1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-2020 学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1. 复数2zi 的虚部为（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用复数的基本概念得答案. 【详解】解：复数2zi 的虚部为 1. 故选：C. 【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题 2. 已知向量,2ax，3, 1b 若a b rr ，则x（ ） A. 2 3 B. 3 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根
2、据平面向量的坐标运算，列方程求出 x 的值. 【详解】解：向量,2ax，3, 1b ； 若a b rr ，则 0a b ， 即3210 x ， 解得 2 3 x . 故选：A. 【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题 3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满 200 元就可以 参加一次抽奖活动，中奖的概率为 1 10 .那么以下理解正确的是（ ） A. 某顾客抽奖 10 次，一定能中奖 1 次 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - B. 某顾客抽奖 10 次，可能 1 次也没中奖 C. 某顾客消费 210 元，一定不能中奖 D.
3、 某顾客消费 1000 元，至少能中奖 1 次 【答案】B 【解析】 【分析】 根据概率的定义进行判断. 【详解】解：中奖概率 1 10 表示每一次抽奖中奖的可能性都是 1 10 ， 故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B. 【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题 4. 要得到函数sin 2 2 yx 的图象，只要将函数sin2yx的图象（ ） A. 向右平移 2 个单位长度 B. 向左平移 2 个单位长度 C. 向右平移 4 个单位长度 D. 向左平移 4 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意利用函数sinyAx的图象变换规律，得出结论. 【详解】解：只要将函数
4、sin2yx的图象向左平移 4 个单位长度， 即可得到函数sin 2 2 yx 的图象， 故选：D. 【点睛】此题考查函数sinyAx的图象变换，属于基础题 5. 在复平面内，复数 2 1ii对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数，找出对应点得到答案. 【详解】 2 11iii 对应点为( 1,1)在第二象限 故答案选 B 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题. 6. 设 l 是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若/l，
5、/ l，则/ B. 若 ，/l，则l C. 若 ，l，则/l D. 若/l，l，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】A.若/l，/l，则与可能平行，也可能相交，所以不正确. B.若 ，/l，则l与可能的位置关系有相交、平行或l ,所以不正确. C.若 ，l，则可能l ，所以不正确. D.若/l，l ，由线面平行的性质过l的平面与相交于 l ，则l l ，又l. 所以l ，所以有，所以正确. 故选：D 【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题. 7. 已知 A，B，C，D 是平面内四个不同
6、的点，则“ /CBDA ”是“四边形ABCD为平行四边形” 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【答案】B 【解析】 【分析】 根据必要条件、充分条件的定义即可判断. 【详解】解：由 /CBDA 可不一定推出四边形ABCD为平行四边形， 但由四边形ABCD为平行四边形一定可得 /CBDA ， 故“ /CBDA ”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件， 故选：B. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题 8. 沙漏是古代
7、的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成， 开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某 沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高 度为圆锥高度（h）的 2 3 （细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住 沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高 h 的比值为（ ） A. 8 27 B. 4 9 C. 2 3 D. 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 2 3 h，设圆锥的底面半径为 r，则细沙形 成的圆锥的底面半径
8、为 2 3 r，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为 h ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 求出细沙的体积，由体积相等求解 h ，则答案可求. 【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 2 3 h， 设圆锥的底面半径为 r，则细沙形成的圆锥的底面半径为 2 3 r， 细沙的体积为 2 2 1228 33381 Vrhr h . 细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径 r，设高为 h ， 则 22 18 381 Vrhr h， 得 8 27 hh . 8 27 h h . 故选：A. 【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档
9、题 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题）小题）. 9. 若函数 f xsinxcosx，则 12 f 的值为_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 由已知利用二倍角公式可求 1 sin2 2 f xx，进而根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】解： 1 sin cossin2 2 f xxxx， 11111 sin 2sin 1221226224 f . 故答案为： 1 4 . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题 10. 已知复数z满足 2i 1i z ，那么z _，|z _ 【答案】 (1). 1
10、i (2). 2 【解析】 【分析】 利用复数除法运算得到复数z，进而求出其共轭与模即可. 【详解】复数 2i2i(1) i(1)1 1 i(1 i)(1 i) i zii ， 故 1iz ，|2|z 【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题. 11. 已知在ABC中，6a ， 3 2b ，30A，则B _. 【答案】60或120. 【解析】 【分析】 由已知利用正弦定理可得 3 sin 2 B ，结合ba，可得范围 30 ,180B，即可求解 B 的值. 【详解】解：6a ， 3 2b ，30A， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 1 3 2 sin3 2 sin 26
