1、考点考点 三角恒等变换三角恒等变换 1.(2020课标,5,5分)已知sin +sin=1,则sin=( ) A. B. C. D. 3 6 1 2 3 3 2 3 2 2 答案答案 B sin +sin=sin +sin cos+cos sin=sin +sin +cos =sin +cos =sin +cos =sin=1, sin=,故选B. 3 3 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 3 6 6 1 3 3 3 2.(2018课标,4,5分)若sin =,则cos 2=( ) A. B. C.- D.- 1 3 8 9 7 9 7 9 8 9 答案答案 B 本题考查
2、三角恒等变换. 由sin =,得cos 2=1-2sin2=1-2=1-=.故选B. 1 3 2 1 3 2 9 7 9 3.(2016课标,6,5分)若tan =-,则cos 2=( ) A.- B.- C. D. 1 3 4 5 1 5 1 5 4 5 答案答案 D 解法一:因为tan =-,所以cos 2=cos2-sin2=. 解法二:由tan =-,可得sin =, 因而cos 2=1-2sin2=. 1 3 22 22 cos-sin cossin 2 2 1-tan 1tan 4 5 1 3 1 10 4 5 4.(2019课标,11,5分)已知,2sin 2=cos 2+1,则
3、sin =( ) A. B. C. D. 0, 2 1 5 5 5 3 3 2 5 5 答案答案 B 由二倍角公式可知4sin cos =2cos2. ,cos 0,sin 0, 2sin =cos ,又sin2+cos2=1,sin =.故选B. 0, 2 5 5 5.(2020课标,13,5分)若sin x=-,则cos 2x= . 2 3 答案答案 1 9 解析解析 sin x=-,cos 2x=1-2sin2x=1-2=. 2 3 2 2 - 3 1 9 6.(2020江苏,8,5分)已知sin2=,则sin 2的值是 . 4 2 3 答案答案 1 3 解析解析 sin2=, sin
4、2=. 4 1-cos2 2 2 1 sin2 2 2 3 1 3 7.(2020浙江,13,6分)已知tan =2,则cos 2= ,tan= . - 4 答案答案 -; 3 5 1 3 解析解析 因为tan =2,所以cos 2=cos2-sin2=-,tan= =. 22 22 cos-sin cossin 2 2 1-tan 1tan 1-4 14 3 5 - 4 tan -tan 4 1tantan 4 2-1 12 1 3 8.(2018课标,15,5分)已知tan=,则tan = . 5 - 4 1 5 答案答案 3 2 解析解析 本题主要考查两角差的正切公式. tan=, 解得
5、tan =. 5 - 4 5 tan -tan 4 5 1tantan 4 tan -1 1tan 1 5 3 2 9.(2016浙江,11,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A= ,b= . 答案答案 ;1 2 解析解析 2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1, 故A=,b=1. 2 2 4 x 2 10.(2017课标,15,5分)已知,tan =2,则cos = . 0, 2 - 4 答案答案 3 10 10 解析解析 因为,且tan =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =,cos =,
6、 则cos=cos cos+sin sin =+=. 0, 2 sin cos 2 5 5 5 5 - 4 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 3 10 10 11.(2016课标,14,5分)已知是第四象限角,且sin=,则tan= . 4 3 5 - 4 答案答案 - 4 3 解析解析 解法一:sin=(sin +cos )=, sin +cos =,2sin cos =-. 是第四象限角,sin 0, sin -cos =-=-, 由得sin =-,cos =,tan =-, tan=-. 4 2 2 3 5 3 2 5 7 25 1-2sin cos 4 2 5 2 10 7
7、2 10 1 7 - 4 tan -1 1tan 4 3 解法二:+=, sin=cos=, 又2k-2k,kZ, 2k-+2k+,kZ, cos=,sin=, 4 - 4 2 4 - 4 3 5 2 4 4 4 4 4 5 - 4 4 5 tan=, tan=-tan=-. - 4 sin- 4 cos- 4 4 3 - 4 - 4 4 3 解法三:是第四象限角,2k-2k,kZ, 2k-+0,1+cos 400, OP的斜率tan =tan 70, 由为锐角,可知为70.故选B. 1cos40? sin40? 2 12cos 20?-1 2sin20?cos20? 2.(2020山西晋中5
