1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项： 1.1.请考生务必将自己的姓名请考生务必将自己的姓名. .准考证号准考证号. .所在学校填（涂）在试题卷和答题卡上所在学校填（涂）在试题卷和答题卡上. . 2.2.考生答题时，选择题请用考生答题时，选择题请用 2 2B B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请按照题 号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. . 3.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并
2、上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. . 第第卷选择题卷选择题 一、选择题：每一小题只有一个选项正确一、选择题：每一小题只有一个选项正确 1.若abc，则下列结论正确的是（ ） A. a bb c B. abbc C. abbc D. ab bc 【答案】A 【解析】 【分析】 利用不等式的性质以及特殊值法即可得出正确选项. 【详解】对于 A，由ac，所以a bb c ，故 A 正确； 对于 B，若2a，0b，3c ，显然abbc不成立，故 B 不正确； 对于 C，当b为负值时，若ac，则abbc，故 C 不正确； 对于 D，当a正值，b为负值时，由abc，则 a b 为负值， b c
3、 为正值，故 D 不正确； 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的性质，需掌握不等式的性质，属于基础题. 2.tan15的值是（ ） A. 3 6 B. 3 1 3 C. 23 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】 利用两角差的正切公式即可求解. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 3 1 tan45tan3033 3 tan15tan 4530 1tan45tan30333 1 3 23 . 故选：C 【点睛】本题考查了两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题. 3.以下四个命题：平行于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一平面的两条直线互 相平行
4、；平行于同一直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面互相平行.其 中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题可得答案. 【详解】根据平行线间的传递性可知平行于同一直线的两条直线互相平行，故正确； 平行于同一平面的两条直线有三种可能的位置关系：平行、相交、异面，故错误； 平行于同一直线的两个平面有两种位置关系：平行、相交，故错误； 根据面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面互相平行，故正确； 故选：B 【点睛】本题考查了空间中点、线、面之间的位置关系，属于基础题. 4.如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的
5、直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状， 且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合， 该零件原胚可由下面图形绕对称轴 （直线l） 旋转而成， 这个图形是（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据旋转体的形成过程即可得出选项. 【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状， 而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成， 分析四个选项，A 项，旋转后圆台； C 项，旋转后圆台；D 项，球体中挖去一个小球； 故选：B 【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题. 高
6、考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 5.已知ABC中，三边长分别为3a 、5b、7c ，则ABC的面积是（ ） A. 15 2 B. 15 4 C. 15 3 2 D. 15 3 4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理求出三角形中一个内角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出其正弦 值，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】由3a 、5b、7c ， 222 92549151 cos 22 3 5302 abc C ab ， 所以 3 sin 2 C ， 所以 113 sin3 5 222 15 3 4 ABC SabC . 故选：D 【点睛】本题主要
7、考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题. 6.如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，M、N分别为AB、AC的中点， 将此三棱柱沿 1 AM、 MN、 1 NA截出一个棱锥 1 AMNA，则棱锥 1 AMNA的体积与剩下几何体体积的比值是 （ ） A. 1 3 B. 1 4 C. 1 11 D. 1 12 【答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【解析】 【分析】 首先利用相似比求出 1 4 AMN ABC S S ，再根据棱锥 1 AAMN的高与棱柱的高相等，可求出 1 1 1 1 1 12 AAMN A BCABC V V
8、 ，从而可得棱锥 1 AMNA的体积与剩下几何体体积的比值. 【详解】M、N分别为AB、AC中点， MN/BC， AMNABC， 1 4 AMN ABC S S ， 1 1 1 1 1 1 1 1 3 12 AMN AAMN A BCABCABC SAA V VSAA 11 A A MNAAMN VV ， 11 1 1 11 1 1 1 12 A AMNAAMN A BCABCA BCABC VV VV ， 11 1 1 1 12 A A MNA B CABC VV ， 剩下几何体体积为 1 1 1 11 12 A B CABC V ， 棱锥 1 AMNA的体积与剩下几何体体积的比值是 1 1
9、1 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了棱柱、棱锥的体积公式，需掌握柱体、锥体的体积公式，求三棱锥 的体积可采用换顶点法求解，属于基础题. 7.下列不等关系中，一定成立的是（ ） A. 141073 B. 3120 xxxxx C. 2 324xxx D. 22 21xyxy 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【答案】C 【解析】 【分析】 对于 A、B 两边平方作差即可判断；直接作差即可判断 C、D. 【详解】对于 A，141073143107 1432 421072 704270 ，显然不成立，故 A 不正确； 对于 B，3120 xxxxx 22 23 2