11、bA B a ， ba，可得30 ,180B， 60B ，或120. 故答案为：60，或120. 【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题 12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是 0.5，0.4，0.3，a，如果甲、 乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则 a 的最大值是 _. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【答案】0.79. 【解析】 【分析】 由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事 件概率计算公式列出方程，由此能求出 a 的最大值. 【详解】解：
12、甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是 0.5，0.4，0.3，a， 甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率， 11 0.5 1 0.4 1 0.3a， 解得0.79a. a 的最大值是 0.79. 故答案为：0.79. 【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题 13. 已知 l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个论断：/l m， / ，m，l.以其中的两个论断作为命题的条件，l作为命题的结论， 写出一个真命题：_. 【答案】若/l m，m，则l 【解析】 【分析】 若/l m，m，则l，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论
13、. 【详解】解：l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面， 可得若/l m，m，则l， 理由：在内取两条相交直线 a，b， 由m可得ma.mb， 又/l m，可得la.lb， 而 a，b 为内的两条相交直线，可得l. 故答案：若/l m，m，则l 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题 14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 力为 G，作用在行李包上的两个拉力分别为 1 F， 2 F，且 12 FF， 1 F与 2 F的夹角为.给出 以下结论
14、： 越大越费力，越小越省力； 的范围为0,； 当 2 时， 1 FG； 当 2 3 时， 1 FG. 其中正确结论的序号是_. 【答案】. 【解析】 【分析】 根据 12 GFF为定值， 求出 2 2 1 2 1 cos G F ， 再对题目中的命题分析、 判断正误即可. 【详解】解：对于，由 12 GFF为定值， 所以 2222 12121 2cos21 cosGFFFFF， 解得 2 2 1 2 1 cos G F ； 由题意知0,时，cosy单调递减，所以 2 1 F单调递增， 即越大越费力，越小越省力；正确. 对于，由题意知，的取值范围是0,，所以错误. 对于，当 2 时， 2 2 1
15、 2 G F ，所以 1 2 2 FG ，错误. 对于，当 2 3 时， 22 1 FG，所以 1 FG，正确. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 综上知，正确结论的序号是. 故答案为：. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题 三、解答题共三、解答题共 5 题，每题题，每题 10 分，共分，共 50 分分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程过程. 15. 已知函数 f xg x h x，其 2 2sing xx， h x _. （1）写出函数 f x的一个周期（不用说明理由） ； （2）当,
16、 4 4 x 时，求函数 f x的最大值和最小值. 从cos 4 x ， 2 sin 24 x 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答， 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 【答案】若选（1）T； （2）最小值2，最大值 2 1 ；若选（1）2T， （2）最 大值 2 4 ，最小值 2 1 2 . 【解析】 【分析】 （1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求； （2）由已知角 x 的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】解：选， （1）因为 2 2sin cos2sincossin 4 f xxxxxx ， 2 2sin c
17、os2sinsin2cos21xxxxx 2sin 21 4 x ， 故函数的周期T； （2）因为, 4 4 x ，所以 3 2, 444 x ， 当2 44 x 即 4 x 时，函数取得最小值2，当2 42 x 即 8 x 时，函数取得最 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 大值 2 1 ， 选， （1） 2 2 2sin sin 24 x f xx 2sin1 cos 2 xx ， 2 2 sinsinxx ， 故函数的一个周期2T， （2）由, 4 4 x 可得 22 sin, 22 x ， 1 sin 2 x 时即 6 x 时，函数取得最大值 2 4 ，
18、 当 2 sin 2 x 时即 4 x 时，函数取得最小值 2 1 2 . 【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能 力，属于中档题 16. 某医院首批援鄂人员中有 2 名医生，3 名护士和 1 名管理人员.采用抽签的方式，从这六名 援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间； （）求选中 1 名医生和 1 名护士发言的概率； （）求至少选中 1 名护士发言的概率. 【答案】 （）样本空间见解析； （） 2 5 ； （） 4 5 . 【解析】 【分析】 （）给 6 名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间
19、； （）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率； （）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率. 【详解】解： （）设 2 名医生记为 1 A， 2 A，3 名护士记为 1 B， 2 B， 3 B，1 名管理人员记为 C， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 则样本空间为： 1211121312122 ,A AA BA BA BA CA BA B 232121312323 ,A BA CB BB BB CB BB CB C. （）设事件 M：选中 1 名医生和 1 名护士发言，则 111213212223 ,MA BA BA BA
