1、盐城市2021届高三年级第一学期期中考试 数学试题 一、 单选题： 本大题共一、 单选题： 本大题共 8小题， 每小题小题， 每小题 5分， 共分， 共40分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1.命题 “ x (0,1),x2 x 0” 的否定是( ) A. x(0,1),x2-x0 B. x(0,1),x2-x0 C. x(0,1),x2-x-2 ， 则AB=( ) A. B.1,4) C.(1,4) D.(4,+) 【答案】【答案】 C. A=1,+,+ ,B=0, ,4 A B=(=(1, ,4)
2、) 3.已知向量a ,b 满足|a |=|b|， 且a,b 的夹角为 3 ， 则b 与a -b 的夹角为( ) A. 3 B. 2 C. 3 4 D. 2 3 【答案】【答案】 D. 4. 在 九章算术 中有一个古典名题“两鼠穿墙问题:今有垣厚若千尺， 两鼠对穿,大鼠日一 尺， 小鼠也日一尺， 大鼠日自倍,小鼠日自半,大意是有两只老鼠从墙的两选分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺， 以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,若垣厚 33 尺, 则两鼠几日可相逢( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】【答案】 B. an=2n- -1, ,Sn=2n- -1 bn= 1 2 n-
3、-1, ,T n= =2- - 1 2 n- -1 Pn=Sn+ +Tn=2n- - 1 2 n- -1 + +1P5=33- 1 16 33 5.函数f(x)= x x-sinx (x-,)的图像大致是( ) 1 A B C D 【答案】答案】 B. f(-(-x)= - )= -x - -x- -sin(-(-x) = ) = x x- -sinx =f( (x) ) x x- -sinx =1+ sinx x- -sinx x+,+,1+ sinx x- -sinx 1 6.要测定古物的年代， 可以用发射性碳法： 在动植物的体内都含有微量的发射性 14C， 动植物 死亡后， 停止新陈代谢
4、， 14C不再产生， 且原有的14C会自动衰变.经科学测定，14C的半衰期 为5730年(设 14C的原始量为1， 经过x年后，14C的含量f(x)=ax即f(5730)= 1 2 )， 现有一古 物， 测得其 14C 的原始量的 79.37%， 则该古物距今约多少年？( )(参考数据： 3 1 2 0.7937, 5730 1 2 0.9998) A.1910 B.3581 C.9168 D.17190 【答案】【答案】 A. a5730= 1 2 , ,a5730 1 3= =0.7937 ax=0.7937x=1910 7.已知数列an满足a1=1,a2=4,a3=10， 且an+1-a
5、n是等比数列， 则 8 i=1 ai ( ) A.376 B.382 C.749 D.766 【答案】【答案】 C. a3- -a2= =2( (a2- -a1) ),an+ +1- -an=3 2n- -1 an=3 2n- -1- -2 Sn=3 2n- -3- -2n, ,S8=749 2 8.设x,y(0,)， 若sin(sinx)=cos(cosy)， 则cos(sinx)与sin(cosy)的大小关系为( ) A.= B. C. D.以上均不对 【答案】【答案】 D. 由题意知由题意知 0 sinx 1, -, - 1 cosy sin( (cosy)=)=sin(-(- 1 2
6、) ) 二、 多选题： 本题共二、 多选题： 本题共4小题， 每小题小题， 每小题5分， 共分， 共20分， 在每小题给出的选项中， 有多项符合要求， 全部选对的得 分， 在每小题给出的选项中， 有多项符合要求， 全部选对的得5分， 部分选对的得分， 部分选对的得3分， 有选错的得分， 有选错的得0分分) 9.设函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(aR)， 若fg(1)=5， 则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】【答案】 BD. f g( (1)=)=5| |a- -1| |=5a- -1=1a=2, ,0 10.函数f(x)= 1 2 ax2-(a+2)x+2ln
