1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 河南省许昌市商丘市重点高中河南省许昌市商丘市重点高中 20192019- -20202020 学年学年 4 4 月在线联考月在线联考 高一数学试卷高一数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.用系统抽样的方法从含有 2403 个个体的总体中抽取 400 个作为样本， 则抽样间隔为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案
2、】C 【解析】 【分析】 由系统抽样的特征直接求解即可. 【详解】由题意先用随机抽样的方法剔除 3 个个体， 剩下 2400 个编号，所以抽样间隔为 2400 6 400 . 故选：C. 【点睛】本题考查了系统抽样的应用，关键是对于概念的理解，属于基础题. 2.若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2，3，4，则样本的平均数为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合平均数的概念直接计算即可得解. 【详解】1 2 3 410n ，其平均值为 2222 1 (1234 )3 10 . 故选：B. 【点睛】本题考查了数据平均数的计
3、算，属于基础题. 3.若点(sin,tan)P在第三象限，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限 角 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【答案】D 【解析】 试题分析：因为点(sin,tan)P在第三象限，所以sin0,tan0 是第四象限角. 考点：象限角. 4.函数 3 ( )=ln(sin -) 2 f xx的定义域为（ ） A. 2 (,)() 33 kkkZ B. 5 (,)() 66 kkkZ C. 2 (2,2)() 33 kkkZ D. 5 (2,2)() 66 kkkZ 【答案】C 【解析】 【分析】
4、 由对数函数的定义域可得 3 sin 2 x ，从而即可得解. 【详解】由已知可得 3 sin 2 x ， 由正弦函数的性质知 2 22() 33 kxkkZ . 故选：C. 【点睛】本题考查了对数型复合函数定义域的确定，考查了三角函数性质的应用，属于基础 题. 5.设sin130a ，cos( 50 )b ，tan230c，则（ ） A. acb B. bac C. cab D. cba 【答案】C 【解析】 【分析】 由诱导公式得sin50a ，sin40b，tan501c， 由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】由题意sin130sin 18050sin50a ， 高考资源网（） 您
5、身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - cos( 50 )cos50cos 9040sin40b ， tan230tan 50180tan50tan451c ， 由函数 sinyx 的图象与性质可得sin40sin501， c ab. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式以及图象与性质的应用，属于基础题. 6.抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的概率为 （ ） A. 3 8 B. 1 2 C. 5 8 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意列出所有可能出现的情况，找到符合要求的情况，利用古典概型概率公式即可得解. 【详解】设
6、1 表示正面向上，2 表示反面向上， 则可能的情形共有 111，112，121，122，211，212，221，222，共 8 种， 符合条件有 4 种，故所求概率为 41 82 p . 故选：B. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，关键是用列举法列出所有情况，属于基础题. 7.若弧度为2 (0) 2 的圆心角所对弦长为m，则该圆心角所对的弧长为（ ） A. sin m B. cos m C. 2sin m D. 2cos m 【答案】A 【解析】 【分析】 设扇形半径为r，由题意 2sin m r ，利用扇形弧长公式即可得解. 【详解】设扇形半径为r，由已知 2 sin 2 m m rr
7、 ， 2sin m r ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 则弧长2 sin m lr . 故选：A. 【点睛】本题考查了扇形弧长公式的应用，属于基础题. 8.执行如图所示程序框图，输出的T的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】 由程序框图得 232019 1tantantantan 3333 T ，利用正切函数的周期性即 可得解. 【详解】由题意可得 232019 1tantantantan 3333 T 23 1 673 tantantan1 333 . 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图和正切函
8、数周期性的应用，属于基础题. 9.若函数 2 ( )2cos2sinf xxxa 在, 63 上的最小值为 1 2 ，则 ( )f x在, 63 上 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 3 2 D. 5 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 利 用 同 角 三 角 函 数 平 方 关 系 可 得 2 15 ( )2(sin) 22 f xxa， 由, 6 3 x 可 得 13 sin, 22 x ，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意 22 15 ( )2 1 sin2sin2(sin) 22 f xxxa
