1、2021 年人教 A 版高一数学上学期期中测试卷 03 第卷 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1若集合|(3)(2)6AxNxx，则A中的元素个数为 A3 B4 C5 D6 2若集合 2 |log3Axx， 2 |28 0Bx xx ，则AB A |8x x B | 24xx 剟 C | 28xx D |04xx 3若定义在a，b上的函数( ) |f xlnx的值域为0，1，则ba的最小值为 A1e B1e C 1 1 e D 1 1 e 4已知( )2 ()31f xfxx，则( )f x A 1 3 3 x
2、 B3x C31x D 1 3 x 5函数( )( 2)xf x 在区间1，2上的最大值是 A 2 2 B2 C2 D2 2 6已知 0.3 0.4a ， 0.3 0.3b ， 0.4 0.3c ，则 Aacb Babc Ccab Dbca 7如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 2 ()m与时间x(月)的关系： x ya，有以下叙述： 这个指数函数的底数是 2； 第 5 个月的浮萍的面积就会超过 2 30m； 浮萍从 2 4m蔓延到 2 12m需要经过 1.5 个月； 浮萍每个月增加的面积都相等； 若浮萍蔓延到 2 2m、 2 3m、 2 6m所经过的时间分别为 1 x， 2 x， 3 x，
3、则 123 xxx 其中正确的是 A B C D 8下列函数中，在区间(0,)上单调递增且存在零点的是 A x ye B1yx C 1 2 logyx D 2 (1)yx 9若函数 2 |2| 2,0 ( ) ,0 x x xx f x ea x 有 3 个零点，则实数a的取值范围是 A 2 1e，) B 2 1(e，) C1， 2 e D(1， 2 e 10已知函数 2 2 ,0 ( ) 1 ,0 xx x f x x x 则不等式( )f xx的解集为 A 1，3 B(，13，) C 3，1 D(，31，) 11已知函数 2 1 2 ( )log (45)f xxx，则函数( )f x的减
4、区间是 A(,2) B(2,) C(5,) D(, 1) 12若实数x满足 3 log 41x，则22 xx A 5 2 B3 C 4 3 3 D 10 3 第卷 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13函数 1 1 x ya (0a 且1)a 的图象恒过定点P，则P点的坐标是 14函数 2 2 1 ( )( ) 2 xx f x 的值域是 15已知函数 2 2 log (3),2 ( ) 21,2 x x x f x x ，若(2)1fa，则f(a) 16若函数( ) |2|(4)f xxx在区间(5 ,41)aa上单调递减，则实数a的取值范围是 三、解答题(本大题
5、共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) ()设 3 log 2x ，求 991 33 xx xx 的值； ()计算： 2020192019 1 (3)()(23)(23) 3 18(本小题满分 12 分) 已知函数( )ln(32 )f xx，( )ln(32 )g xx (1)求函数( )( )( )F xf xg x的定义域； (2)若( )0F x 成立，求x的取值范围 19(本小题满分 12 分) 已知函数( )yf x为偶函数，当0 x时， 2 ( )21f xxax，(a为常数) (1)当0 x 时，求( )f x的解析式；
6、 (2)设函数( )yf x在0，5上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)对于(2)中的g(a)，试求满足 1 (8 )()gmg m 的所有实数m的取值集合 20(本小题满分 12 分) 已知函数( )(0,1) x f xa aa在区间 1，2上的最大值是最小值的 8 倍 ()求a的值； ()当1a 时，解不等式 2 log (22 )log (1) aa axx 21(本小题满分 12 分) 已知函数 37 ( ) 2 x f x x (1)求函数的单调区间； (2)当( 2,2)m 时，有 2 ( 23)()fmf m，求m的范围 22(本小题满分 12 分) 已知函数 4
