1、考点考点1 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 1.(2017课标,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b| 答案答案 A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以ab.故选A. 一题多解一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a b+|b|2=|a|2-2a b+|b|2,即a b=0,故ab.故选A. 2.(2018课标,7,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( ) A.- B.-
2、C.+ D.+ EB 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 答案答案 A 解法一:如图所示, =+=+=(+)+(-)=-.故选A. 解法二:=-=-=-(+)=-.故选A. EBEDDB 1 2 AD 1 2 CB 1 2 1 2 ABAC 1 2 ABAC 3 4 AB 1 4 AC EBABAEAB 1 2 ADAB 1 2 1 2 ABAC 3 4 AB 1 4 AC 规律总结规律总结 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)考查向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则. (2)求已
3、知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相 连向量的和用三角形法则. (3)与三角形联系,求参数的值.求出向量的和或差与已知条件中的式子比较,然后求参数. (4)与平行四边形联系,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转 化到同一个平行四边形或三角形中求解. (2014课标,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( ) A. B. C. D. EBFC AD 1 2 ADBC 1 2 BC 以下为教师用书专用 答案答案 A 设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)= ,故选A
4、. ABACEB 1 2 FC 1 2 EBFC 1 - 2 ba 1 - 2 ab 1 2 AD 知识拓展知识拓展 在ABC中,D为BC边的中点,则=(+).设O为ABC的重心,则+ =0. AD 1 2 ABACOAOB OC 考点考点2 2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 1.(2016课标,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m= . 答案答案 -6 解析解析 因为ab,所以=,解得m=-6. 3 m4 -2 2.(2018课标,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= . 答案答案 1
5、 2 解析解析 由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=. 1 2 3.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方, M为抛物线上一点,=+(-2),则= . OMOAOB 答案答案 3 解析解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由=+(-2)得(x,y)=(1,2)+(-2)(1,-2) =(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3. OMOAOB 1.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-
6、4,-3),则向量=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) ACBC 以下为教师用书专用 答案答案 A 解法一:根据题意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 解法二:设C(x,y),则=(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3),解得x=-4,y=-2, 故=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). ABBCACAB AC BC 2.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1+2+3 +4+|的最小值是 ,最大值是 . ABBC CDD
7、A 56 ACBD 答案答案 0;2 5 解析解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据,以此来 考查学生的数据处理能力,考查数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1), 故|1+2+3+4+5+6| =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| =.(*) 显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的取值 情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1,