9、xa ， 由, 6 3 x 可得 13 sin, 22 x ， 当 1 sin 2 x 即 6 x 时，( )f x取得最小值 51 22 a， 3a ， 2 11 ( )2(sin) 22 f xx 当 3 sin 2 x 即 3 x 时，( )f x取得最大值 2 311 2() 22 5 22 3. 故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系以及三角函数图象与性质的应用，属于中档题. 10.已知函数( )cos (0, )f xx x的图像与函数 2 ( )tan 2 g xx 的图像交于M，N两点， 则OMN的面积为（ ） A. 2 6 B. 2 4 C. 2 3 D. 2 2
10、 【答案】B 【解析】 【分析】 由 题 意 2 c o st a n 2 xx ， 利 用 同 角 三 角 函 数 商 数 关 系 和 平 方 关 系 可 得 2 2sinsin20 xx，解方程即可得 2 (,) 42 M ， 32 (,) 42 N ，即可得解. 【详解】由 2 costan 2 xx 得 2 sin cos 2cos x x x 即 2 2cossinxx ， 222 2 sincossinsin1 2 xxxx即 2 2sinsin20 xx， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 解得 2 sin 2 x 或sin2x ，由0, x可得
11、2 sin 2 x ， 4 x 或 3 4 x ， 2 (,) 42 M ， 32 (,) 42 N ，显然MN与x轴交于点(,0) 2 P ， 12 2 24 SOP . 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 11.对于角， 当分式 tansin tansin 有意义时， 该分式一定等于下列选项中的哪一个式子 （ ） A tancos tancos B. tansin tancos C. tansin tancos D. tansin tansin 【答案】D 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的关系可得 2222 tansinsintan
12、，即可得解. 【详解】 22 222222 22 1sincos tansinsin(1)sin(1)sintan coscos ， 2222 tansintansintansintansin tansintansintansintansintansintansin ， 故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于中档题. 12.在矩形ABCD中，ABAD，在CD上任取一点P，使ABP的最大边是AB的概率为 3 5 ， 则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使ABQ是直角三角形的概率为（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - A. 6
13、 11 B. 5 11 C. 5 9 D. 4 9 【答案】A 【解析】 分析】 由题意设5AB，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD，再由几何概型概率公式 即可得解. 【详解】如图，矩形是对称的，设P在线段MN上时， ABP 的最大边为AB， 则此时AMBNAB， 设5AB，则3MN ， 所以1DNCM，4DM ，5AM ， 由勾股定理知3AD， 当Q在AD或BC上时，ABQ为直角三角形， 故所求概率为 6 11 ADBC p ADCDBC . 故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小
14、题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学 家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它 分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程得到 如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是_ 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】 9 16 【解析】 【分析】 先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A） 99 1616 S S 小三角形 小三角形 ，得解
15、【详解】由图可知：黑色部分由 9 个小三角形组成，该图案由 16 个小三角形组成，这些小三 角形都是全等的，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中 的面积型可得：P（A） 99 1616 S S 小三角形 小三角形 ， 故选B 【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，属中档题在利用几何概型的概率公 式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长 度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 上任置都是等可能的，而对于角度而 言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的 14.已知函数( )2co
16、s(0)f xx在区间0, 3 上的最小值为 2，则 ( )f x的最小正周期 为_. 【答案】 8 3 【解析】 【分析】 由题意可得0 32 x ，2cos2 3 ，求出 3 4 后利用 2 T 即可得解. 【详解】0 3 x ，0，0 3 x ， 由题意 32 ，2cos2 3 ， 34 ， 3 4 ， 28 3 T . 故答案为： 8 3 . 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题. 15.已知一组数据 12 32,32,32 n xxx的标准差为3 a，数据 12 , n x xx的方差为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 2 2a ，