8、月模拟,10)已知a为正整数,tan =1+lg a,tan =lg a,且=+,则当函数f(x)=asin -cos (0,)取得最大值时,=( ) A. B. C. D. 4 3 2 2 3 5 6 4 3 答案答案 C 因为=+,所以-=, 所以tan(-)=1,即=1, 解得a=1或a=(舍去). 则f(x)=sin -cos =2sin, 由于0,所以-. 则当-=,即=时,函数f(x)取得最大值. 故选C. 4 4 tan -tan 1tantan 1lg -lg 1(1lg )lg aa aa 1 10 3 - 3 3 2 -, 33 3 2 5 6 3.(2020全国100所名
9、校模拟示范卷(二),11)已知2cos -cos =,2sin +sin =,则cos(+)等于 ( ) A. B.- C. D.- 3 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 4 答案答案 A 由2cos -cos =得(2cos -cos )2=4cos2-4cos cos +cos2=, 由2sin +sin =得(2sin +sin )2=4sin2+4sin sin +sin2=,两式相加得5-4(cos cos -sin sin )=3,即4cos(+)=2,cos(+)=.故选A. 3 2 9 4 3 2 3 4 1 2 4.(2020河南名校联盟2月质量检测,9)若cos=-,
10、则sin的值为( ) A. B. C.- D. 3 1 3 0 2 5 2 12 7 28 25 7 2-8 18 17 2 50 7 2-8 5 答案答案 B 设=+,则cos =-,=-, 因为0,所以, 所以sin =, 所以sin 2=2sin cos =2=-, cos 2=2cos2-1=2-1=-, 所以sin=sin=sin =sin 2cos-cos 2sin=-=.故选B. 3 1 3 3 2 3 5 6 2 1-cos 2 1 1- - 3 2 2 3 2 2 3 1 - 3 4 2 9 2 1 - 3 7 9 5 2 12 5 2- 312 2 - 4 4 4 4 2
11、- 9 2 2 7 - 9 2 2 7 2-8 18 5.(2020皖南八校三模,11)若函数f(x)=sin x+cos x在区间a,b上是增函数,且f(a)=-2, f(b)=2,则函 数g(x)=cos x-sin x在区间a,b上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值2 D.可以取得最小值-2 3 3 答案答案 C 本题考查了辅助角公式,三角函数的单调性,三角函数的最值,考查了数形结合能力,数 学运算能力和逻辑推理能力. f(x)=sin x+cos x=2=2sin, g(x)=cos x-sin x=2=-2sin, 因为f(x)在区间a,b上是增函数,且f(a)=
12、-2, f(b)=2, 则a+=-+2k,b+=+2k,kZ, 即a=-+2k,b=+2k,kZ, 不妨取a=-,b=,即x, 设t=x-,则g(t)=-2sin t,t-,0,函数图象如图: 3 31 sincos 22 xx 6 x 3 31 cos -sin 22 xx - 3 x 6 2 6 2 2 3 3 2 3 3 2 -, 33 3 所以g(x)=cos x-sin x在a,b上先增后减,可取得最大值2.故选C. 3 6.(2019东北三省三校二模,5)已知cos=,则sin=( ) A.- B. C. D.- 6 1 3 2 - 6 7 9 7 9 8 9 8 9 答案答案 B
13、 因为cos=,所以sin=-cos=-cos=1-2cos2=.故选 B. 6 1 3 2 - 6 2 - 62 2 3 6 7 9 7.(2019四川攀枝花一诊,7)若当x=时,函数f(x)=3sin x+4cos x取得最大值,则cos =( ) A. B. C.- D.- 3 5 4 5 3 5 4 5 答案答案 B 函数f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+), 其中sin =, 当x=时, f(x)取得最大值,即+=+2k,kZ, =-+2k,kZ, sin =sin=,kZ, 即sin=,cos =,故选B. 4 5 2 2 -2 2 k 4 5 - 2 4 5 4
14、 5 8.(2019江西上高第二中学第七次(3月)月考,7)已知tan=,且-0,则=( ) A.- B.- C.- D. 4 1 2 2 2 2sinsin2 cos- 4 2 5 5 3 5 10 3 10 10 2 5 5 答案答案 A tan=,tan =-, tan =,sin2+cos2=1,sin =-. =2sin =2=-.故选A. 4 tan1 1-tan 1 2 1 3 sin cos -,0 2 10 10 2 2sinsin2 cos- 4 2sin (sincos ) cos- 4 4sin (sincos ) 2(sincos ) 22 10 - 10 2 5 5
