1、考点考点 二项式定理二项式定理 1.(2020课标理,8,5分)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 2 y x x 答案答案 C 本题考查二项式定理.要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的 展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为=10,x4y 的系数为=5,故(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C. 2 y x x 3 5 C 1 5 C 2 y x x 2.(2020北京,3,4分)在(-2)5的展开式中,x2的系数为( ) A.-5
2、B.5 C.-10 D.10 x 答案答案 C (-2)5的展开式的通项是Tr+1=()5-r (-2)r=(-2)r ,令=2,解得r=1,因此x2的系数 为(-2)1=-10,故选C. x 5 Crx 5 Cr 5- 2 r x 5- 2 r 1 5 C 3.(2019课标理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 答案答案 A 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公式的 运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的展开式的通项为Tk+1=xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2
3、)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2=12. 故选A. 4 Ck 3 4 C 1 4 C 解题关键解题关键 掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键. 4.(2018课标理,5,5分)的展开式中x4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 5 2 2 x x 答案答案 C 本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1=(x2)5-r (2x-1)r=2r x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22=40. 故选C. 5 2 2 x x 5 Cr 5 Cr 2 5 C 5.(2017课标理,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3
4、y3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 答案答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r (-y)r=(-1)r 25-r x5-ryr.其中含x2y3项的系数为(-1)3 22=-40,含 x3y2项的系数为(-1)2 23=80.于是(x+y) (2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40. 5 Cr 5 Cr 3 5 C 2 5 C 6.(2020课标理,14,5分)的展开式中常数项是 (用数字作答). 6 2 2 x x 答案答案 240 解析解析 展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r=
5、2rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24=240. 6 Cr 2 r x 6 Cr 4 6 C 7.(2020浙江,12,6分)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= . 答案答案 80;122 解析解析 二项展开式的通项Tr+1=(2x)r= 2rxr,a4= 24=80;a1+a3+a5=2+23+25=10+80+ 32=122. 5 Cr 5 Cr 4 5 C 1 5 C 3 5 C 5 5 C 8.(2020天津,11,5分)在的展开式中,x2的系数是 . 5 2 2 x x 答案答案 10
6、 解析解析 展开式的通项Tr+1=x5-r=2rx5-3r, 令5-3r=2,r=1, T2=21x2=10 x2, x2的系数是10. 5 Cr 2 2 r x 5 Cr 1 5 C 9.(2019浙江,13,6分)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 . 2 答案答案 16;5 2 解析解析 本题主要考查二项展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定特定项,以此 考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力. (+x)9的展开式的通项为Tr+1=()9-rxr= xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1= x0=16
7、, 要使系数为有理数,则只需Z,则r必为奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五个, 故系数为有理数的项的个数是5. 2 9 Cr2 9 Cr 9- 2 2 r 0 9 C 9 2 2 9 2 2 9- 2 r 10.(2019天津理,10,5分)的展开式中的常数项为 . 8 3 1 2 - 8 x x 答案答案 28 解析解析 本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从而体 现了数学运算的核心素养. 的展开式的通项公式为Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-k 2-3k x8-4k=(-1)k 28-4k x8-4k,令8-4k=0, 得k=2,即
8、T3=(-1)220=28,故常数项为28. 8 3 1 2 - 8 x x 8 Ck 3 1 - 8 k x 8 Ck 8 Ck 2 8 C 2 8 C 11.(2018天津理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为 . 5 1 - 2 x x 答案答案 5 2 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. 由题意得Tr+1=x5-r=, 令5-=2,得r=2, 所以=. 故x2的系数为. 5 Cr 1 - 2 r x 1 - 2 r 5 Cr 3 5-2r x 3 2 r 1 - 2 r 5 Cr 2 1 - 2 2 5 C 5 2 5 2 12.(2018浙江,14,4分)的展开式的常数
9、项是 . 8 3 1 2 x x 答案答案 7 解析解析 本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1= x-k=,要使Tk+1为常数,则=0,k=2,此时T3= =7,故展开式的常数项为7. 8 3 1 2 x x 8 Ck 8- 3 k x 1 2 k 1 2k 8 Ck 8-4 3 k x 8-4 3 k 2 1 2 2 8 C 13.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 答案答案 4 解析解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1=3rxr, 含有x2项的系数为32=54, n