17、则a_. 【答案】2 【解析】 【分析】 由方差特征可得 12 32,32,32 n xxx的方差也可表示为 2 9(2)a ，由标准差和方差的 关系可得 2 9(2)9aa，解方程即可得解. 【详解】 12 , n x xx方差为 2 2a ， 12 32,32,32 n xxxL的方差为 2 9(2)a ， 12 32,32,32 n xxxL的标准差为3 a， 12 32,32,32 n xxxL的方差为9a， 2 9(2)9aa，2a或1（舍去）. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了方差和标准差的概念，关键是对于概念的理解，属于基础题. 16.已知是第四象限角， 3 sin() 33
18、， 则 2 s i n () 3 _， 7 tan() 6 _. 【答案】 (1). 3 3 (2). 2 【解析】 【分析】 由诱导公式可得 2 sinsin 33 ，cossin 63 ，由同角三角函 数的平方关系可得 2 sin1 cos 66 ，再利用同角三角函数的商数关系即可 得解. 【详解】由题意 223 sinsinsin 3333 ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 3 cossinsin 66233 ， 6 是第四象限角， 2 2 36 sin1 cos1 6633 ， 6 sin 76 3 tantan2 663 cos 6 3 . 故答
19、案： 3 3 ，2. 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了计算能力，属于基础题. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.一个盒子中装有 6 个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，6. （1）一次取出两个小球，求其号码之和能被 3 整除的概率； （2）有放回的取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率. 【答案】 （1） 1 3 （2） 5 18 【解析】 【分析】 （1）列出所有情况，找到符合要求的情况，由古典概型概率公式即可得解； （2）计算出所有情
20、况数，列出符合要求的情况，由古典概型概率公式即可得解. 【详解】 （1）取出的两个小球号码可能情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共 15 种情形， 其号码之和能被 3 整除的有 5 种：(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5). 故所求概率为 51 153 p . （2）有放回的取球两次，每次取一个，共有6 636 种情形， 其中两个小球号码是相邻整数的情况有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3
21、)，(4,5)， (5,4)，(5,6)，(6,5)共 10 种情形， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 故所求概率为 105 3618 p . 【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题. 18.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高 一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学学科考试，随机 抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示. （1）求m的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在70,100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数.（同
22、一组中的数据以该组区间的中点 值作代表，结果精确到 0.1） 【答案】 （1）0.016m，70%.（2）平均数为 76.2，中位数为 76.7 【解析】 【分析】 （1）由各组频率和为 1 即可求得m，再求出70,100的频率即可估计高一年级数学成绩在 70,100分的学生所占的百分比； （2）同一组中的数据以该组区间的中点值作代表，分别乘以对应频率，求和即可得平均数； 根据中位数两侧频率和均为 0.5，列方程即可求得中位数. 【详解】 （1）由题意0.0040.0060.020.03 0.024101m， 解得0.016m， 则由频率分布直方图可估计高一年级数学成绩70,100分的学生所占
23、的百分比为： 0.03 0.0240.016100.770%. （2）估计成绩的平均数为x，中位数为y， 则0.004 450.006 550.02 650.03 750.024 850.016 9510 x 76.2， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 由频率分布直方图可知7080y， 则 0.03 800.0240.016100.5y，解得76.7y . 所以这 50 名学生数学成绩的平均数为 76.2，中位数约为76.7. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了利用频率分布直方图求数据的中位数和 平均数，属于中档题. 19.语音交互是人工智能的方
24、向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱，它们 可以通过语音交互满足人们的部分需求.经市场调查，某种新型智能音箱的广告费支出x（万 元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 1 4 5 6 9 y 20 35 50 65 80 （1）求y关于x的线性回归方程（数据精确到 0.01） ； （2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出 10 万元时的销售额. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xx yyx ynxy b xxxnx ， a ybx. 【答案】 （1）7.9410.3
