1、 专题专题 10 逐个击破考向逐个击破考向-第第十十周：周：几何综合证明二几何综合证明二 旋转、相似综合、新定义旋转、相似综合、新定义 【考向分析考向分析】 通过分析对比，可以看出： 安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类： 一是全等综合证明，一是全等综合证明， 二是相似综合证明，二是相似综合证明， 三是旋转问题，三是旋转问题， 四是特殊图形特殊性质的运用四是特殊图形特殊性质的运用。 其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点， 近几年中出现了旋转和特殊图形特殊 性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧； 几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，
2、是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌 握的综合运用能力要求较高， 但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维， 进而顺利解题。 【真题再现真题再现】 年份：年份：2010 年年 考向：全等相似综合证明考向：全等相似综合证明 年份年份 几何综合证明题几何综合证明题 考向补充考向补充 2010 全等相似综合证明 2011 旋转问题，全等相似综合证明 2012 相似综合证明 2013 新定义几何证明 2014 全等综合证明，旋转问题 2015 全等相似综合证明，旋转问题 2016 全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用 2017 全等相似综合证明 20
3、18 全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用 2019 全等相似综合证明 20. 如图，ADFE，点 B、C 在 AD 上，12，BFBC. (1)求证：四边形 BCEF 是菱形； (2)若 ABBCCD，求证： ACFBDE. 第 20 题图 23. 如图， 已知 ABCA1B1C1， 相似比为 k(k1)， 且 ABC 的三边长分别为 a、 b、 c(abc)， A1B1C1 的三边长分别为 a1、b1、c1. (1)若 ca1，求证：akc； (2)若 ca1，试给出符合条件的一对 ABC 和 A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b1、c1都是正整
4、数，并加 以说明； (3)若 ba1，cb1，是否存在 ABC 和 A1B1C1使得 k2？请说明理由 第 23 题图 年份：年份：2011 年年 考向：旋转问题，全等相似综合证明考向：旋转问题，全等相似综合证明 22. 在 ABC 中， ACB90 ， ABC30 ， 将 ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， 旋转角为 (0 0，h20，h30) (1)求证：h1h3； (2)设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S(h1h2)2h21； (3)若3 2h1h21，当 h1变化时，说明正方形 ABCD 的面积 S 随 h1 的变化情况 第 23 题图 年份：年份：2012 年年 考向：相似综合
5、证明考向：相似综合证明 22. 如图，在 ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上， BDG 与四边形 ACDG 的 周长相等设 BCa，ACb，ABc. 第 22 题图 (1)求线段 BG 的长； (2)求证：DG 平分EDF； (3)连接 CG，如图，若 BDG 与 DFG 相似，求证：BGCG. 年份：年份：2013 年年 考向：新定义几何证明考向：新定义几何证明 23. 我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”如图，四边 形 ABCD 即为“准等腰梯形”，其中BC. (1)在图所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引
6、一条直线将四边形 ABCD 分割成一个 等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)； (2)如图，在“准等腰梯形”ABCD 中，BC，E 为边 BC 上一点，若 ABDE，AEDC.求证：AB DC BE EC； (3)在由不平行于BC的直线 AD 截 PBC所得的四边形 ABCD 中， BAD 与ADC 的平分线交于点 E， 若 EBEC，请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即图所示情形)，四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形”，为 什么？若点 E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论(不必说明理由) 图 图 图 第 23 题图 年份
7、：年份：2014 年年 考向：全等综合证明，旋转问题考向：全等综合证明，旋转问题 23. 如图， 正六边形ABCDEF的边长为a， P是BC边上一动点， 过P作PMAB交AF于M， 作PNCD 交 DE 于 N. (1)MPN_ ； 求证：PMPN3a； (2)如图，点 O 是 AD 的中点，连接 OM，ON.求证：OMON； (3)如图， 点 O 是 AD 的中点， OG 平分MON， 判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形？并说明理由 第 23 题图 第 23 题图 第 23 题图 年份：年份：2015 年年 考向：全等相似综合证明，旋转问题考向：全等相似综合证明，旋转问题 23. 如图，
8、在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 GA、GB、GC、GD、EF，若AGDBGC. (1)求证：ADBC； (2)求证： AGDEGF； (3)如图，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值 图 图 第 23 题图 年份：年份：2017 年年 考向：全等相似综合证明考向：全等相似综合证明 23已知正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点 (1)如图 1，点 G 为线段 CM 上的一点，且AGB90 ，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于点 E，F. 求证：BECF；
