1、鼓楼区鼓楼区 2020-2021 学年度第一学期学年度第一学期期中期中 高一数学高一数学 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分，共，共 40 分分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合1,2,3,4 ,2,4,6AB，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. 2,4 B. 2,6 C. 2,4,6 D. 1,2,3,4 2. 命题“ 2 ,10 xx R”的否定为（ ） A. 2 ,10 xx R B. 不存在 2 ,10 xx R C. 2 ,10 xx R D. 2 ,10 xx R 3. 若集
2、合|290Axxx，|5Bx x，则AB （ ） A. 2,5 B. 2,9 C. ,9 D. 2, 4. 下面各组函数中表示同一个函数的是（ ） A. 2 ,f xx g xx B. 2 ,f xx g xx C. 2 1, 1 1 x f xg xx x D. 10 , 10 xx f xg x xx 5. 已知lg2,lg3mn，用,m n表示lg15（ ） A. 1mn B. 1mn C. 1mn D. 1mn 6. 平流层是指地球表面以上10km50km的区域，则在下述不等式中，最适合表示平流层高度的是 （ ） A. 1050 x B. 1050 x C. 1020 x D. 302
3、0 x 7. 已知函数 2 f xaxbxc，不等式 0f x 的解集为|31x xx 或，则fx的图象可以是 （ ） x y O123123 1 2 1 2 x y O123123 1 2 1 2 x y O123123 1 2 1 2 x y O123123 1 2 1 2 A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数 f x是奇函数，且 f x在,0上是减函数， 30f，则不等式 120 xf x的解集是（ ） A. , 52, B. , 21, C. , 51, D. 5, 21, BA 二二、多项选择题： （多项选择题： （本大题共本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分
4、，共，共 20 分分在在每小题给出的选项中，有每小题给出的选项中，有多项多项符合题目要符合题目要 求，全部选对得求，全部选对得 5 分分，选对但不全的得，选对但不全的得 3 分分，有选错的得，有选错的得 0 分）分） 9. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 若xy，则 22 xy B. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C. 若ABA，则BA D. 2 2 1 ,1 1 xx x R 10. 下列各图中，可能是函数图象的是（ ） x O y O x y Ox y O y x A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子
5、”的称号，用其名字命名的“高斯 函数”如下：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数例如2.13 ， 3.13，已知函数 2 1 x f x x ，若函数 yf x 的值域集合为Q，则下列集合是Q的子集的是 （ ） A. 0, B. 0,2 C. 1,2 D. 1,2,3 12. 已知函数 f x满足：x R，31f xfx，且 12 ,2,x x， 12 12 0 f xf x xx 12 xx， 则（ ） A. 03ff B. x R， 2f xf C. 2 5 1 4 faaf D. 若 3f mf，则13m 三三、填空、填空题题：本大题：本大题共共 4 小题小题，每，
6、每小小题题 5 分分，共共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 函数 2 4yx的定义域是 14. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之 急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数知道十八世纪才由瑞士数学家欧 拉发现了指数与对数的呼你关系，即log b a aNbN已知 4 log 8a ， 2 log 4b ，则 4a ；ab 15. 设函数 2 ,0 ,0 xxx f x xx ，则2ff 16. 当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”