25、0yx（2）89.7（万元）. 【解析】 【分析】 （1）计算出x、y的值，代入公式求得 b、 a ，即可得解； （2）把10 x 代入线性回归方程计算出 y 即可得解. 【详解】 （1） 1 (14569)5 5 x ， 1 (2035506580)50 5 y ， 222222 1 204 355 506 659 805 5 50270 7.94 145695 534 b ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 50 7.94 510.30a . y关于x的回归直线方程为7.9410.30yx. （2）当10 x 时，10 7.94 10.389.7y ，
26、当广告费支出 10 万元时，销售额大约为 89.7 万元. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了计算能力，属于中档题. 20.已知函数( )sin()(0,0) 6 f xaxb a 的最大值为 5，最小值为 1. （1）求a，b的值； （2）若 ( )f x的最小正周期为 4，求( )f x的单调递增区间及在1,3上的值域. 【答案】 （1）2,3ab.（2） 42 4,4 33 kkkZ.值域为1,33. 【解析】 【分析】 （1）由题意结合三角函数的性质可得 5 1 ab ba ，解方程组即可得解； （2） 由 2 T 求得 2 后， 令22() 2262 kxkkZ ，
27、求解后即可得( )f x 的单调递增区间；由13x可得 25 3263 x ，进而可得 3 1sin() 262 x ， 即可得 ( )f x在1,3上的值域. 【详解】 （1）由1sin()1 6 x ，0a可得( )abf xab ， 则 5 1 ab ba ，解得2a，3b. （2）由 2 4T ， 2 ，( )2sin()3 26 f xx . 令22() 2262 kxkkZ ，解得 42 44() 33 kxkkZ， ( )f x的单调递增区间为 42 4,4( 33 kkkZ ）. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 13x， 25 3263 x
28、， 3 1sin() 262 x ， 2sin()31,33 26 x ， ( )f x在1,3上的值域为1,3 3. 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，属于中档题. 21.某林业部门为了保证植树造林的树苗质量，对甲、乙两家供应的树苗进行根部直径检测， 现从两家供应的树苗中各随机抽取 10 株树苗检测，测得根部直径如下（单位：mm） ： 甲 27 11 21 10 19 09 22 13 15 23 乙 15 20 27 17 21 14 16 18 24 18 （1）画出甲、乙两家抽取的 10 株树苗根部直径的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两家树苗 进行比较，写出两个统计结论； （2）
29、设抽测的 10 株乙家树苗根部直径的平均值为x，将这 10 株树苗直径依次输入程序框图 中，求输出的S的值，并说明其统计学的意义. 【答案】 （1）见解析（2）15，见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意画出茎叶图，根据茎叶图写出两条合理结论即可； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）计算出x，根据程序框图的功能是计算出数据方差，计算方差，说出方差的统计学意义 即可得解. 【详解】 （1）茎叶图如图所示： 结论有：甲家树苗的平均直径小于乙家树苗的平均直径； 乙家树苗比甲家树苗长的更均匀； 甲家树苗的中位数是 17，乙家树苗的中位数是 18.（答案合理即可
30、给分，写出两条即可）. （2）由题意 1 15 17 14 16 18 182027212419 10 x ， 因为该程序框图的算法功能是求数据方差， 所以 222 1 (15 19)(17 19)(24 19) 15 10 S ， S是 10 株树苗根部直径的方差，是描述离散程度的量，S越小，长得越整齐，S越大，长得越 粗细不均. 【点睛】本题考查了茎叶图和程序框图的应用，考查了数据方差的概念和计算，属于中档题. 22.已知(0, )a，且 755 sin()cos() 225 . （1）求 1 sin1 cos cossin 1 sin1 cos 的值； （2）求 3 3 sin5cos
31、4sin2cos 值. 【答案】 （1） 3 5 5 （2） 51 4 【解析】 【分析】 （1）由诱导公式得 5 cossin 5 ，结合同角三角函数的平方关系可得 5 sin 5 ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 2 5 cos 5 ， 利用平方关系化简可得 1 sin1 cos cossincossin 1 sin1 cos ， 即可得解； （2）由（1）知 sin1 tan cos2 ， 2 1 sin 5 ， 2 4 cos 5 ，化简得 32 32 sin5cossintan5 4sin2cos4tan2cos ，代入即可得解. 【详解】 （1
32、）由题意 755 sin()cos()cossin 225 ， 5 cossin 5 ， (, ) 2 ，联立 22 sincos1， 解得 5 sin 5 ， 2 5 cos 5 . 则 22 22 1 sin1 cos(1 sin)(1 cos ) cossincossin 1 sin1 cos1 sin1 cos 1 sin1 cos3 5 cossincossin cossin5 . （2）由（1）知 sin1 tan cos2 ， 2 1 sin 5 ， 2 4 cos 5 ， 32 32 11 5 sin5cossintan55152 144sin2cos4tan2cos4 42 25 . 【点睛】本题考查了利用同角三角函数的关系和诱导公式进行化简求值，考查了运算能力， 属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
