1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 高一年级数学期末测试题高一年级数学期末测试题 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1. 方程组 22 1 9 xy xy 的解集是（ ） A. 5,4 B. 5, 4 C. 5,4 D. 5, 4 【答案】D 【解析】 由1xy， 22 9xyxyxy，得9xy. 210 xyxyx ，解得5x .代入得4y . 所以方程组 22 1 9 xy xy 的解集5, 4. 故选 D. 点睛：集合的表示法：描述法，列举法，图示法，用列举法描述集合和，需要将
2、元素一一列 举，本题中，元素为二元方程组，元素为点集. 2. 过两点()4,Ay，2, 3B的直线的倾斜角为45，则 y （ ） A. 3 2 B. 3 2 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 由题意知直线 AB 的斜率为tan451 AB k， 所以 33 1 422 yy ， 解得1y 选 C 3. 圆 22 2690 xyxy与圆 22 6210 xyxy 位置关系是（ ） A. 相交 B. 相外切 C. 相离 D. 相内切 【答案】C 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 由题设 11 ( 1, 3),1Cr ， 22 (3, 1),3Cr
3、，而 12 |4 16202 5 1 3CC ，则两 圆相离，应选答案 C 4. 已知直线 1: 420laxy与直线 2:2 50lxyb互相垂直， 垂足为(1, ) c， 则a b c 的值为（ ） A 20 B. 4 C. 0 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 结合直线垂直关系，得到 a 的值，代入垂足坐标，得到 c的值，代入直线方程，得出 b的值， 计算，即可 【详解】直线 1 l的斜率为 4 a ,直线 2 l的斜率为 2 5 ,两直线垂直,可知 2 1 4 5 a ，10a 将垂足坐标代入直线 1 l方程，得到2c，代入直线 2 l方程，得到12b，所以 10 2 124
4、abc ，故选 B 【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中 等 5. 设 , 为两个不重合的平面，,l m n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若/ /，l，则l/；若m，n，/ /m，/ /n，则/ /；若 /l，l ，则；若m，n，且l m，ln，则l. 其中正确命题的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 若/ /，l，则平面内任意直线都与平面平行，/ /l，故正确； 若m，n，/ /m，则m也可以平行于与的交线，此时两平面不平行，故 错误； ll，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确； 高考资源网（） 您身边的高考
5、专家 版权所有高考资源网 - 3 - 若m，n，若m nlmlnl，可以与面斜交，不一定垂直，故不正 确； 故选 A 6. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A. 8 cm 2 B. 7 cm 2 C. (53) cm 2 D. 6 cm 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图得此几何体是简单的组合体：上面是一个圆锥、下面是一个圆柱，并由三视图求出 相应的数据，由表面积公式求出答案 【详解】由三视图得，此几何体是简单的组合体， 上面是一个圆锥：底面是以 1cm为半径、2cm为母线长的圆锥， 下面是底面是以 1cm为半径、2cm为母线长的圆柱， 所以此几
6、何体的表面积 S=12+212+ 12=7（cm2）， 故选 B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，解题关键是判断几何体的形状及几何量所对 应的数据，考查空间想象能力 7. 已知 2 0.3a ， 2 log 0.3b ， 0.3 2c ，则 , ,a b c 大小关系是（ ） A. acb B. abc C. bac D. bca 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数，幂函数，和对数的单调性，即可得出结论. 【详解】 2 22 00.31,log 0.3log 10ab， 0.30 221,cbac . 故选:
7、C. 【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如 “0”“1”等等，属于基础题. 8. 已知 (31)4 ,1 ( ) log,1 a axa x f x x x 是(,) 上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A (0,1) B. 1 (0, ) 3 C. 1 1 , ) 7 3 D. 1 ,1) 7 【答案】C 【解析】 【分析】 要使函数 ( )f x在(,) 上为减函数，则要求当1x，( )(31)4f xaxa在区间 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - (,1)为减函数，当 1x时，( )logaf xx在区间1,)