8、 则(*)式即为, ABBCCDDAACBD ABBCCDDAACBD 22 13562456 ( - )( -) 22 1324 ( - )( -2) 1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2-4=2 (2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2, 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2, 综上,最小值为0,最大值为2. 5 22 1324 ( -2)( - ) 5 5 解题关键解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为
9、规则的正方 形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求解本 题的突破口. 一题多解一题多解 由正方形ABCD的边长为1,可得 +=,=-,=0, 1+2+3+4+5+6 =(1-3+5-6)+(2-4+5+6). 要使|1+2+3+4+5+6|的值最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需 要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1, 此时=0, |1+2+3+4+5+6 = =(1-3+5-6)2+(2-4+5+6)2(|1|+|3|+|5-6|)2+(|2|+|4|+|5+6|)2 =(2+|
10、5-6|)2+(2+|5+6|)2=8+4(|5-6|+|5+6|)+(5-6)2+(5+6)2 =8+4+2(+) =12+4 =12+4=20, ABADACBDADAB ABAD ABBCCDDAACBD ABAD ABBCCDDAACBD 123456min | AB BC CD DA AC BD ABBCCDDAAC 2 |BD 2 13562456 |( - )( -)| AB AD 2 5656 (| - | |) 2 5 2 6 2222 565656 ( - )()2|-| 2222 5656 2()2|-| 等号成立当且仅当1,-3,5-6均非负或者均非正,并且2,-4,5
11、+6均非负或者均非正. 比如取1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1, 则=2.所以最小值为0,最大值为2. 123456max | AB BC CD DA AC BD205 5 3.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= . 答案答案 -3 解析解析 本题考查向量平行的条件. a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3. 考点考点1 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020江西九江十校4月模拟,6)如图,在等腰直角ABC中,D,E分别为斜边BC的三等
12、分点(D靠近 点B),过E作AD的垂线,垂足为F,则=( ) A.+ B.+ C.+ D.+ AF 3 5 AB 1 5 AC 2 5 AB 1 5 AC 4 15 AB 8 15 AC 8 15 AB 4 15 AC 答案答案 D 设BC=6,则DE=2,AD=AE=,cosDAE=,所以=,所以= . 因为=+=+(-)=+, 所以=+.故选D. 10 10 10-4 2 10 4 5 AF AD AF AE 4 5 AF 4 5 AD ADAB 1 3 BCAB 1 3 ACAB 2 3 AB 1 3 AC AF 4 5 21 33 ABAC 8 15 AB 4 15 AC 方法指导方法
13、指导 本题中向量的线性表示要结合三角形加减法则,同时综合解三角形. 2.(2019陕西西安陕师大附中等八校联考,4)设M为ABC所在平面内一点,且=3,则( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- BCCM AM 1 3 AB 4 3 ACAM 1 3 AB 4 3 AC AM 4 3 AB 1 3 ACAM 4 3 AB 1 3 AC 答案答案 A 因为=3,所以=, 所以=+=+=+(+)=-+.故选A. BCCMCM 1 3 BC AMACCMAC 1 3 BCAC 1 3 BAAC 1 3 AB 4 3 AC 3.(2019云南曲靖一中高三质量监测,5)在ABC中,=,=,且=+
14、,则+= ( ) A.1 B. C.- D. BDDCAPPDBPABAC 1 2 1 2 1 4 答案答案 C =+=+=-+(-)=-+,=-,=,则+=- +=-,故选C. BP 1 2 BA 1 2 BD 1 2 BA 1 4 BC 1 2 AB 1 4 ACAB 3 4 AB 1 4 AC 3 4 1 4 3 4 1 4 1 2 考点考点2 2 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算 1.(2020百校联考考前冲刺卷三,2)已知A(-1,2),B(2,-1),若点C满足+=0,则点C的坐标为( ) A. B.(-3,3) C.(3,-3) D.(-4,5) ACAB 1
