ，其中 2 ? ? 12 由均值不等式可得 ? ?0 100 ? ? ? 2 ?
21、 ?0 ? 2 100 ? 2 1?0， 当且仅当100 ? ?，即 ? 10 时取“” 综上，当 ? 10 时，租用搭建此区域的铁栏杆所需费用最小，最小费用为 1440 元 ?2? ?0 100 ? ? ? 2 ? 2160， ? 100 ? ? ? 2 ? 27，? ?2? 2? 100 ? 0，解得 ? ? ? ? 25 又? ? ? 12，? ? ? ? ? 12 【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题 ?1?依题意有 ? ?0? 50 ? ? 2 ? ? 2?，其中 2 ? ? 12.利用基本不等式得出最小值即可； ?2?由题意得 ? ?0? 100 ? ? ? 2?2160，解出即可