8、为减函数，当1x 时， (31) 14log 1 a aa ，综上解方程即可. 【详解】令( )(31)4g xax，( )logah xx. 要使函数 ( )f x在(,) 上为减函数，则有( )(31)4g xax 在 区间(,1)上为减函数，( )logah xx在区间1,)上为减函数且(1)(1)gh, 310 01 (1)(31) 1 4log 1(1) a a a gaah ,解得 11 73 a. 故选：C. 【点睛】 考查分段函数求参数的问题.其中一次函数yaxb， 当0a 时， 函数yaxb在 R 上为减函数，对数函数log,(0) a yx x，当01a时，对数函数loga
9、yx在区间 (0,)上为减函数. 9. f (x)x 24xa，x0,1，若 f (x)有最小值2，则 f (x)的最大值( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 因为对称轴20,1x ，所以 minmax ( )(0)2( )(1)31f xfaf xfa 选 C. 10. 函数 2 ( )1 logf xx 与 1 ( )2 x g x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） A. B. C. D. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数 2 ( )1 logf xx 过 1 ,0 2 排除 A;
10、根据 1 ( )2 x g x 过0,2排除 B、D, 故选 C 11. 使得方程 2 160 xxm 有实数解，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 4 2,4 2 B. 4,4 2 C. 4,4 D. 4,4 2 【答案】D 【解析】 【分析】 将原式化为 2 16xxm ,转化为 2 16yx 与y xm 函数图象有公共点时,确定 m 的范围. 【详解】 2 160 xxm 可化为 2 16xxm ， 即问题转化为 2 16yx 与y xm 有公共点， 做出函数图象，其中 2 16yx 表示半圆，y xm 表示直线，如图: 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 -
11、 容易算出当直线y xm 与半圆相切时 4 2m ,当直线过4,0点时 4m . 故 m 的范围是 44 2m . 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的图象求解方程根的个数的问题,本题的关键:一是将根的个数问 题转化为函数的零点问题,二是正确理解 2 16yx 的意义并画出图象. 12. 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角 是( ) A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】B 【解析】 试题分析：连接 BD 交 AC 于点 O，取 PD 中点 Q，连接 OQ，所以 OQ/PB, 设正方形 ABCD 边长为 a,因为 PA
12、 垂直平面 ABCD，PA=AB,所以 PD=PB=DB=AC= 2a, 因为在三角形 DBP 中， O、 Q 是中点,所以 2 22 PBa OQ ,在直角三角形 PAD 中， 2 2 a AQ , 而 2 2 a OA ,所以三角形 AOQ 是等边三角形，即三个角都是 60 度,所以 OQ 与 AC 所成的角 =60 度, 因为 OQ|PB,所以 PB 与 AC 所成的角为 60. 考点：本小题主要考查两条异面直线的夹角. 点评：要求两条异面直线的夹角，需要先做出两条异面直线的夹角再求解，注意两条异面直 线的夹角的取值范围 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分分
13、.） 13. 函数 1 2 log (32)yx 的定义域是 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【答案】 2 ,1 3 【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足 1 2 2 log32003211 3 xxx ，定义域为 2 ,1 3 考点：函数定义域 点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围 14. 已知 2 3 4 9 a 0a ，则 2 3 log a _ 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出a的值，再代入求值即可. 【详解】 由 2 3 4 9 a 0a 得： 233 2 322 2 ()( ) 3 a ， 即 3
14、2 ( ) 3 a ， 所以 3 22 33 2 ( )3 3 log alog . 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查指数、对数的运算问题，属基础题. 15. 已知直线: 40l xmy ，若曲线 22 2610 xyxy 上存在两点 P，Q关于直线 l 对称，则 m的值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 曲线 22 2610 xyxy 上有两点,P Q，满足关于直线: 40l xmy 对称，说明曲 线是圆，直线过圆心，易求 m 的值. 【详解】曲线方程为 22 139xy表示圆心为1,3，半径为 3的圆， 点,P Q在圆上且关于直线40 xmy对称， 高考资源网（） 您身边的高考专家