15、 1 , 2 2 答案答案 D 设C(x,y),由A(-1,2),B(2,-1),得=(x+1,y-2),=(3,-3).又+=0,=-,即 解得点C的坐标为(-4,5).故选D. ACABACABACAB 1-3, -23, x y -4, 5, x y 2.(2018安徽淮南一模,8)已知G是ABC的重心,过点G作直线MN分别与AB,AC交于点M,N,且= x,=y(x,y0),则3x+y的最小值是( ) A. B.+ C. D. AM ABANAC 8 3 4 3 2 3 3 5 2 7 2 答案答案 B 设BC的中点为D, 则=+=+, M,G,N三点共线,+=1. 又x0,y0, 3
16、x+y=(3x+y)=+2=+,当且仅当=,即x=+时取等号, 3x+y的最小值是+.故选B. AG 2 3 AD 1 3 AB 1 3 AC 1 3x AM 1 3y AN 1 3x 1 3y 11 33xy 4 33 y x x y 4 3 1 3 4 3 2 3 33 y x x y 1 3 3 9 4 3 2 3 3 3.(2020海南天一大联考一模,14)已知向量a=(1,x),b=(2x,4).若ab,则|x|的值为 . 答案答案 2 解析解析 本题考查了向量平行的定义和平行的坐标运算,考查了运算求解能力.考查数学运算的核心 素养. ab,4-2x2=0,解得|x|=. 2 4.(
17、2020山西临汾联考,13)已知向量e1=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+e2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数= . 答案答案 - 3 2 解析解析 本题考查了平面向量的共线定理和坐标运算.考查数学运算的核心素养. 向量e1=(1,1),e2=(0,1),则a=e1+e2=(1,1+), b=-(2e1-3e2)=(-2,1),所以1+2(1+)=0,解得=-. 3 2 5.(2019广西梧州高中2月联考,13)若一个平面内有点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且,则x为 . ABAC 答案答案 1 解析解析 =(3,6),=(x,2), 因为,所以6x-6=0,所
18、以x=1. ABAC ABAC 一、选择题(每小题5分,共30分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：40分钟 分值：45分) 1.(2020安徽合肥二模,5)在平行四边形ABCD中,若=,AE交BD于F点,则=( ) A.+ B.- C.- D.+ DEECAF 2 3 AB 1 3 AD 2 3 AB 1 3 AD 1 3 AB 2 3 AD 1 3 AB 2 3 AD 答案答案 D 如图,=,E为CD的中点, 设=+=+-=+,又B,F,D三点共线,+=1, 解得=,=+.故选D. DEEC AFAEABBC 1 2 CDABAD 1 2 AB 2 ABAD 2 2 3 AF
19、 1 3 AB 2 3 AD 2.(2020河南南阳3月模拟,5)已知向量a=(m,1),b=(3,m-2),则m=3是ab的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案答案 A 向量a=(m,1),b=(3,m-2),若ab,则3=m(m-2),即m2-2m-3=0,解得m=3或m=-1,因为m=3是m= 3或m=-1的充分不必要条件,所以m=3是ab的充分不必要条件.故选A. 3.(2020山西大同云冈一模,3)已知向量=(1,4),=(m,-1),若,则实数m的值为( ) A. B.-4 C.4 D.- ABBCABAC 1 4 1 4 答
20、案答案 D 向量=(1,4),=(m,-1),所以=+=(1+m,3), 又,所以13-4(1+m)=0,解得m=-.故选D. ABBCACABBC ABAC 1 4 4.(2020安徽淮北一模,11)已知正方形ABCD的边长为2,动点P满足|1,且=x+y,则2x+ y的最大值为( ) A.-2 B.+2 C. D. PBAPABAD 5 2 5 2 7 2 5 2 答案答案 B 如图建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),设P(m,n). 因为=x+y,所以(m,n)=(2x,0)+(0,2y),即(m,n)=(2x,2y),所以m=2x,n=2y.因为=(2-m,
21、-n), 且动点P满足|1,所以1, 即1,所以(x-1)2+y2, 设z=2x+y,当该直线与圆(x-1)2+y2=上半部分相切时会取得z的最大值, 所以=,所以z=2,所以zmax=2+,即2x+y的最大值为2+,故选B. APABADPB PB 22 (2- )(- )mn 22 (2-2 )(-2 )xy 1 4 1 4 2 |2 10- | 21 z 1 2 5 2 5 2 5 2 5.(2018吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联考)已知向量a=,b=(cos ,1), ,且ab,则sin=( ) A.- B. C. D.- 1 ,tan 3 , 2 - 2 1 3 1 3 2
22、2 3 2 2 3 答案答案 C 向量a=,b=(cos ,1),且ab,则=tan cos =sin ,因为,所以cos =- ,所以sin=-cos =.故选C. 1 ,tan 3 1 3 , 2 2 2 3 - 2 2 2 3 6.(2019陕西第一次模拟联考,5)如图,在OACB中,E,F分别为AC和BC的中点,若=m+n, 其中m,nR,则m+n的值为( ) A.1 B. C. D.2 OCOEOF 3 2 4 3 答案答案 C 由题意得=+=+, =+=+, 联立得=-,=-, 所以=+=-+-=+,所以m=n=,所以m+n=,故选C. OFOBBFOB 1 2 OA OEOAAE