7、x单调递增的必要不充分条件有( ) A.a2 B.a=2 C.a1 D.a2 【答案】【答案】 AC. f( (x)=)=ax-(-(a+ +2)+)+ 2 x = ( = (ax- -2)()(x- -1) ) x a=2 11.在ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c， 若a2=b2+bc， 则角A可为( ) A. 3 4 B. 4 C. 7 12 D. 2 3 【答案】【答案】 BC. a2=b2+ +bc=b2+ +c2- -2bccosAcosA= c 2b - 1 2 - 1 2 A 2 3 3 12.设数列xn， 若存在常数a， 对任意正数r， 总存在正整数N， 当nN，
8、 有|xn-a|r， 则 数列xn为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( ) A.等差数列不可能是收敛数列 B.若等比数列xn是收敛数列， 则公比q(-1,1 C.若数列xn满足xn=sin( 2 n)cos( 2 n)， 则xn是收敛数列 D.设公差不为0的等差数列xn的前项和为Sn(Sn0)， 则数列 1 Sn 一定是收敛数列 【答案】【答案】 BCD. 对于对于A， 令， 令xn=1,则存在则存在a=1,使|使|xn- -a|=|=0|1， 则对任意正数， 则对任意正数r， 当， 当nlog| |q| |( r+ +1 | |x1| )+ | )+1时， |时， |xn|r+ + 1，
9、所以此时不存在正整数， 所以此时不存在正整数N使得定义式成立使得定义式成立; 若若q=1， 显然符合， 若， 显然符合， 若q=-=-1为摆动数列为摆动数列xn=(-=(-1) )n- -1x1， 只有， 只有x1两个值， 不会收敛于一个 值， 所以舍去； 两个值， 不会收敛于一个 值， 所以舍去； q ( - ( -1, ,1) 时， 取) 时， 取 a = 0， N = log| |q| | r | |x1| + | +1 + + 1， 当， 当 n N 时， |时， |xn- - 0| = | | = |x1| |q| |n- -1|0时，时， Sn单调递增并且可以取到比 单调递增并且可
10、以取到比 1 r 更大的正数， 当更大的正数， 当 n d 2 - -x1+ + x1- d 2 2 + 2d r d = N 时，时， 1 Sn - -0 = 1 Sn r， d 0时， 取时， 取Sn= d 2 n2+ + a1- d 2 n=n d 2 n+ +a1- d 2 d 2 n+ +a1- d 2 ， 为使得， 为使得 Sn 1 r ， 所以只需要， 所以只需要 d 2 n+ +a1- d 2 1 r n 1 r - -a1+ d 2 d 2 = 2- -2ra1+ +dr dr =N 三、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分， 共20分， 请将答案填在题中横线上. 13.
11、若sin - 4 = 2 3 ， 则sin2=_. 【解析】【解析】 sin2=sin 2 - 4 + 2 =cos 2 - 4 =1- -2sin2 - 4 = 1 9 . 4 14.在ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c， AD为边BC上的中线， 若b=4c=4且 AB AD= AB2， 则cosA=_； 中线AD的长为_. 【解析】 【解析】 AD= 1 2 AB+ + AC ， 则 ， 则 AB AD= = AB2 1 2 AB AB+ + AC = = AB2 AB AC= = AB2B= 2 ， ， AB AD= = AB2， 由投影可易知， 由投影可易知DBAB， 即，
12、 即B= 2 . b=4, ,c=1， 则， 则a=15， cosA= 1 4 ， AD= c2+ + a 2 2 = = 19 2 . 15.若an是单调递增的等差数列， 且aan=4an， 则数列an的前10项和为_. 【解 析 】设【解 析 】设 a n = kn + + bk0，a an= = 4 an kkn+ +b+ + b = 4kn+ +b， 则， 则 k2=4k kb+ +b=4b k= =4 b=0 ， 则， 则an=4n， 则， 则S10= 4+ +40 10 2 =220. 16.若函数fx = 1 2 x2+blnx+ax在1,2 上存在两个极值点， 则b3a+b+9