15、 版权所有高考资源网 - 9 - 圆心1,3在直线上，代入得 1m. 故答案为：1. 【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，圆的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中 档题. 16. 正四棱台的上、下两底面边长分别是方程 x 29x180 的两根，其侧面积等于两底面面 积之和，则其侧面梯形的高为_. 【答案】 5 2 【解析】 【分析】 】解方程得出棱台的上下底面边长，根据面积关系和比例关系求出棱台的高和小棱锥的高 【详解】解方程 x 29x180 得 x=3 或 x=6， 棱台的上下底面边长分别为 3，6 设棱台的斜高为 h， ， 则 22 1 4363645 2 h（） ， h= 5 2
16、即答案为 5 2 【点睛】本题考查了棱台的结构特征，画出草图帮助观察各线段的关系比较重要 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 75分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤）骤） 17. 己知直线l的方程为2 10 xy （1）求过点3,2A，且与直线l垂直的直线 1 l方程； （2）求与直线l平行，且到点3,0P的距离为5的直线 2 l的方程 【答案】 （1） （2）或 【解析】 试题分析： 1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 2设所求直线方程为2
17、 0 xyc ，由于点3,0P到该直线的距离为 5，可得 2 2 6 5 21 c ，解出1c 或11c ，即可得出答案； 解析： （1）直线l的斜率为2，所求直线斜率为 1 2 ， 又过点3,2A，所求直线方程为 1 23 2 yx ， 即270 xy （2）依题意设所求直线方程为20 xyc， 点P 3,0到该直线的距离为5， 2 2 6 5 21 c ，解得1c 或11c ， 所以，所求直线方程为210 xy 或2110 xy 18. 已知函数 2 231 2f xxaxa ， 1 2g xxxa，其中aR. （1）若函数 f x是偶函数，求 a； （2）当1 3,x ，函数 f x的图
18、象恒在函数 g x图象上方，求实数 a的取值范围. 【答案】 （1）3； （2） 1 , 4 【解析】 【分析】 （1）根据 ( )f x为偶函数,便有( 1)(1)ff ，这样即可求出a； （2）根据条件可以得到(2)1 30axa 在1 3,x 上恒成立,从而有 (2) ( 1) 1 30 (2) 3 1 30 aa aa ，解该不等式组便可得出实数 a 的取值范围. 【详解】 （1）函数 ( )f x是偶函数， ( 1)(1)ff ，即2(3) 1 22(3) 1 2aaaa ，解得3a; （2）根据题意, 1 3,x 时, 2 2(3)1 2(1 2 )xaxaxxa 恒成立， 高考资
19、源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 即(2)1 30axa 在1 3,x 上恒成立， (2) ( 1) 1 30 (2) 3 1 30 aa aa ，解得 1 4 a ， 实数 a 的取值范围为 1 , 4 . 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数，以及图象与不等式的关系，属于基础题. 19. 如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，PAAB， 点E为PB的中点 （1）求证：PD平面ACE （2）求证：平面ACE 平面PBC 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析： (1)连接BD交AC于O，连接EO利用几何关系
20、可证得EO PD，结合线面平行的判断定 理则有直线PD平面AEC (2)利用线面垂直的定义有BCPA， 结合BCAB可证得BC 平面PAB， 则B CA E， 由几何关系有AEPB，则AE 平面PBC，利用面面垂直的判断定理即可证得平面 AEC 平面PBC 试题解析： （1）连接BD交AC于O，连接EO 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 因为矩形的对角线互相平分， 所以在矩形ABCD中， O是BD中点， 所以在PBD中， EO是中位线， 所以EOPD， 因为EO平面AEC，PD平面AEC，所以PD平面AEC （2）因为PA 平面ABCD，BC 平面ABCD，
21、所以BCPA； 在矩形ABCD中有BCAB， 又PAABA， 所以BC 平面PAB， 因为AE 平面PAB， 所以BCAE； 由已知，三角形APB是等腰直角三角形，E是斜边PB的中点， 所以AEPB， 因为PBBCB， 所以AE 平面PBC， 因为AE 平面AEC， 所以平面AEC 平面PBC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 20. 已知圆心为 C的圆经过点1,1A 和2, 2B ，且圆心在直线 :10L xy 上， （1）求圆心为 C的圆的标准方程； （2）设点 P在圆 C上，点 Q 在直线50 xy上，求PQ的最小值； （3）若直线50kxy被圆 C 所