9、 求证：BE2BC CE. (2)如图 2，在边 BC 上取一点 E，满足 BE2BC CE，连接 AE 交 CM 于点 G，连接 BG 并延长交 CD 于 点 F，求 tanCBF 的值 图 1 图 2 第 23 题图 年份：年份：2019 年年 考向：全等相似综合证明考向：全等相似综合证明 20、如图，点 E 在ABCD 内部，AFBE，DFCE。 （1）求证：BCEADF； （2）设ABCD 的面积为 S，四边形 AEDF 的面积为 T，求 S T 的值。 23、如图，在 RtABC，ACB=900，AC=BC，P 为ABC 内部一点，且APB=BPC=1350。 求证：PABPBC；
10、求证：PA=2PC； 若点 P 到三角形的边 AB，BC，CA 的距离分别为 h1，h2，h3，求证：h12=h2h3. 【技巧总结技巧总结】 旋转题型：旋转题型：先通过观察图形确定存在旋转 一组相似的等腰三角形绕其公共顶点旋转，对应边连接端点构成的三角形全等 一组相似的非等腰三角形绕其公共点旋转，对应边连接端点构成的三角形相似 1、相似三角形的四类结构图： (1)平行线型 (2)相交线型 (3)子母型 (4)旋转型 1、相似问题中等式证明的方法总结相似问题中等式证明的方法总结 过渡法（或叫代换法）过渡法（或叫代换法） 1、 等量过渡法（等线段代换法）等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法
11、无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上， 不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。 2、 等比过渡法（等比代换法）等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线 段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论
12、中某个比相等的比， 并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。 3、等积过渡法（等积代换法）、等积过渡法（等积代换法） 思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。 【典型例题典型例题】 【例 1】已知四边形 ABCD 是菱形，AB=4，ABC=60，EAF 的两边分别与射线 CB，DC 相交于点 E，F，且 EAF=60 （1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF
13、，AF 之间的数量关系； （2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BE=CF； （3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB=15时，求点 F 到 BC 的距离 【例 2】2019 年江苏省盐城市东台市第四联盟中考数学模拟试卷（1）操作发现：如图，小明画了一个 等腰三角形 ABC， 其中 ABAC， 在ABC 的外侧分别以 AB， AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD， ACE， 分别取 BD， CE， BC 的中点 M， N， G， 连接 GM， GN 小明发现了： 线段 GM 与 GN 的数量关系是 ； 位置关系是 （2
14、）类比思考： 如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC， 其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由 （3）深入研究： 如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD， ACE，其它条件不变，试判断GMN 的形状，并给与证明 【例 3】2019 年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角 形”例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是ABC 的中线，AFBE，垂足为 P像ABC 这样的三角形均 为“中垂三角形”设 BCa，ACb，ABc 特例探索
15、（1）如图 1，当ABE45，c2时，a ，b ； 如图 2，当ABE30，c4 时，求 a 和 b 的值 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的 关系式 （3）利用（2）中的结论，解答下列问题： 在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE， CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 4 所示，求 MG2+MH2的值 【例 4】2020 年安徽省志诚教育中考数学二模试卷如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的
16、 中点，连接AF、DE交于点G （1）求证：AFDE； （2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H 求证：GB 2GAGD； 若AB10，求三角形GBH的面积 【对应练习对应练习】 1. 如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C 分别在边 AD、 AF 上，此时 BD=CF，BDCF 成立 （1）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （090）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明，若不成立， 请说明理由； （2）当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 H 求证：BDCF； 当 AB=2，AD=3 时，求线段 DH 的长 22019 年江苏省镇江市丹阳市中考数学模拟试卷问题：如图（1），点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上，EAF45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD，请你利用图（1）证 明上述结论