7、，当两个集合有公共元 素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食” 对于集合 1 1 1,1 2 2 A ， 2 |10,0Bx axa ，若A与B构成“全食” ，或构成“偏食” ，则a的取值集合为 三、解答三、解答题题：本大题：本大题共共 6 小题小题，共，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分 10 分） 计算 0.5 1 2 7 22log2 9 的值； 已知lg2,103 n m，计算 32 2 10 mn 的值 18. （本小题满分 12 分） 已知 22 43f xxaxa，其中a为实数 当2a 时，判断命题:px R
8、， 0f x 的真假，并说明理由； 若1,2x ， 0f x ，求a的取值范围 19. （本小题满分 12 分） 中华人民共和国第十四届运动会将于 2021 年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年 8 月 2 日晚在西安市对外发布某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润 全部用于社区体育设施建设据市场调查，当每套纪念品（一个会徽和一个吉祥物）售价定为x元 时，销售量可达到150.1x万套为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分 为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 50 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万 套）成反比，比例系数为
9、 10约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格 每套会徽及吉祥物售价为 100 元时，能获得的总利润是多少万元？ 每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 20. （本小题满分 12 分） 已知 4 3f xxa时，当实数a为何值时， f x是偶函数？ 已知 g x是偶函数，且 g x在0,是增函数，如果当1,2x时6g xag x恒成立 ， 求实数a的取值范围 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 f xxax，其中a为实数 当2a 时，画出函数 f x的图像，并直接写出递增区间； 若 f x在1,3x时的取值范围为 0,3f ，求a的取值范
10、围 x y O12123 1 1 2 22. （本小题满分 12 分） 已知Ra， 1 f xa x 若关于x的方程 21f xa x的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围； 若 1 ,1 2 t ，函数 f x在区间,1t t 上最大值不超过最小值的2倍，求a的取值范围 1. 【答案】A； 【解析】图中阴影部分表示的集合为2,4AB ，故选 A 2. 【答案】D； 【解析】命题“ 2 ,10 xx R”的否定为 2 ,10 xx R， 故选 D 3. 【答案】C； 【解析】2,9A，所以,9AB ，故选 C 4. 【答案】B； 【解析】ACD 三个选项中函数的定义域不同，B 中为同一个函数，
11、故选 B 5. 【答案】B； 【解析】lg15lg3lg5lg31 lg21mn ，故选 B 6. 【答案】D； 【解析】A 选项解集为60,40，B 选项解集为40,60，C 选项解集为30,10，均不符合； D 选项解集为10,50， 故选 D 7. 【答案】B； 【解析】fx与 f x的图象关于y轴轴对称， f x开口向下且与x轴交点横坐标为3,1， 所以fx开口向下且与x轴交点横坐标为3, 1 故选 B 8. 【答案】A； 【解析】根据单调性、奇偶性画出函数草图，可知, 30,3x 时 0f x ，3,03,x 时 0f x ，0, 3x 时 0f x ； 120 xf x等价于 1
12、20 x f x 或 1 20 x f x 或1x ， 即 1 23,03, x x 或 1 2, 30,3 x x 或1x ， 解得x的范围是 , 52, 9. 【答案】CD； 【解析】A 选项，0,1xy 时不成立，为假命题； B 选项，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，为假命题； C 选项，若ABA，则BA，为真命题； D 选项，设 22 22 11 1121 1 11 xx xx ，当且仅当 2 1 1x ，即0 x 时取等，为真命 题； 故选 CD 10. 【答案】ACD； 【解析】B 选项，0 x 时有两个y值与之对应，不为函数，B 错误； 故选 ACD 11
13、. 【答案】BCD； 【解析】0 x 时， 2 11 112 111 x f xxx xxx ， 值域为0,，因为 f x为偶函数，所以 f x值域为0,，所以Q N， 故选 BCD 12. 【答案】BC； 【解析】由x R，31f xfx， 31 2 2 xx ，可得 f x图象关于2x 对称， 由 12 ,2,x x， 12 12 0 f xf x xx 可得 f x在2,单调递减， 结合单调性、对称性画出草图，可知距2x 越近函数值越大， 则显然 A 不正确，B 正确， C 选项， 22 35 1212 44 aaaa ，C 正确； D 选项， 3f mf时，m距2x 更远，则3m 或1