10、323 2320 xxxxxxx 22 3320 xxxxx，显然不成立，故 B 不正确； 对于 C， 2 22 324696810 xxxxxxx ， 显然成立，故 C 正确； 对于 D， 2222 2121210 xyxyxxyy 22 110 xy，因为 22 110 xy，故 D 不正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了分析法证明、作差法比较大小，注意不等式变形，属于基础题. 8.已知ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若coscoscaB bC，则 ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角 三角形 【答案】A 【解析】
11、【分析】 首 先 利 用 正 弦 定 理 的 边 角 互 化 可 得s i ns i nc o ss i nc o sCABBC， 再 由 sinsinsincoscossinCABABAB，代入化简可得coscosAC，从而可得AC， 进而可判断三角形的形状. 【详解】coscossinsincossincoscaBbCCABBC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - sinsincoscosssincossinincosAABABABBBC cossinsincosABBC， 在ABC中，sin0B， 所以coscosAC，即AC， 所以ABC的形状是等腰三角形
12、. 故选：A 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式，利用正弦定理判断三角 形的形状，属于基础题. 9.一个圆柱的侧面积为 1 s， 其内切球 （与圆柱两底面及每条母线均相切的球） 的表面积为 2 s， 则 1 s与 2 s的大小关系为（ ） A. 12 ss B. 12 ss C. 12 ss D. 不确定， 与内切球的半径有关 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意圆柱的高、底面直径与球的直径相等，根据圆柱的侧面展开图为矩形求出侧面积， 再利用球的表面积公式求出球的表面积即可得出比值. 【详解】根据题意，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球的半径为r， 所以 2
13、 1 224srrr， 2 2 4sr， 故 12 SS= . 故选：A 【点睛】本题主要考查了球的内切问题，球的表面积公式，圆柱的侧面积求法，属于基础题. 10.已知、都是锐角， 5 sin 13 ， 4 cos 5 ，则sin的值是（ ） A. 16 65 B. 33 65 C. 56 65 D. 63 65 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 可 得 12 cos 13 ， 3 sin 5 ， 再 由 s i ns i n ，利用两角差的正弦公式展开即可求解. 【详解】因为、
14、都是锐角， 5 sin 13 ， 4 cos 5 ， 所以 12 cos 13 ， 3 sin 5 ， 所以sinsinsincoscossin 3124516 51351365 . 故选：A 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础 题. 11.下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是（ ） A. /MN CF B. MN与BE是异面直线 C. MN与AH相交 D. MN与AH、BE、CF所成的角均 为 60 【答案】D 【解析】 【分析】 根据展开图还原正方体的直观图，由直观图即可得出选项. 【详解】根据展开图得出正方体的直观图，
15、如图所示： 对于 A，由于MN与CF异面，可知 A 不正确； 对于 B，MN与BE是相交直线，故 B 不正确； 对于 C，MN与AH是异面，故 C 不正确； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 对于 D，连接BN，则/BN AH，且BMN为等边三角形， 所以MN与AH、BE、CF所成的角均为 60，故 D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成的角，考查了学生的空间 想象能力，属于基础题. 12.已知正实数x，y满足2xy，则 11yx xy 的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分
16、析】 将式子2xy化为 1 1 2 xy，代入 11yx xy 可得 33 1 22 yx xy ，利用基本不等式即 可求解. 【详解】 1 1 2 2xyxy， 所以 11 11 22 xyyxyx yx xyxy 3333 1124 2222 yxyx xyxy ， 当且仅当1xy时取等号， 故选：B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【点睛】本题考查了基本不等式求和的最小值，注意“1”的妙用以及验证等号成立的条件， 属于基础题. 第第卷非选择题卷非选择题 二、填空题：请将正确答案填入相应的位置二、填空题：请将正确答案填入相应的位置 13.若tantan1
17、，则cos_. 【答案】0 【解析】 【分析】 利用两角和的余弦公式可得coscoscossinsin，提取coscos化简即 可求解. 【详解】 sinsin coscoscossinsincoscos1 coscos coscos1 tant0an. 故答案为：0 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、齐次式，需熟记公式，属于基础题. 14.若关于x的不等式 2 20 xxa的解集为R，则实数a的取值范围是_. 【答案】 1, 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式与二次函数关系，只需即可求解. 【详解】关于x的不等式 2 20 xxa的解集为R， 2 2f xxxa的图象在x轴上方， 所以
18、，即440a，解得1a ， 所以实数a的取值范围是 1,. 故答案为： 1, 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集求参数的取值范围，需掌握一元二次不等式与二 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 次函数的关系，属于基础题. 15.将半径为 1 的半圆形纸片卷成一个圆锥， 使半圆圆心为圆锥的顶点， 直径的两个端点重合， 则圆锥的体积是_. 【答案】 3 24 【解析】 【分析】 根据题意可知圆锥的母线长为 1，底面周长为半圆的弧长，求出圆锥底面半径，进而求出底面 面积，利用底面半径与母线长度求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，
