1、平口单峰函数（绝对值）平口单峰函数（绝对值） 一平口二次函数问题一平口二次函数问题 去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a，一切bc，这些系数与二次函数的 形状没有任何影响.在初中的课本中提到的y = ax2 平移变换 y = a(x - h) 2 +k，我们将坐标轴去掉，单纯研 究二次函数，解决当 ( ) 2 fxxbxcxpq，=+时， ( ) fxc，求c最小值问题.由于有了绝对值，函数 成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围. 图 1图 2图 3 如图 1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m，此时函数定顶点到蝶宽 弦的
2、距离称为蝶高n，相对应的角叫蝶角，定义tan n m a=，可以得出以下定理： tanma=，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大； 以对称轴为中心，每增加m的蝶宽，相对应的蝶高比为 2 1:4:9: n，增加的蝶高n比为 1:3:5:21n-； 如图 2， 处于同一单调区间时， 最大值M和最小值m的差值 ( ) g xMm=-在区间距离对称轴越近时越小， 离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时， ( ) g xMm=-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对 称轴越远时越大， 故当仅当对称轴为中点 22 bpq+ -=时， ( )( )( ) min 22 bb g xMmf qffp
3、f=-=-=-； 综上，如图 3，当0Mm+=， ( ) fxc时，c取得最小值，此时 2 pq mf + =， ( )( ) Mfpf q=. 例 1：在 ( ) 2 fxxpxq=+中，找出使得 2 max11xpxqx，+-取得最小值时的函数表达式为 解：根据平口二次函数定理可知当仅当0Mm+=时， 2 max, 11xpxqx+-能取得最小值，此时 ( )( ) 11Mff=-110pqpqp += -+=；又 ( ) 0mfq=， 1 10 2 Mmqqq+= += -； ( ) 2 1 ,1,1 2 fxxx=- -. 例 2：设函数 ( ) 2 fxxaxb=+，对于任意的实数,
4、 a b，总存在 0 0,4x ，使得 ( )0 fxt成立，则实数t的 取值范围是。 解：根据题意，需要找到 ( )max,0 4fxx，不妨设 ( ) 2 ,0,4g xxaxb x=+， ( )max ,g xM= ( )min g xm=， 根据平口二次函数定理： 当 ( )( ) 04Mgg=24 2 a a-= =-； 且 ( ) 24 24m ga b b= + = -， 又由于+0M m =， 故402bbb+-=， ( )max 2fx=，综上，当2t 时，总存在 0 0,4x ，使得 ( )0 fxt成立.总结：平口 函数就是在区间的左右端点同时取最大值（最小值）的一类函数
5、总称.平口二次函数由于其特殊的对称性， 能在区间的算数平均数中点取到另一个最值. 二平口对勾函数问题二平口对勾函数问题 a 对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，f(x)= x +b,xp,q时， x ( ) fxc，求 c最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是 ( )( ) fpf q=，如图 4，求出参数a以后再根据 ( ) () 0fpfa+=确定参数b； 定理：当仅当apq=时，对勾函数在区间 , p q才能构成平口对勾函数， ( ) fx去最小值时取到了 , p q的 几何平均数中点. 图 4 例 3：（2018 台州期末） 已知 ( ) 1 fxxaxb x
6、 =+-， 当 1 ,2 2 x时， 设 ( ) fx的最大值为 () ,M a b， 则 () ,M a b 最小值为 解： () ,M a b为最小时， 函数一定为平口函数， 构造 ( ) 11 ,2 2 g xxaxb x x =+-， 根据平口函数性质可得： ( ) 1 2 2 gg=0a=，又因为 ( )( ) 9 120 4 ggb+=， () ,M a b最小值为 ( ) 1 1 4 g=. 例 4： （2018 青浦区二模） 设函数 ( ) 2 fxaxb x =-， 对于任意的实数, a b， 总存在 0 1,2x ， 使得 ( )0 fxm 成立，则实数m的取值范围是。 解