10、=4. Cr n 2 Cn 14.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 答案答案 16;4 解析解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1=1222+132=16, a5=b3c2=1322=4. 2 3 C 1 2 C 1.(2017课标理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35 2 1 1 x 以下为教师
11、用书专用 答案答案 C 对于(1+x)6,若要得到x2项,可以在中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项, 则系数为;当在中选取时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为,所以,展开式中x2的系 数为+=30,故选C. 2 1 1 x 2 1 1 x 2 6 C 2 1 1 x 2 1 x 4 6 C 2 6 C 4 6 C 2.(2016北京理,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答) 答案答案 60 解析解析 本题考查展开式中指定项的系数. Tr+1= 16-r (-2x)r=(-2)r xr, 令r=2, 得T3=(-2)2x2=60 x2. 故x2的
12、系数为60. 6 Cr 6 Cr 2 6 C 3.(2016课标理,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案答案) x 答案答案 10 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=(2x)5-r ()r=25-r ,令5-=3,得r=4,T5=10 x3,x3的系数为10. 5 Crx 5 Cr 5-2 r x 2 r 4.(2016天津理,10,5分)的展开式中x7的系数为 .(用数字作答) 8 2 1 -x x 答案答案 -56 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=
13、7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56. 8 Cr 8 Cr 3 8 C 易错警示易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 5.(2016山东理,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a= . 5 2 1 ax x 答案答案 -2 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=a5-r,令10-r=5,解得r=2,所以a3=-80,所以a=-2. 5 Cr 5 10-2r x 5 2 2 5 C 1.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,6)(1-2x)6的展开式的第三项为( ) A.60 B.-120 C.60 x2 D.-12
14、0 x3 考点考点 二项式定理二项式定理 A A组组 考点基础题组考点基础题组 答案答案 C T3=(-2x)2=60 x2. 2 6 C 规律总结规律总结 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=an-k bk的特点,一般需要建立方程 求k,再将k的值代入通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,n). (1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. Ck n 2.(2018广东肇庆三模,8)已
15、知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 答案答案 A (1-ax)(1+x)5=(1-ax)(1+5x+10 x2+10 x3+5x4+x5),其展开式中x2的系数为10-5a=5,解得a=1.故 选A. 一题多解一题多解 展开式中含x2的项为x2+(-ax)x=10 x2-5ax2=(10-5a)x2,展开式中x2的系数为10-5a= 5,a=1. 2 5 C 1 5 C 3.(2020福建泉州适应性线上测试)若(2x+1)5=a0+a1(x+1)+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a4= ( ) A.10
16、B.-10 C.80 D.-80 2 2( 1)a x 答案答案 D (2x+1)5=2(x+1)-15,通项Tr+1=2(x+1)5-r(-1)r, 故当r=1时,T1+1=2(x+1)5-1(-1)1=-80 (x+1)4, 所以a4=-80. 5 Cr 1 5 C 一题多解一题多解 令t=x+1,则x=t-1,2x+1=2t-1, (2x+1)5=(2t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5, 则(2t-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2t)5-r(-1)r, 令r=1,则T1+1=(2t)5-1(-1)1=-80t4,所以a4=-80. 5 Cr 1 5 C
17、4.(2020湖北随州3月调研考试,7)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中 系数最小的项的系数为( ) A.-126 B.-70 C.-56 D.-28 1 - n x x 答案答案 C 只有第5项的二项式系数最大, n=8,的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0,1,2,8), 展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应偶数项的 系数互为相反数,而展开式中第5项的二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且 最小,为(-1)3=-56. 1 - n x x 8 Ck 3 8-2k x 3 8 C 1.(2020福建毕业班质量检
18、查)(2x-1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是( ) A.200 B.120 C.80 D.40 B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间:20分钟 分值:35分) 一、单项选择题(每小题5分,共10分) 答案答案 B 本题考查二项展开式的系数及展开式的通项等基础知识,考查运算求解能力,考查数学 运算的核心素养,体现基础性. 把(2x-1)(x+2)5变形成2x (x+2)5-(x+2)5,分别求两部分的x3的系数,便可得到展开式中x3的系数,为22 3- 22=120. 3 5 C 2 5 C 2.(2019湖北宜昌模拟,8)若(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-
19、3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5,则a3=( ) A.-70 B.28 C.-26 D.40 答案答案 C 令t=x-3,则(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5可化为(t+1)5-3(t+3)4=a0 +a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,则a3=-33=10-36=-26.故选C. 2 5 C 1 4 C 3.(2020湖南、河南、江西3月线上联考,14)(x2+2)的展开式中所有项的系数和为 , 常数项为 . 6 1 2 -x x 二、填空题(每小题5分,共25分) 答案答
