1、 绝密启用前 湖南省五市十校 2020 年下学期高二年级第一次联考试题 数学 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.命题“xZ，log2(x3)1”的否定是 A.x0Z，log2(x03)1 B.x0Z，log2(x03)1 C.xZ，log2(x3)1 D.xZ，log2(x3)1 2.以点(3，1)为圆心，且与直线 x3y40 相切的圆的方程是 A.(x3)2(y1)210 B.(x3)2(y1)210 C.(x3)2(y1)210 D.(
2、x3)2(y1)210 3.在ABC 中，AB3，AC1，B 6 ，则 A A. 6 或 3 B. 3 或 2 C. 3 或 2 3 D. 6 或 2 4.已知集合 Ax|1x1，若“xB”是“xA”的充分不必要条件，则 B 可以是 A.x|1x1 B.x|1x1 C.x|0x2 D.x|2x0，y0， 82xy yx 2mm20 恒成立，则实数 m 的取值范围是 A.(，42，) B.(4，2) C.(，24，) D.(2，4) 7.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或 者高次
3、差成等差数列。对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高 阶等差数列，其前 7 项分别为 1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第 8 项为 A.161 B.155 C.141 D.139 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)的图象关于( 1 2 ，0)对称。当 x0， 1 2 )时， f(x)4sinx。设函数 g(x)f(x) 1 x ，则 g(x)在区间2020，2019上的零点个数为 A.2019 B.2020 C.4039 D.4040 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
4、符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.下列选项中正确的有 A.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样 B.已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x3，y3.5，则由该观测数据 算得的回归方程可能是y0.4x2.3 C.将某选手的 9 个得分(不完全相同)去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，则平均数一定会发 生变化 D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小， 数据的离散程度越小 10.已知函数 f(x)sinxcosx
5、的最小正周期为 ，则下列判断正确的有 A.将函数 y2sin2x 的图象向左平移 4 个单位得到函数 f(x)的图象 B.函数 f(x)在区间 8 ， 5 8 单调递减 C.函数 f(x)的图象关于点( 8 ，0)对称 D.函数 f(x)取最大值时 x 的取值集合为x|xk 8 ，kZ 11.如图所示，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，VA3，点 C 是圆周 上不同于 A，B 的点，CA3，CB4，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列结论正确的 有 A.MN/平面 ABC B.平面 VAC平面 VBC C.二面角 VBCA 的大小为 30 D.三棱锥 OVAC
6、的体积为 23 12.已知函数 f(x)2x2mxm2(mR)，则下列命题正确的有 A.当 m0 时，f(x)0 的解集为x| 2 m x0 C.x1、x2(， 1 4 m，且 x1x2时， 12 f xf x 2 12 x +x f() 2 D.当 m0 时，若 0x1x1f(x2) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知 是第一象限角，且 tan 4 3 ，则 sin2 。 14.等腰直角ABC 中， B90 ， AB2， D 为 AC 中点， E 为 BC 中点， 则BD AE 。 15.已知正三棱柱 ABCA1B1C1的每个顶点都在球 O 的球面上，若
7、球 O 的表面积为 24，则 该三棱柱的侧面积的最大值为 。 16.已知数列an满足：an * n 2 1n1 logn3n2nN ， ，且 ，定义使 a1a2a3ak(kN*) 为整数的 k 叫做“幸福数” ，则区间1，2020内所有“幸福数”的和为 。 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 已知 a0，命题 p：ax2a；命题 q：1x4。若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。 18.(12 分) 2020 年 10 月 26 日今日头条有关新冠肺炎海外疫情报道如下： 由于受疫情的影响，某国某市的一个小区 505 人参加
8、某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽 样的方法从中随机抽取 101 人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性)。现将核酸检测呈阴性的 人员，按年龄段分为 5 组：(0，20，(20，40，(40，60，(60，80，(80，100，得到如图所 示频率分布直方图，其中年龄在(20，40的有 20 人。 (1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数； (2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数； (3)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为 3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的 概率。 19.(12 分) 已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，且(bc)2a23bc。 (1)求