13、 的取值范围 是_. 【解析】【解析】 f x =x+ b x + +a= x2+ +ax+ +b x ， 则， 则gx =x2+ +ax+ +b在在1, ,2 上有两个不同的零 点 上有两个不同的零 点x1, ,x2， 则， 则 x1+ +x2=-=-a x1x2=b ， 则， 则 b 2 + + 3ab + + 9b =x1x2 2 - - 3x1x2x1+ +x2+ + 9x1x2= x2 1- -3x1 x2 2- -3x2 ， x1 1, ,2 ， x2 1- - 3x1 - 9 4 ,-,-2 ， 同理， 同理 x2 2- - 3x2 - 9 4 ,-,-2 ， 由于， 由于 x1
14、 x2，x2 1- -3x1 x2 2- -3x2 4, 81 16 . 17.设函数fx =cos2x+msinx,x0, . (1)若函数fx 在x= 2 处的切线方程为y=1， 求m的值； (2)若x0, ， fx 0恒成立， 求m的取值范围. 解： (解： (1)由题意知：)由题意知： f( 2 )=-)=-1+ +m=1， 得：， 得： m=2； ( ； (2)x(0, ,)，)， f( (x)=-)=-2sin2x+ +msinx+ +10m2sinx- 1 sinx 令令g( (x)=)=2sinx- 1 sinx ， x(0, ,)， 则)， 则mg( (x) )max 5 g
15、( (x)=)=2cosx+ cosx sin2x =(=( 1 sin2x + +2) )cosx x(0, 2 )时，)时， g( (x)0， g( (x)递增；)递增； x( 2 , ,)时，)时， g( (x)1 18. 设f(x)=sin(x+)， 其中为正整数， 2 .当=0时， 函数f(x)在 5 , 5 单 调递增且在 3 , 3 不单调. (1)求正整数的值; (2)在函数 f(x) 向右平移 12 个单位得到奇函数； 函数 f(x) 在 0, 3 上的最小值为 1 2 ； 函数f(x)的一条对称轴为x= 12 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中， 并 完成解答.已知函数
16、f(x)满足 ,在锐角ABC中， 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若ab, f(A)=f(B).试问:这样的锐角ABC是否存在， 若存在， 求角C； 若不存在， 请说明 理由. 注:如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分. 解： (解： (1) )=0时，时， f( (x)=)=sinwx， w N* 由题意知： * 由题意知： 2w 5 , 3 ) 3 2 w 5 2 又又w N*， 故*， 故w=2； ( ； (2)选；)选； f( (x)=)=sin( (2x+ +)关于)关于x=-=- 12 对称 则- 对称 则- 6 + += 2 + +k= 2 3 + +k， k Z
17、又又 2 ， 故， 故=-=- 3 ， f( (x)=)=sin( (2x- 3 ) ) f( (A)=)=f( (B)， 即)， 即sin( (2A- 3 )=)=sin( (2B- 3 ) ) 2A- 3 =2B- 3 + +2k或或2A- 3 + +2B- 3 =+ +2k， k Z 即：即： A=B+ +k或或A+ +B= 5 6 + +k， k Z 又又A， B为为ABC内角， 且内角， 且ab， 故， 故A+ +B= 5 6 因此， 这样的因此， 这样的ABC存在， 且存在， 且C= 6 6 19.设函数f(x)=(ax)ex. （1） 求函数的单调区间; （2） 若对于任意的x0
18、,+ ， 不等式f(x)x+2恒成立， 求a的取值范围. 解： (解： (1) )f( (x)=()=(a- -1- -x) )ex x)0； xa- -1时，时， f( (x)0 故故f( (x)递增区间为(-,)递增区间为(-,a- -1)， 递减区间为()， 递减区间为(a- -1,+)； ( ,+)； (2)x0， 不等式(， 不等式(a- -x) )exx+ +2恒成立 即 恒成立 即x0， ax+ + x+ +2 ex ， 令， 令g( (x)=)=x+ + x+ +2 ex ， x0， 则， 则ag( (x) )min g( (x)=)= ex- -x- -1 ex ， 令， 令