14、m，D 错误； 故选 BC 13. 【答案】2,2； 【解析】函数 2 4yx的定义域是不等式40 x的解集2,2， 故答案为2,2 14. 【答案】8； 7 2 ； 【解析】因为 4 log 8a ，所以48 a ， 3 ,2 2 ab，所以 7 2 ab 15. 【答案】2； 【解析】 222fff 16. 【答案】0, 1, 4 ； 【解析】B 时0a ，符合条件； B 即0a 时， 11 ,B aa ，此时应构成“全食” 1 1 a 或 1 2 ； 所以1a 或4； 综上，a的取值集合为0, 1, 4 17. 【答案】 2 3 ； 2 2 3 【解析】 原式 1 2 1 2 2552
15、log 21 933 ； 102 m ，原式 1 13 2 2 2 10 82 2 93 10 m n 18. 【答案】 真命题； 2 ,1 3 【解析】 2a 时， 2 812f xxx，则 20f，则命题:px R， 0f x 为真命题； 二次函数 f x关于2xa对称，在,2a上是减函数，2 , a 上是增函数， 则 3 2 2 a时， f x的最大值为 1f， 3 2 2 a时， f x的最大值为 2f， 则1,2x ， 0f x ，只需 10f且 20f， 即 2 3410aa 且 2 3840aa， 解得 1 1 3 a且 2 2 3 a，即 2 1 3 a， a的取值范围是 2
16、,1 3 19. 【答案】 总利润为 240 万元； 每套会徽及吉祥物售价为 140 元时，单套利润最大，最大值 80 元 【解析】 每套会徽及吉祥物售价为 100 元时，销售量为150.1 1005（万套） ， 供货单价为 10 5052 5 （元） ， 总利润为510052240（万元） 答：总利润为 240 万元； 销售量为150.1x，供货单价为 10 50 150.1x ， 单套利润为 10100 5050 150.1150 xx xx ，因为150.10 x，所以0150 x 所以单套利润为 100100100 50150100100215080 150150150 yxxx xx
17、x 当且仅当15010 x，即140 x 时取等 所以每套会徽及吉祥物售价为 140 元时，单套的利润最大，最大值是 80 元 20. 【答案】 0a ； 2a ，5b ； 62a 【解析】 当0a 时， 4 3f xx是偶函数， 当0a 时，aa ，而 4 20f afaa，此时 f x不可能是偶函数， 所以当0a ； 由 g x是偶函数知g xag xa，66g xg x，且,60 xax， 由 g x在0,是增函数，及6g xag x知 当1,2x时，6xax恒成立， 即当1,2x时，6xax恒成立， 即当1,2x时，66xxax恒成立， 即当1,2x时，662ax 恒成立， 所以62a
18、 21. 【答案】 图像见解析，递增区间为0,1和2,；166 2a ； 【解析】 当2a 时 2 2 2 ,02 2 , 02 xx xx f x xxx 或 ； 解方程 0f x ，得0 x 或xa， 结合条件知1,3a， 当1a 时，符合题意， 当3a 时，不符合题意， 当12a时， 2 2 ,1 ,3 xaxxa f x xax ax ， f x在1,a上单调递减，,3a上单调递增，只需 31ff，解得 5 2 a ， 所以12a， 当23a时， 2 2 ,1 ,3 xaxxa f x xax ax ， f x在1, 2 a 单调递增，在, 2 a a 上单调递减，,3a上单调递增，
19、显然 10ff a，所以只需 3 2 a ff ，解得66 266 2a ， 所以266 2a ， 综上所述，166 2a 22. 【答案】 2,3a； 2 3 a 【解析】 方程 21f xa x，即方程 1 21aa x x ，其中0 x ， 整理得到 2 2110a xa x ， 显然0 x 不是方程的根， 所以方程 2 2110a xa x 在R上只有一解， 当20a即2a 时，符合题意； 当20a即2a 时， 2 14 20aa ，解得3a ，所以2,3a； x y O12123 1 1 2 函数 f x在0,上单调递减， 而 1 ,1 2 t ，,10,t t ， 所以函数 f x
20、在,1t t 上单调递减， 所以在,1t t 上， f x的最大值为 1 f ta t ，最小值为 1 1 1 f ta t ， 由题意得， 1 ,1 2 t ，1 1 2 1 aa tt 恒成立， 即 1 ,1 2 t ， 12 0 1 g ta tt 恒成立，下面来说明 g t的单调性， 12 1 ,1 2 t t ，且 12 tt，则 12 1122 1212 11 g tg taa tttt 1212 1122 11tttt 21211 212 21 1 2121 212 21 1111 ttttt ttttt t tttt ttt ， 因为 12 1 1 2 tt， 所以 1 212 110t ttt， 21 0tt， 1 21212 1110t ttttt ， 所以 12 0g tg t，即 g t在 1 ,1 2 上单调递减， 所以只需 g t的最大值即 14 20 23 ga ，解得 2 3 a