19、圆锥的高为h， 圆锥底面周长为半圆的弧长， 则 1 221 2 r，解得 1 2 r ，底面面积 2 4 Sr 2 2 13 11 22 hr ， 所以 2 111133 3334224 VS hrh . 故答案为： 3 24 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 16.如图所示：一架飞机在海拔6000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角 分别是 37和 53，则这个海岛的宽度大约是_m.（注：sin530.8） 【答案】3500 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 【分析】 由飞机的垂直高度为6000CDm，
20、在Rt CDB与Rt CDA中求出CB与CA即可求解. 【详解】 由于6000CDm，53CBD， 2 coscos531 sin 530.6CBD ， sin4 tan cos3 CBD CBD CBD ， 3 tantan37 4 CAD， 在Rt CDB中， 6000 4500 4 tan 3 CD CBm CBD ， 在Rt CDA中， 6000 8000 3 tan 4 CD CAm CAD ， 故3500ABCACBm. 故答案为：3500 【点睛】本题考查了解三角形在生活中的应用，属于基础题. 三、解答题：每小题请写出必要的解答步骤和计算过程三、解答题：每小题请写出必要的解答步骤
21、和计算过程 17.已知关于x的不等式 2 230axxaR . （1）若1a ，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为13xx ，求a的值. 【答案】 （1）13xx （2）1a 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【分析】 （1）将1a 代入，利用一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据不等式的解集确定方程 2 230axx的根，再利用韦达定理即可求解. 【详解】解： （1）1a 时，不等式 2 230axx即为 2 230 xx， 它等价于130 xx，则13x- ， 100100 220 xx xx . 当且仅当 100 x x 即10 x
22、时等号成立. 此时 50 5 x ， min 100 20 x x ， min2500f x. 与墙面平行的彩钢板长度为 10 米，另两边长度为 5 米， 可使储物间总造价最低，最低总造价为 2500 元. 【点睛】本题考查了函数模型，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 21.已知ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且 222 abcab. （1）求角C； （2）若3c ，求ABC周长的取值范围. 【答案】 （1） 3 C （2）2 3,3 3 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理公式的变形即可求解. （2）由（1）利用正弦定理可得2sinaA，2sinbB
23、，由 2 2 sinsin2 sinsin 3 abABAA ，利用两角差的正弦公式以及辅助角公 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 式化为2 3sin 6 abA ，结合三角形的内角取值范围可求解. 【详解】解： （1） 222 abcab， 222 abcab， 222 1 cos 222 abcab C abab ， 0C， 3 C . （2）3c ， 3 C ， 3 2 sinsinsin sin 3 abc ABC ， 2sinaA ，2sinbB， 2 2 sinsin2 sinsin 3 abABAA 22 2 sinsincoscossin 33
24、 AAA 3sin3cos2 3sin 6 AAA . 2 0 3 A， 5 666 A ， 1 sin1 26 A ， 32 3sin2 3 6 A ，即32 3ab. 又3c ， 2 33 3abc . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 即ABC周长的取值范围是2 3,3 3 . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换，需熟记定理以及两角差的正弦 公式、辅助角公式，属于基础题. 22.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E、 1 E分别为棱BC、 1 CC上的点，且与 顶点不重合. （1）若直线AE与 11 D E相交于点
25、F，求证：D、C、F三点共线； （2）若E、 1 E分别为BC、 1 CC的中点. （）求证：几何体 11 ECEADD为棱台； （）求棱台 11 ECEADD的体积. （附：棱台的体积公式 1 3 Vh SS SS，其中 S 、S分别为棱台上下底面积，h为 棱台的高） 【答案】 （1）证明见解析； （2） （）证明见解析； （） 7 3 【解析】 【分析】 （1）由F 平面ABCD，F 平面 11 DCC D，平面ABCD平面 11 DCC DCD，根据点 在两个不重合的面内，则点在两个面的公共线上即可证出. （2） （）连 1 BC，E、 1 E分别为棱BC、 1 CC的中点，证出四边形
26、11 AEE D为梯形，从而 可得AE与 11 D E相交，再由（1）可得直线AE、DC、 11 D E交于一点，由平面 1/ ECE平面 1 ADD，即可证出. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - （）求出 1 ADD S ， 1 ECE S ，以及棱台的高2CD ，代入棱台的体积公式即可求解. 【详解】证明： （1） 11 AED EF， FAE， 11 FDE， AE 平面ABCD， 11 D E 平面 11 DCC D， F平面ABCD，F 平面 11 DCC D， 即点F为平面ABCD与平面 11 DCC D的公共点. 又平面ABCD平面 11 DCC
27、 DCD， FCD，即D、C、F三点共线. （2） （）连 1 BC， E、 1 E分别为棱BC、 1 CC的中点， 1 EE为 1 BCC的中位线， 11 /EEBC， 11 1 2 EEBC， 11 /AB C D， 11 ABC D， 四边形 11 ABC D为平行四边形. 11 /BCAD， 11 BCAD， 11 /EEAD， 11 1 2 EEAD， 四边形 11 AEE D为梯形， AE与 11 D E相交. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 - 由（1）知：直线AE、DC、 11 D E交于一点， 又平面 1/ ECE平面 1 ADD， 几何体 11 ECEADD为三棱台. （）由题意： 1 1 2 22 2 ADD S ， 1 11 1 1 22 ECE S ，2CD ， 11 117 212 323 ECEADD V 三棱台 ， 即棱台 11 ECEADD的体积是 7 3 . 【点睛】本题考查了三点共线、棱台的结构特征、棱台的体积公式，属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 22 -