19、h( (x)=)=ex- -x- -1， x0， h( (x)=)=ex- -10 故故h( (x)在)在0,+)递增， 则,+)递增， 则h( (x)h( (0)=)=0， 即， 即g( (x)0 因此因此g( (x)在)在0,+)递增， 所以，,+)递增， 所以， g( (x) )min= =g( (0)=)=2 所以，所以， a2 20.在ABC中， D为边BC上一点， DC=2,BAD= 6 . （1） 若 AD= 2 5 AB+ 3 5 AC,且角B= 6 ,求AC的长. （2） 若BD= 3,且角C= 3 ,求角B的大小. 解： (解： (1)因为 )因为 AD= 2 5 AB+
20、3 5 AC， 则 ， 则 CD= = AD- - AC= 2 5 ( ( AB- - AC)=)= 2 5 CB 又又CD=2， 则， 则CB=5， BD=3， 又， 又BAD=B= 6 ， 故， 故AD=BD=3， 且， 且ADC= 3 在在ACD中， 由余弦定理：中， 由余弦定理： AC2=AD2+ +CD2- -2AD CDcos ADC=7， 故， 故AC= = 7； ( ； (2)设)设B=(0, 2 )， 则)， 则ADC=+ 6 ， ， CAD= 2 - - 在在ABD中， 由正弦定理： 中， 由正弦定理： AD sin = BD sin BAD =2 3 在在ACD中， 由正
21、弦定理： 中， 由正弦定理： AD sinC = CD sin CAD ， 即， 即 2AD 3 = 2 sin( 2 - -) = ) = 2 cos 由上述两式得： 由上述两式得： 3 2sin = = 3cossin2=1 又又2(0, ,)， 故)， 故2= 2 ， 即， 即= 4 ， 即， 即B= 4 7 21.设等差数列an的前n项和为Sn,已知S3=2a3,S4=2a4+4 （1） 求数列an的通项公式； （2） 令bn= an+2 2nSn ， 设数列bn的前n项和为Tn， 求证： Tn2. 解： (解： (1)设)设an的公差为的公差为d， 由题意知：， 由题意知： 3a1+
22、 +3d=2a1+ +4d 4a1+ +6d=2a1+ +6d+ +4 a1=2 d=2 故故an= =a1+(+(n- -1) )d=2n； ( ； (2)由()由(1)知：)知： Sn= n( (a1+ +an) ) 2 =n2+ +n， 则， 则bn= 2( (n+ +2) ) n( (n+ +1)2n = 1 n 2n- -2 - 1 ( (n+ +1)2n- -1 故故Tn= = 1 1 2- -1 - 1 2 20 + 1 2 20 - 1 3 21 + 1 n 2n- -2 - 1 ( (n+ +1)2n- -1 =2- 1 ( (n+ +1)2n- -1 0,求实数a的取值范围
23、； (2)求证： 存在正实数a， 使得xf(x)0总成立. 8 解： (解： (1)x(-(- 2 , 2 )，)， f( (x)=)=ex- -acosx0 即即x(-(- 2 , 2 )，)， aa g( (x)=)= ex( (cosx+ +sinx) ) cos2x x(-(- 2 ,-,- 4 )时，)时， g( (x)0 故故g( (x)在(-)在(- 2 ,-,- 4 )递减， (-)递减， (- 4 , 2 )递增 因此， )递增 因此， g( (x) )min=g(-(- 4 )= )= 2e- - 4 a 所以，所以， a(-, (-, 2e- - 4)； ( )； (2)
24、取)取a= 1 2 2e- - 4， 则 ， 则f( (x)=)=ex- 1 2 sinx- -1 令令h( (x)=)=x- -sinx， h( (x)=)=1- -cosx0， 则， 则h( (x)在)在R上递增 又 上递增 又h( (0)=)=0， 故， 故x0时，时， h( (x)0， 即， 即x0时，时， h( (x)0， 即， 即xsinx x0时，时， f( (x)ex- 1 2 x- -1， 令， 令F( (x)=)=ex- 1 2 x- -1， x0， F( (x)=)=ex- 1 2 0 故故F( (x)在)在0,+)递增， 因此,+)递增， 因此F( (x)F( (0)=)=0 所以，所以， x0时，时， f( (x)0， 即， 即xf( (x)0； ； x- 2 时，时， f( (x)e- - 2+ + 1 2 - -1)0； ； x- 2 , ,0时， 由(时， 由(1)知：)知： f( (x)0， 则， 则f( (x)在-)在- 2 , ,0递增 因此 递增 因此f( (x)f( (0)=)=0， 即， 即xf( (x)0； 因此， ； 因此， a= 1 2 时，时， xf( (x)0总成立， 即题意得证总成立， 即题意得证 9