7、 ( )1(0,1) 2 x f xaa aa 且(0)0f ()求a的值； ()若函数( )(21)( ) x g xf xk有零点，求实数k的取值范围 ()当(0,1)x时，( )22 x f xm恒成立，求实数m的取值范围 2021 年人教 A 版高一数学上学期期中测试卷 03（答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A A D A D B C A C B D 1【答案】D 【解析】|13AxRx剟，|1BxR x， |1 RB x x，()( R AB ，3 故选：D 2【答案】A 【解析】 | 15Axx ， |0Bx x且1x ， ( 1,)AB 故选：A
8、 3【答案】A 【解析】因为( )2 ()31f xfxx， 所以()2 ( )31fxf xx ， 则 1 ( )3 3 f xx 故选：A 4【答案】D 【解析】由一次函数的性质可知，( )1f xx的值域R， 结合选项可知，yx， 3 yx，lnyx的值域都为R， 而根据指数函数的性质可知， x ye的值域(0,)， 故选：D 5【答案】A 【解析】 12 55 255a ， 2 5 6b ， 62 55 28c ， 幂函数 2 5 yx在(0,)上单调递增，且568， 222 555 568， abc， 故选：A 6【答案】D 【解析】根据题意，函数( ) a f xx x ，其导数
9、2 22 ( )1 axa fx xx ， 若( ) a f xx x 在区间(2,)上单调递增，则 2 2 ( )0 xa fx x 在(2,)上恒成立， 则有 2 a x在(2,)上恒成立， 必有4a， 故选：D 7【答案】B 【解析】当0 x 时，由( )0f x 得 2 20 x x，得2x 或4x ，此时有两个零点， 若( )f x有三个零点，则等价为当0 x时， |2| ( ) x f xea 有 1 个零点， 由 |2| 0 x ea 得 |2|x ea 作出函数 2 |2| (2) ,20 ,2 x x x ex ye ex 的图象， 由图象知，若( )f x只有一个零点， 则
10、1a 或 2 ae， 即实数a的取值范围是 2 1(e，)， 故选：B 8【答案】C 【解析】设 2 45txx， 由0t 可得5x 或1x ， 则 1 2 logyt在(0,)递减， 由 2 45txx在(5,)递增， 可得函数( )f x的减区间为(5,) 故选：C 9【答案】A 【解析】函数的定义域为R，且 | | ()|( ) xx fxexexf x ，函数( )f x是偶函数， 于是原不等式可等价为 1 (|21|)( ) 3 fxf， 当0 x 时，( ) x f xex在区间0，)上单调递增， 1 |21| 3 x，解得 12 33 x， 故选：A 10【答案】C 【解析】函数
11、 ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx ，函数在各自定义域内，都是增函数， 实数a满足f（a）(1)f a， 可得： 01 2(1 1) a aa ，解得 1 4 a 故选：C 11【答案】B 【解析】由函数图象可知，所求函数的定义域为(，0)(0，)，且为偶函数，故排除选项A， C； 又x时，( )f x ，而选项D当x时， 2 1 0,|ln x x ，此时不合题意，故排除选 项D 故选：B 12【答案】D 【解析】由题意可得， 1 22 2 x 剟， 所以 3 1 2 2 log x剟， 解可得，39x剟 故选：D 13【答案】13 【解析】根据题意，当(0,)x时， 32
12、( )1f xxx， 则f（2）84113 ， 又由( )f x为奇函数，则( 2)ff （2）13 ； 故答案为：13. 14【答案】 1 ,) 2 【解析】令 2 2txx ，则(t ，1 即 1 ( ) 2 t y ，(t ，1 函数 1 ( ) 2 t y 在区间(，1上是减函数 故 1 11 ( ) 22 y 故函数 2 2 1 ( )( ) 2 xx f x 的值域是 1 ,) 2 故答案为： 1 ,) 2 . 15【答案】0，1)，(1，2 【解析】 2 22 2(2) ( ) (1)(1) xxx x fx xx ； 解( ) 0fx得，01x ，或12x ； 原函数的单调递减