15、 二、填空题(每小题5分,共10分) 9.(2019黑龙江大庆二模,14)已知,为锐角,且(1-tan ) (1-tan )=4,则+= . 33 答案答案 2 3 解析解析 (1-tan )(1-tan )=4,-(tan +tan )=3(1-tan tan ),即=tan(+)=- ,为锐角,0+,故+=. 333 tantan 1-tantan 3 2 3 10.(2019河南顶级名校第四次联合质量测评,16)已知,sin(2+)=sin ,则 = . 0, 2 0, 2 3 2 tan() tan 答案答案 5 解析解析 因为sin(2+)=sin , 即sin(+)+=sin(+)
16、-, 则sin(+)cos +cos(+)sin =sin(+)cos -cos(+)sin , 有sin(+)cos =5cos(+)sin ,得到tan(+)=5tan ,所以=5. 3 2 3 2 3 2 tan() tan 解题关键解题关键 把sin(2+)=sin 变为sin(+)=sin(+-),恰当变角是解决本题的关键. 3 2 3 2 1.(2020 5 3原创题)已知0,cos(-)=,sin(+)=,则log5tan2-lotan = . 2 2 2 3 1 2 5 g 答案答案 -2 解析解析 log5tan2-lotan =2log5tan -2log5tan =2lo
17、g5. 0,0-0, 所以+,将cos(+)-sin(+)=两边平方并整理得sin(2+2)=,所以2+2=, 即+=,所以+=. 所以原式=tan=tan=. 0, 2 2 2 0, 4 2 2 1 2 6 12 12 tantan 1- 1-tantan tantan 1 1-tantan 1-tan() 1tan() 1-tan 12 1tan 12 - 4 12 6 3 3 命题说明命题说明 本题以三角恒等变换为背景,重点考查同角三角函数的基本关系式、两角和(差)的正 切公式的逆用、二倍角公式的运用等,要求学生有较强的数学运算、逻辑推理的能力. 3.(2020 5 3原创题)已知sin
18、-cos=,则= . 2 2 2 2 1 sincos 1 sin -cos 答案答案 0或-2 2 解析解析 若cos=0,则由sin-cos=得sin=1,所以cos =-1,sin =0,所以=0. 若cos0,则由sin-cos=两边同除以cos并整理得tan-1= =, 解得tan=-. 又因为tan=-, 所以=-2. 2 2 2 2 2 2 1 sincos 1 sin -cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 22 2 2sin2cos 22 cos 2 2 2tan2 2 2 2 4 2 sin 1cos 1-cos sin 1-cossin 1cossi
19、n 2 4 1 sincos 1 sin -cos 2 易错警示易错警示 本题有较强的技巧性,对学生的运算能力要求较高,而且学生最容易遗漏“cos=0” 的情况. 2 4.(2020 5 3原创题)若cos +2sin =-,求tan 的值.(你能想出几种解法呢?) 5 解析解析 解法一:(用同角三角函数基本关系式sin2+cos2=1求解) 由cos +2sin =-得cos =-2sin -, 代入sin2+cos2=1, 得5sin2+4sin +4=0,即(sin +2)2=0, 得sin =-,则cos =-,故tan =2. 解法二:(转化为齐次式) 将cos +2sin =-两边
20、平方得cos2+4sin cos +4sin2=5, 即=5,分子、分母同时除以cos2得=5, 整理得tan2-4tan +4=0,得tan =2. 解法三:(用辅助角公式求解) 由cos +2sin =-得sin(+)=-,其中tan =, 所以sin(+)=-1,则+=2k-,kZ, 所以=2k-,kZ. 55 55 2 5 5 5 5 5 22 22 cos4sincos4sin sincos 2 2 14tan4tan tan1 555 1 2 2 2 所以tan =tan=2.故tan =2. 解法四:(构造方程组求解) 设sin -2cos =t,联立得 两式平方相加得5+t2=
21、5,得t=0, 即sin -2cos =0,得tan =2. 解法五:(数形结合) cos +2sin =-可以看作点M(cos ,sin )在直线x+2y=-上, 而点M又在单位圆x2+y2=1上. 解方程组可得从而tan =2. 2 - 2 k sin - 2 cos - 2 cos sin 1 tan cos2sin- 5, sin -2cos, t 55 22 2- 5, 1, xy xy 5 -, 5 2 5 -, 5 x y y x 命题说明命题说明 本题根源是学生常见的“已知sin +cos =,(0,),求tan 的值”之类的题目,熟悉 背景,用多种方法解决此题,需要具备足够的知识迁移能力,本题给出了五种解法,每一种解法都是 高中阶段常用的思想方法,真正能起到“做一题、学一法、会一类、通一片”的效果,很有必要掌握. 1 5