20、案 3;-260 解析解析 将x=1代入(x2+2),得所有项的系数和为3,因为的展开式中含的项为(2x) 2 =,的展开式中的常数项为(2x)3=-160,所以(x2+2)的展开式中的常 数项为60-320=-260. 6 1 2 -x x 6 1 2 -x x 2 1 x 4 6 C 4 1 - x 2 60 x 6 1 2 -x x 3 6 C 3 1 - x 6 1 2 -x x 4.(2020山东济宁一中质量检测,14)已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为27,则实数a= ,展开式中含x2的项的系数是 . 答案答案 2;23 解析解析 由已知可得,(2-12)(1
21、+a)3=27,则a=2. 所以(2-x2)(1+ax)3=(2-x2)(1+2x)3=(2-x2)(1+6x+12x2+8x3),所以展开式中含x2的项的系数是212-1=23. 5.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比 是25,则x3的系数为 . 1 2 - n x x 答案答案 240 解析解析 的展开式的通项为Tr+1= (2x)n-r,由展开式中第2项与第3项的二项式系数 之比是25,可得=25,解得n=6.所以Tr+1=(-1)r26-r ,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数 为26-2(-1)2=240. 1 2 - n x x
22、 Cr n 1 - r x 1 Cn 2 Cn 6 Cr 3 6-2r x 3 2 2 6 C 6.(2020百校联盟质量监测)在(x2+x-1)(x-a)5的展开式中,含x5项的系数为14,则实数a的值为 . 答案答案 -1或 3 2 解析解析 由已知得x2x3(-a)2+xx4(-a)+(-1)x5(-a)0=(10a2-5a-1)x5,10a2-5a-1=14,即2a2-a-3=0,解得 a=-1或. 2 5 C 1 5 C 0 5 C 3 2 7.(2020山东青岛三模,15)若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a16(1+x)16+a17(1+x)17,则 (1
23、)a0+a1+a2+a16= ;(2)a1+2a2+3a3+16a16= .(本题第一个空2分,第二个空3分) 答案答案 (1)217+1 (2)17-17216 解析解析 令1+x=t,则已知条件为(3-t)17=a0+a1t+a2t2+a17t17.(*) (1)令t=1,可得a0+a1+a2+a17=217,其中a17=(-1)17=-1,a0+a1+a2+a16=217+1. (2)在(*)两边求导可得-17(3-t)16=a1+2a2t+16a16t15+17a17t16,令t=1,可得-17216=a1+2a2+16a16+17 a17,-17216=a1+2a2+16a16-17
24、,解得a1+2a2+3a3+16a16=17-17216. 17 17 C 1.(2020 5 3原创题)已知-(2-x)+(2-x)2-(2-x)3+(2-x)100=a0+a1x+a2x2+a100 x100,则a1+a2 +a3+a99的值是( ) A.-1 B.-2 C.299-1 D. 1 100 C 2 100 C 3 100 C 100 100 C 99 2 -1 2 答案答案 B 记f(x)=1-(2-x)+(2-x)2-(2-x)3+(2-x)100-1=1-(2-x)100-1=(x-1)100-1, 即(x-1)100-1=a0+a1x+a2x2+a100 x100, 令
25、x=1,得a0+a1+a2+a100=-1. 令x=0,得a0=0, 又易知a100=1, 所以a1+a2+a3+a99=-2. 1 100 C 2 100 C 3 100 C 100 100 C 命题说明命题说明 本题以二项展开式的通项公式的应用和二项式各项系数的和为考查背景,考查二项式 定理的逆用、变形用、系数和等知识,涉及“赋值法”,考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核 心素养. 2.(2020 5 3原创题)记f(x)=(1+x)2 020+x(1+x)2 019+x1 010 (1+x)1 010,则f(x)的展开式中x1 010的系数是 ( ) A. B. C. D. 1 010
26、2 020 C 1 011 2 019 C 1 011 2 021 C 1 011 2 020 C 答案答案 C 由二项式定理易知x1 010的系数是 + =+ =+ =+ =+= =+=. 1 010 2 020 C 1 009 2 019 C 1 008 2 018 C 0 1 010 C 1 010 2 020 C 1 010 2 019 C 1 010 2 018 C 1 010 1 011 C 1 010 1 010 C 1 011 1 011 C 1 010 1 011 C 1 010 1 012 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 1 012
27、C 1 010 1 012 C 1 010 1 013 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 1 013 C 1 010 1 013 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 2 020 C 1 010 2 020 C 1 011 2 021 C 命题说明命题说明 本题通过求二项展开式指定项的系数,考查组合数公式、二项式定理的灵活应用、二 项式系数的性质等,考查学生的逻辑思维能力、运算能力. 解后反思解后反思 灵活利用二项式系数的性质是快速准确解题的关键,如果知道结论+ +=可快速解题. Cn n1 Cn n2 Cn n -1 C
28、n n k Cn n k 1 1 Cn n k 3.(2020 5 3原创题)记(x+1)5+x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则a3的值是 . 答案答案 160 解析解析 令t=x-1,则x=t+1,x+1=t+2,故(t+2)5+(t+1)10=a0+a1t+a2t2+a10t10,a3即为该展开式中t3的系数,所 以a3=22+17=160. 2 5 C 7 10 C 命题说明命题说明 本题是一个典型的求展开式特定项系数的问题.解决本题的关键在于将等式右侧的x- 1进行整体代换,转化成我们所熟知的类型. 4.(2020 5 3原创题)若(1+2 020
29、 x)2 020=a0+a1x+a2x2+a2 020 x2 020,则+ = . 1 2 020 a 2 2 2 2 020 a 3 3 3 2 020 a 1 010 1 010 1 010 2 020 a 答案答案 2 02022 018 解析解析 因为=n=2 020, 所以+ =2 020(+)=2 020 =2 02022 018. 2 020 n n na 2 020 2 020 C 2 020 nn n n 2 020 Cn -1 2 019 Cn 1 2 020 a 2 2 2 2 020 a 3 3 3 2 020 a 1 010 1 010 1 010 2 020 a 0 2 019 C 1 2 019 C 1 009 2 019 C 2 019 2 2