7、：由 ( )0 fxm，可知 ( ) fx为平口函数，构造 ( ) 2 g xaxb x =-，一定有 ( )( ) 12gg=，则1a = -，又因为 当2x =时， ( ) g x取得最小值， ( ) () 32 2 120 2 ggb + +=， ( )( ) max 32 2 1 2 g xgm - =. 三平口三次函数问题三平口三次函数问题 三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值 到极大值等值点这一段） ，如下图，若12x ，我们可在此区间构造单峰函数. 【例 5】 （2019武汉调研） ： 已知函数 3 f xxaxb的定义域为
8、 1, 2， 记 f x的最大值为M， 则M的 最小值为（） A.4B.3C.2D.3 解：构造平口单峰 3 33f xxxaxb，不难发现 3 3yxx在 1, 2x 为平口单峰，且极值点 0 1x ，根据秒杀秘籍得M的最小值为 ( )( )( )0 22 2 22 fpfx- - =，故答案选C. 秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数 所有的平口函数 ( ) yfx=一定满足一个共性：出现求 ( )max min fx， ,xp q时，一定为平口函数，若 ( ) yfx=有一个极值点，也叫平口单峰函数，若 ( )max fxM=， ( )min fxm=， ( )( ) 0 fpf q Mm
9、= += 此为平口单峰函数的万能招数.既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了.建议大家边写题边拍一下参考答 案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的. 例 6：（2018 呼和浩特期中） 设函数 ( ) , ,fxxaxb a bR=-若对于任意的实数, a b总存在实数 0 0,4x ， 使得 ( )0 fxm成立，则实数m的取值范围为。 解：令 ,0,2xt t=， ( ) 2 , ,f ttatb a bR=-，令 ( ) 2 , ,g ttatb a bR= -一看是平口二次函数模型， 直接上秒杀 ( )( ) ( )( ) 1 02 2 1010 4 a gg gg b =
10、 = += = ，故 ( ) 2 max max 111 244 f tttm=-=. 例 7：（2018 秋杭州期中） 已知 ( ) lnfxxaxb=-， 对于任意的0a ，故 ( ) fx为单调增函数，无峰最值只能在两端，根据平口函 数理论 ( )( )() 2 12ln12ln2f mfma mmme-， 注意，没有峰的函数，一定用 ( )( ) 2f qfpc-，这个方法百试不爽. 例 8：求 () min max ln10 1xaxbxabR，、+； 解：令 ( )() ln1fxxaxb=+，无峰不最值，当 ( )( ) 01ln2ffa= -，此时 ( ) 1 ln2 1 fx
11、 x =- + ，当 1 1 ln2 x =-时 ( ) 0fx =， ( ) () ln ln2ln2 1 1 100 ln22 ffb -+ -+=，故 () () min ln ln2ln2 1 max ln1 2 xaxb -+ +=. 下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程： 若函数f(x)在区间p , q为连续的单峰函数，且f(p)= f(q)，此函数为平口单峰函数， 0 x为其极值点. 秒杀秘籍: ( )( ) maxg xfxaxb=+的最小值为 ( )( )0 2 fpfx- ，当仅当0a =， ( )( )0 2 fpfx b + = -时取得. 证明： 若0a时， 如图
12、 5， 图 6， 则端点值的增量为 () a pq-， 而极值点的增量为 ()0 a xp-或者 ()0 a xq-， 由于 00 max,pqxpxq-故 ( )( )( ) minmin maxmaxg xfxaxbfxb=+，故不符合题意，即0a = 图 5图 6 例 9： （2018台州月考） ：已知函数 1 f xxaxb x ，当 1 2 2 x ，时，设 f x的最大值为M ab， 则M ab，的最小值是（） A.2B. 1 2 C.4D. 1 4 解：因为 1 x x 在 1 2 2 x ，为“平口单峰函数” ，且极值点 0 1x ，根据秒杀秘籍得M ab，的最小值为 ( )( )0 1 22 1 2 224 fpfx +- - =.