22、截得的弦长为 8，求 k的值. 【答案】 （1） 22 (3)(2)25xy； （2）5 2 5 ； （3） 20 21 . 【解析】 【分析】 (1)设圆的标准方程为 222 ()()xaybr,利用圆经过点1,1A 和2, 2B ,且圆心在直 线:10L xy 上,建立方程组,求出 a，b，r，即可得出圆心为 C的圆的标准方程; (2)求出圆心 C到直线 50 xy 的距离,即可求PQ的最小值. (3)根据直线 50kxy被圆 C所截得的弦长为 8,求出圆心 C 到直线50kxy的距离, 利用点到直线的距离公式,建立方程,即可求 k的值; 【详解】(1)设圆的标准方程为 222 ()()x
23、aybr, 圆经过点1,1A 和2, 2B ,且圆心在直线:10L xy 上, 2 22 2 22 1)1 2)2 10 abr abr ab （ （，解得3,2,5abr , 圆的标准方程为 22 (3)(2)25xy; (2)圆心 C到直线50 xy的距离为 |325| 5 25 2 d , 直线与圆 C相离, PQ的最小值为 5 25dr ; (3)由条件可知:圆心 C到直线 50kxy 的距离为 22 543d , 根据点到直线的距离公式得 2 |325| 3 1 k k , 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 解得: 20 21 k . 【点睛】待定系
24、数法是求圆的标准方程的重要方法,直线与圆的位置关系问题通常利用垂径定 理解决. 21. 如图，ABC中， 2 2 ACBCAB，ABED 是边长为 1的正方形，平面 ABED底面 ABC，若 G，F分别是 EC，BD的中点 （1）求证：GF底面 ABC； （2）求证：AC平面 EBC； （3）求几何体 ADEBC 的体积 V. 【答案】(1) 见解析；(2)见解析 ;(3) 1 6 . 【解析】 【分析】 （1）连接AE，根据ADEB是正方形，推出F是AE的中点，结合G是EC的中点，即可证 明GF底面ABC；（2）易证EBAB，根据平面ABED 平面ABC，推出EB 平面 ABC， 从而可得E
25、BAC， 根据勾股定理可知ACBC， 即可证明AC 平面EBC；（3） 取AB的中点H，连接CH，根据 2 2 ACBCAB，推出CHAB， 1 2 CH ，根据平 面ABED 平面ABC，推出CH 平面ABC，即可求得几何体的体积. 【详解】(1)证明：连接 AE，如下图所示 ADEB 为正方形， AEBDF，且 F 是 AE 的中点， 又 G 是 EC 的中点， GFAC，又 AC 平面 ABC，GF平面 ABC， GF平面 ABC. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - (2)证明：ADEB 为正方形，EBAB， 又平面 ABED平面 ABC，平面 ABED
26、平面 ABCAB，EB 平面 ABED， BE平面 ABC，BEAC. 又ACBCAB， CA 2CB2AB2， ACBC. 又BCBEB，AC平面 BCE. (3)取 AB 的中点 H，连 GH，BCACAB， CHAB，且 CH ，又平面 ABED平面 ABC CH平面 ABC，V 1 . 【点睛】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、几何体的体积等知识.在计算几何体 的体积时，可采用等积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件 可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和 三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或
27、三棱锥)的高，而通过直接计算得 到高的数值 22. 已知函数 2 43 1 ( ) 3 axx f x ， （1）若1a，求 ( )f x的单调区间； （2）若 ( )f x有最大值 3，求a的值. （3）若 ( )f x的值域是(0,)，求a的取值范围. 【答案】 （1）函数 f(x)的递增区间是(2,+),递减区间是(,2)； （2）a=1； （3）0 【解析】 【分析】 （1）当 a=1时， 2 43 1 ( ) 3 xx f x ，令 2 43g xxx，结合指数函数的单调性，二 次函数的单调性和复合函数的单调性，可得 f（x）的单调区间； （2）令 2 43h xaxx， 1 3 h
28、 x y ，由于 f（x）有最大值 3，所以 h（x）应有最小值 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 1，进而可得 a 的值 （3）由指数函数的性质知，要使 y=h（x）的值域为（0，+） 应使 2 43h xaxx的 值域为 R，进而可得 a的取值范围 【详解】(1)当 a=1 时, 2 43 1 ( ) 3 xx f x ， 令 2 43g xxx， 由于 g(x)在(,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减， 而 1 3 t y 在 R上单调递减， 所以 f(x)在(,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增， 即函数 f(x)的递增区间是(2,+),递减区间是(,2). (2)令 2 43h xaxx, 1 3 h x y ,由于 f(x)有最大值 3， 所以 h(x)应有最小值1， 因此 1216 4 a a =1， 解得 a=1. 即当 f(x)有最大值 3时，a的值等于 1. (3)由指数函数的性质知， 要使 y=h(x)的值域为(0,+). 应使 2 43h xaxx的值域为 R， 因此只能有 a=0. 因为若 a0,则 h(x)为二次函数，其值域不可能为 R. 故 a的取值范围是0. 【点睛】本题考查指数函数综合题，涉及复合函数的单调性、指数函数的性质、二次函数的 性质、最值的确定方法等，考查综合分析能力，属于中等题.