20、 BA BA B， 6n M ，又 15n ， 62 155 P M （）设事件 N：至少选中 1 名护士发言，则 1212 ,NA AA CA C， 3n N ， 34 11 155 P NP N . 【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式用列举法写出事件 空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法 17. 在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F 分别为AB和 1 DD的中点. （1）求证：/EF平面 1 BCD； （2）在棱 11 C D上是否存在一点 M，使得平面MEF 平面 1 BCD？若存在，求出 1 1 C M D M 的值； 若不存
21、在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，1. 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （1）取 1 DC的中点 G，连接FG，GB，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合 线面平行的判定定理，即可得证； （2）在棱 11 C D上假设存在一点 M，使得平面MEF 平面 1 BCD，取 M 为 11 C D的中点，连 接 1 DC，FM，EM，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论. 【详解】解： （1）取 1 DC的中点 G，连接FG，GB，因为 F 为 1 DD的中点， 所以FGDG，且 1 2
22、FGDC， 在正方体 1111 ABCDABC D中，因为 E 为AB的中点， 所以EBDC，且 11 22 EBABDC，所以FGEB，FGEB， 可得四边形EBGF为平行四边形， 所以EFGB，又因为EF 平面 1 BCD，GB平面 1 BCD， 则EF平面 1 BCD； （2）在棱 11 C D上假设存在一点 M，使得平面MEF 平面 1 BCD， 取 M 为 11 C D的中点，连接 1 DC，FM，EM， 因为 F 为 1 DD的中点，所以FM 1 DC，因为 11 DCDC ， 可得 1 FMDC， 因为BC平面 11 DDCC，FM 平面 11 DDCC， 所以BCFM， 因为B
23、C 平面 1 BCD， 1 DC 平面 1 BCD， 1 BCDCC， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 所以FM 平面 1 BCD， 因为FM 平面MEF，所以平面MEF 平面 1 BCD， 故 1 1 1 MC MD . 【点睛】 此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查 推理能力，属于中档题 18. 在ABC中，3a ，D 是AC的中点， 19 2 BD ，2 cos2bCac . （1）求 B； （2）求ABC的面积. 【答案】 （1） 2 3 B ； （2）15 3 4 . 【解析】 【分析】 （1）直接由已知
24、条件和正弦定理求出 B 的值. （2）根据余弦定理求出 c 的值，再根据面积公式即可求出. 【详解】解： （1）由2 cos2bCac及正弦定理， 可得： 2sincos2sinsin2sinsin2sincos2cossinsinBCACBCCBCBCC ， 所以：2cossinsin0BCC， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 由于：0C，sin0C ， 1 cos 2 B 因为0,B， 解得： 2 3 B ； （2）延长线段CB到 E，使得3BECB， 因为 D 是AC的中点， 所以DB是ACE的中位线， 所以219AEDB， 因为 2 3 ABC ，
25、所以 3 ABE ， 在ABE中，由余弦定理 222 2cosAEABBEAB BEABE 可得 2 1 19923 2 cc ，解得5c ， 所以 11315 3 sin3 5 2224 ABC SacB . 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力， 属于中档题 19. 对于任意实数 a，b，c，d，表达式adbc称为二阶行列式（determinant） ，记作 ab cd ， （1）求下列行列式的值： 10 01 ； 13 26 ； 25 1025 ； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）求证：向量,pa b与向
26、量,qc d共线的充要条件是0 ab cd ； （3）讨论关于 x，y 的二元一次方程组 111 222 a xb yc a xb yc （ 12 1 2 0a a bb ）有唯一解的条件，并 求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）. 【答案】 （1）1，0，0； （2）证明见解析； （3）当 11 22 0 ab ab 时，有唯一解， 11 22 11 22 cb cb x ab ab ， 11 22 11 22 ac ac y ab ab . 【解析】 【分析】 （1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值. （2）若向量,pa b与向量,qc d共线，由0q 和0q 时，分别推导出0 a
27、b cd ； 反之，若0 ab cd ，即0adbc，当 c，d 不全为 0 时，不妨设0c ，则 ad b c ， , ab pa c ，推导出 a pq c ，/p q，当0c =且0d 时，0q ，,pa b与0q 共 线，由此能证明向量,pa b与向量,qc d共线的充要条件是0 ab cd . （3） 求出 1 22 11 22 1 aba b xcbc b， 1 22 11 22 1 aba b xaca c， 由此能求出当 11 22 0 ab ab 时，关于 x，y 的二元一次方程组 111 222 a xb yc a xb yc （ 12 1 2 0a a bb ）有唯一解，
28、并能求出解. 【详解】解： （1）解： 10 1 01 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 13 1 62 30 26 ； 25 2255 100 1025 . （2）证明：若向量,pa b与向量,qc d共线，则： 当0q 时，有0adbc，即0 ab cd ， 当0q 时，有0cd，即0 ab adbc cd ， 必要性得证. 反之，若0 ab cd ，即0adbc， 当 c，d 不全为 0 时，即0q 时， 不妨设0c ，则 ad b c ，, ab pa c ， ,qc d， a pq c ，/p q，,pa b与,qc d共线， 当0c =且0d 时，
29、0q ，,pa b与0q 共线， 充分性得证. 综上，向量,pa b与向量,qc d共线的充要条件是0 ab cd . （3）用 2 b和 1 b分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去 y 得： 1 22 11 22 1 aba b xcbc b， 同理，消去 x，得： 1 22 11 22 1 aba b xaca c， 当 1 22 1 0aba b时，即 11 22 0 ab ab 时，由得： 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 1 1 22 1 2 1 22 11 1 22 1 2 cbc b x ababa b cb cb ab ， 11 22 1 22 1 11 1 22 1 22 ac aca ca c y ababa b ab ， 当 11 22 0 ab ab 时，关于 x，y 的二元一次方程组 111 222 a xb yc a xb yc （ 12 1 2 0a a bb ）有唯一解， 且 11 22 11 22 cb cb x ab ab ， 11 22 11 22 ac ac y ab ab . 【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的 条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题