13、区间是0，1)，(1，2 故答案为：0，1)，(1，2 16【答案】 12 10 【解析】2 ( ) ( )f g xg f x，2(1lg 22 )(1lg )xx， (lg 2 )2lg10 xx ，lg12x ， 12 10 x 故答案为： 12 10 17【解析】 （1）原式 39447 1 24936 （2）原2lg2lg52lg22(lg2lg5)1 18【解析】 （1）由已知得： 2 1 9 a ，解得： 1 3 a ， 1 ( )( ) 3 x f x 在R递减，则 2 22b ， f（2） 2 (2)f b ； （2）0 x， 2 21xx， 2 2 1 ( )3 3 xx
14、， 故( )g x的值域是(0，3 19【解析】 （1）函数( )lg(2)lg(2)f xxx， 20 20 x x ，解得22x 函数( )f x的定义域为( 2,2) ()lg(2)lg(2)( )fxxxf x， ( )f x是偶函数 （2）22x ， 2 ( )lg(2)lg(2)lg(4)f xxxx ( ) ( )103 f x g xx， 函数 22 325 ( )34() 24 g xxxx ，( 22)x ， 325 ( )( ) 24 max g xg，( )( 2)6 min g xg ， 函数( )g x的值域是( 6， 25 4 （3）不等式( )f xm有解， m
15、ax ( )mf x， 令 2 4tx，由于22x ，04t ( )f x的最大值为lg4 实数m的取值范围为|lg4m m 20【解析】 （1）当0 x时， | | 1 1 ( )22 222 2 x xxx f x ， 当0 x 时， 11 ( )2( )2 2 ( )2 22 xxxx f x 由不等式 217 ( ) 24 f x剟得： 当0 x等价为 1 2 2 2 x ，即 1 1 2 22x ， 1 1 2 x ，即 3 0 2 x剟， 当0 x 等价为 117 2( ) 24 xx ， 设2xt ，则1t ， 117 4 t t ， 即 2 4174 0tt ， 解得 1 4
16、4 t剟，此时14t ， 此时124 x ，解得02x 综上不等式的解为 3 2 2 x剟，即不等式的解集为 3 |2 2 xx剟 （2）当0 x 时， 1 ( )2( ) 2 xx f x (2 )( )40fxaf x在(0,)上等价为： 22 11 2( ) 2( ) 40 22 xxxx a， 即 2 11 2( ) 2( ) 20 22 xxxx a， 设 1 2( ) 2 xx t ，则当0 x 时，2t ， 此时方程等价为 2 20tat， 即 2 22 () t at tt ， 当2t 时， 2 ( )g tt t 单调递增， ( )g tg（2）3， 2 ( )()3g tt
17、 t ， 要使 2 22 () t at tt 有解，则3a ， 即实数a的取值范围是3a 21【解析】 （1）由题意知函数的自变量要满足40 x a，4 x a， 两边取对数，针对于底数与 1 的关系进行讨论， 1a 时，定义域(，log 4 a ； 01a时，定义域log 4 a ，) （2）存在 当1a 时，函数的定义域为(，log 4 a ； 对于区间(2,)上的一切x， 只有12a，两个范围才有公共部分， 当12a时，自变量为(2， 4 log a ，由( ) 0f x ，可得1 2 4 xx aa， 两边平方后移项整理成最简形式， 2 (1)16 x a ，1 4 x a ，3 x
18、 a x a是一个增函数，只要 2 3a 恒成立即可，即只要3a， 故存在实数a，当32a 时，函数( )f x对于区间(2,)上的一切x都有( ) 0f x 22【解析】 （1） 2 ( )ln(1)f xxx ， 22 2 1 ()ln( 1()lnln(1)( ) 1 fxxxxxf x xx ， 故( )f x为奇函数， （2） 1x ，3，不等式 2 ()f xaxf（4）0 2 ()f xaxf（4）( 4)f， 2 2 1 ( )ln(1)ln 1 f xxx xx 单调递减， 2 4xax在 1x ，3恒成立，即 2 4 0 xax 在 1x ，3恒成立， 令 2 ( )4 0g xxax ， 1x ，3，则 ( 1)50 (3)1330 ga ga ， 解可得， 13 5 3 a 剟
