1、函数导数不等式的证明（二）先放缩，再证明函数导数不等式的证明（二）先放缩，再证明 成都市实验外国语学校 ? 泰勒展开式（也称泰勒公式）最早以泰勒级数的形式出现在泰勒 （Taylor,1685-1731,英）在 1715 年出版的著作增量及其逆中，泰勒没 有给予证明. 现在的形式及其严格的证明是由柯西在十九世纪初才给出. 泰勒 公式的特殊情形即 成都市实验外国语学校 ? 泰勒展开式（也称泰勒公式）最早以泰勒级数的形式出现在泰勒 （Taylor,1685-1731,英）在 1715 年出版的著作增量及其逆中，泰勒没 有给予证明. 现在的形式及其严格的证明是由柯西在十九世纪初才给出. 泰勒 公式的特
2、殊情形即x0 0时的泰勒公式称为马克劳林（Maclaurin,1698-1746， 英）公式. 时的泰勒公式称为马克劳林（Maclaurin,1698-1746， 英）公式. 一、 泰勒展开式一、 泰勒展开式 二常见不等式的放缩二常见不等式的放缩 （一）（一）. .切线放缩是核心切线放缩是核心，如图：，如图： 欢迎加入高考交流扣扣群： 651329389 数学交流微信：数学交流微信：13551894228 （二）（二）. .切线不等式的变形，演变的不等式切线不等式的变形，演变的不等式 对数放缩对数放缩 1.放缩成一次函数：ln1xx ln1xx 1 ln e xx 2.放缩成双撇函数 1 ln
3、,1xxx x 1 ln, 01xxx x 11 ln, 01 2 xxx x 11 ln,1 2 xxx x 3.放缩成二次函数 2 lnxxx 2 1 ln1,10 2 xxxx 2 1 ln1,0 2 xxxx 4.放缩成反比例函数 1 ln1 1 x x 21 ln,1 1 x xx x 21 ln, 01 1 x xx x 2 ln1,10 1 x xx x 2 ln1,0 1 x xx x 1 ln1,0 xx x 6(1) ln(1); 25 x xx x 注意： 指数放缩指数放缩 1. 放缩成一次函数 1 x ex x eex x ex 1x x xe （-1） 2. 放缩成反
4、比例函数 -1 11 ,1 x x ex ， 1 ,0 1 x ex x ， 1 ,0 1)(1); 1 xx x exex xx ， 22 , 02(2)20;,0 22 xxx xx exxexex xx 3. 放缩成二次函数 2 1,0 x exx 2 1 1,0 2 x exxx 23 11 1 26 x exxx 22 (2)1(1) ,0 ,=0 =1 x exexexxxxx 即或 取等号 x 1x2 22 1(1)(1) 1 224 xx xe xe x exeee 指对数放缩指对数放缩 ln1 ln2;ln1 1ln1 xxx exexxxx 三角函数放缩三角函数放缩 tan
5、sin , 0;sincos0; 22 sin1sin1 ,0,);,0,); 2cos32cos4 sin+tan2 , 0;2sin+tan3 , 0 22 xxxxxxxx xx x xx x xx xxxxxxxx 加强： 3 12 sin(0);sin0 62 xxxx xxxx 22224 11111 1cos1sin;1cos1 222224 xxxxxxx ； 以直线以直线1yx为切线的函数为切线的函数 lnyx 1 1 x ye 2 yxx 1 1y x lnyxx 指数不等式链：指数不等式链： 11 1; 1x xx xeexe ex 对数不等式链：对数不等式链： 111
6、ln1ln1;ln 1ee x xxxxxx xxx ； 1 - 三角不等式链三角不等式链 3 1 sin(0) 6 xxxx x 224 111 1c o s1 222 4 xxxx 对数平均值不等式链对数平均值不等式链 0ab若，则 22 22 11 lnln22 abababab aabb abab ab 三三 高考如何考高考如何考 例例 1（12 辽宁辽宁 12）若，则下列不等式恒成立的是（） AB C D 【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，即考泰勒展式，不等式放缩是难题. 【解析】验证 A，当，故排除 A；验证 B， 0,+x 2 1+ + x ex x 2 111 1-+
7、241+ xx x 2 1 cos1- 2 xx 2 1 ln 1+- 8 xxx 332 =32.7 =19.681+3+3 =13xe时， 当，而故排除 B； 验证 C，令，显然恒成立， 所以当， 所以，为增函数， 所以，恒成立，故选 C；验证 D， 令，令，解得，所以 当时，显然不恒成立，故选 C. 例例 2.2. （13 全国 2）已知函数( )ln() x f xexm ()略 （）当2m 时，证明( )0f x 1 2 11 ( )ln()-m +( )= g( )1, m2, g ( )1,-m + g ( )0, g( )-m +g(-m)10,+ , g( )+ x xx x
8、x xme f xexmxfxe xmxm xxmexxmex xxxx 解：（ ）略 （ ）证明如下： （） 证法一：，（， ）， （）而（）（， ）,则： 在（， ）上， 00 0 0 00 000 0 0000 0 2 0 00 00 000 1 -m +, g()0,1=0=- ( )-m+( )()=ln() ln()0, m (+) +m+111 2 ln()ln=+= xx x x xx xxxmee xm f xxxf xf xexm exm x xx exmex xmxmxm （， ）即：（），（ ） 故在（， ）上，（ ， ） ，则： 下面证明： 由（ ）式， 0 0 2
9、2 0 00 000 0 2 2 0 0 0 +1 4 +m + (1)000ln()0 m (+) +1 24 (2)2ln()0 ( )0 x x m xm x x mxmxmexm xm m x mexm xm f x （）1 当时，得证； 当0时，得证； 综上：不等式：得证； 1 = 2 x时，16 = 31 1+ 2 111113391521153616 6 1-+=0gx 0,+x 0 =0g xg0,+x 2 1 =cos -1+ 2 g xxx 0 =0g xg 2 -311 =ln 1+- +, =-1+= 8+144+1 x xx h xxxx h x xx 0h x0 3x 0 3x -1时， 1 x x xf当且仅当xex1 令 1xexg x 则 1 x exg 1 x f xe x-1 1 x f x x 0 x 1 x f x ax 即 xg 在（-，0递减，在0，+）递增；在x=0处达到最小值， 因而当xR时， xg 0g， x e1+x，所以当x-1时， xf 1x x （）由题设x0，此时 xf0， 当a a 1 ，则 1ax x 0，所以 xh 0h=0， 即 xf 1 ax x 综上，a的取值范围是 2 1 , 0