23、OA 1 2 OB OA 4 3 OE 2 3 OFOB 4 3 OF 2 3 OE OCOAOB 4 3 OE 2 3 OF 4 3 OF 2 3 OE 2 3 OE 2 3 OF 2 3 4 3 二、填空题(每小题5分,共15分) 7.(2020百校联盟TOP20 3月联考,13)已知非零向量a=(2x,y),b=(1,-2),且ab,则= . x y 答案答案 - 1 4 解析解析 因为a=(2x,y),b=(1,-2),且ab, 所以2x (-2)-y 1=0,所以=-. x y 1 4 8.(2020安徽江南十校4月联考,15)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4
24、),若点C在AOB的 平分线上,且|=3,则向量的坐标为 . OC10OC 答案答案 (-3,9) 解析解析 本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算,考查数学运算的核心素养,考查转化与化归的 数学思想. 因为点C在AOB的平分线上,所以存在(0,+),使得=(0,1)+-,= .又|=3,所以+=(3)2,解得=5,所以向量=(-3,9). OC | OAOB OAOB 3 5 4 5 39 -, 55 OC10 2 3 - 5 2 9 5 10OC 方法指导方法指导 把点C在AOB的平分线上转化为存在(0,+),使=,再由|求出 的值即可. OC | OAOB OAOB OC 9.(2020
25、吉林桦甸四中、磐石一中、蛟河实验中学等4月联考,15)在ABC中,=3,P为线段 AM上任意一点,若=x+y,则x2+2x+y2的最小值为 . CMMB CPCACB 答案答案 9 16 解析解析 因为=3,P为线段AM上任意一点,则=x+y=x+,A,P,M三点共线, x+=1,即3x+4y-3=0. x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1,而(x+1)2+y2表示点(-1,0)与点(x,y)距离的平方.点(-1,0)到线段3x+4y-3=0 上的点的距离的最小值为点(-1,0)与点的距离, 所以x2+2x+y2=(x+1)2+y2-1(0+1)2+-1=. CMMBCPCACBCA 4
26、3 y CM 4 3 y3 01,0 4 xy 3 01,0 4 xy 3 0, 4 2 3 -0 4 9 16 易错警示易错警示 先根据条件得到3x+4y-3=00 x1,0y,再结合(x+1)2+y2的几何意义求解.但 要注意几何意义是两点间距离的平方,而不是两点间距离. 3 4 1.(2020 5 3原创题)在正六边形ABCDEF中,对角线BD,CF相交于点P.若=x+y,则x+y= ( ) A.2 B. C.3 D. APABAF 5 2 7 2 答案答案 B 如图,记正六边形ABCDEF的中心为点O,连接OB,OD,易证四边形OBCD为菱形,且P恰 为其中心, 于是=, 因此=+=+
27、, 因为=x+y, 所以x=,y=1,故x+y=. FP 3 2 FO 3 2 AB APAFFP 3 2 ABAF APABAF 3 2 5 2 名师点睛名师点睛 平面向量的运算是平面向量的“核心”,是高频考点.平面向量运算有两大类,即代数 运算和几何运算,因此我们在解决此类问题的时候应该综合考虑题目条件,选择适当的方向,本题 这两个方向都可行,不妨试一试. 2.(多选题)(2020 5 3原创题)下列命题正确的是( ) A.-+-=0 B.在ABC中,若O点满足+=0,则O点是ABC的重心 C.若a=(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1) D.在ABC中,若=,则P
28、点的轨迹经过ABC的内心 ABACBDCD OAOBOC CP | CACB CACB 答案答案 ABD 对于A,-+-=+=0,故A正确; 对于B,设BC的中点为D,当+=0时,能得到=-(+),所以=-2,所以O是 ABC的重心,故B正确; 对于C,向量由向量的方向和模确定,向右平移不改变这两个量,故C错误; 对于D,根据向量加法的几何意义知,以,为邻边所得到的平行四边形是菱形,点P在该菱形 的对角线上,由菱形的对角线平分一对对角,得P点在ACB的平分线所在直线上,故D正确. ABACBDCDCBBC OAOBOCOAOBOCOAOD | CA CA| CB CB 命题说明命题说明 本题从
29、多角度考查向量的概念和运算,信息量大,多选或少选都算错,看似简单,但错误 率较高. 3.(2020 5 3原创题)在ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,点O是线段MN上异于端点的一点,且满 足+3+4=0(0),则= . OAOBOC 答案答案 7 解析解析 解法一:由已知得=-, 由M,O,N三点共线,知tR,使=t, 故2=2t,故+=t(+), 整理得=+, 对比两式的系数,得解得 解法二:因为M是AB的中点,所以=(+), 于是=2-,同理=2-, 将两式代入+3+4=0, 整理得(-7)+6+8=0, 因M,O,N三点共线,故pR,使得=p, 于是(-7)+(6p+8)=0, 显然,不共线,故-7=6p+8=0,故=7. OA 3 OB 4 OC OMON OMONOAOBOAOC OA 1 -1t OB 1- t t OC 31 -, -1 4 -, 1- t t t 4 -, 3 7. t OM 1 2 OAOB OBOMOAOCONOA OAOBOC OAOMON OMON OAON OAON