9、角 A； (2)若 a4，sinAsin(CB)2sin2B，求ABC 的面积。 20.(12 分) 已知数列an的前 n 项和为 Sn，anSn4，设 bnlog2an。 (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列bn是否为等差数列，并说明理由； (3)求数列 2n 12n 1 1 bb 的前 n 项和 Tn。 21.(12 分) 已知向量 a(m， cosx)， b(sinx， n)， 函数 f(x)a b， 且 f(x)的图象过点( 6 ，3)和点( 4 3 ， 2)。 (1)求 m，n 的值； (2)将 f(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 g(x)的图象， 且 g(x)图
10、象上的最高点到 点(0，4)的距离的最小值为 2。再将 g(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不 变)得到函数 h(x)的图象，讨论 h(x)在 12 ， 5 12 上的单调性。 22.(12 分) 设函数 f(x)的定义域为 D，若存在 x0D，使得 f(x0)x0成立，则称 x0为 f(x)的一个“不动 点” ，也称 f(x)在定义域 D 上存在不动点。已知函数 f(x)log2(4xa2x 12)。 (1)若 a1，求 f(x)的不动点； (2)若函数 f(x)在区间0，1上存在不动点，求实数 a 的取值范围； (3)设函数 g(x)2 x，若 x1、x21，0，都
11、有|f(x1)g(x2)|2 成立，求实数 a 的取值范 围。 高二数学高二数学参考答案参考答案 选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 A A D B C D B C BD BCD ABC BC 1.A 解析：解析：根据特称命题的否定，既否定量词，又否定结论的原则可得： 命题“xZ ， 2 log (3)1x”的否定是命题“ 0 xZ， 2 log (3)1x”,故选 A. 2.A 解析：解析：点(3
12、，1)到直线 x3y+40 的距离是10，所以圆的方程是(x3) 2(y1)2 10 ,故选 A. 3.D 解析：解析：由正弦定理得 sinsin ABAC CB =,则 31 sin sin 6 C =，即 3 sin 2 C =，则 2 33 或 C = . 当 3 C =时， 2 A=； 当 2 3 C =时， 6 A=，故A= 2 或 6 ，故选 D. 4B 解析：解析： 2 1= -11Ax xxx ，又“xB”是“ xA”的充分不必要条件， 则B A . 故选 B. 5.C 解 析 ：解 析 ： 431 ,aaa成 等 比 数 列)32(2)22( 2 41 2 3 ddaaa解
13、得 2 1 d, 16 81 ) 2 9 ( 4 1 4 9 2 )( 2 5 2 1 2 2 2 1 n nnaan S nn a n nn ,当4n 或5时， n S取得最大值.故选 C. 6.D 解析：解析： 8282 28 xyxy yxyx ，当且仅当 82xy yx ，即2yx时有最小值 8； 2 28mm，即 2 280mm.解得24m .故选 D . 7.B 解析：解析：所给数列为高阶等差数列,设该数列的第 8 项为 x，根据所给定义：用数列的 后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列， 即得到了一个等差数列。如图： 由图可得： 3612
14、107 y-= x-= y 解得 155 48 x= y= ,故选 B. 8. C 解析：解析：由题意知， ()( )fxf x ， ( )(1)0f xfx,则( )(1)(1)f xfxf x ， (1)( )f xf x ，即 ( )f x的周期为 1.由( )0g x 得 1 ( )f x x ，则 ( )g x在-2020,2019的零点 个数即函数 ( )yf x 与函数 1 y x 图象的交点个数. 数形结合可知：当2020,0 x 时，两 图象有 2020 个交点；当0,2019x时，两图象有 2019 个交点，则 ( )g x的零点个数为 4039 个，故选 C. 9. BD
15、 10.BCD 解析：解析： 2 ( )2sin(),2;( )2sin(2) 44 f xxTf xx 函数( )f x的图象可由函数2sin2yx的图象向左平移 8 个单位得到，A 错；BCD 正确. 11.ABC 解析解析: 易知 MNAC，又 AC平面 ABC，MN平面 ABC，MN平面 ABC，故 A 正确. 由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVAA，所 以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC，故 B 正确. BC平面 VAC，所以 VABC，VCBC，VCA即为二面角 V-BC-A 的平面角，
16、 又 3VA ，3,CA所以 0 30VCA .故 C 正确. 因为 OVAC V CVAO V 1 2 CVAB V, ABC S 1 3 46 2 ;所以 11 633 23 OVAC V ，故 D 错误.故选 ABC. 12. BC 解析：解析：对于 A. 由 22 20 xmxm得( )(2)0 xmxm 当0m 时，原不等式的解集为| 2 m xxm ； 当0m时，原不等式的解集为| 2 m x mx ，故 A 错误. 对 于B. 1m 时 ， 22 19 ( )212() 48 f xxxx 在1+，上 是 增 函 数 ， 则 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，即
17、1212 ( )()0 xxf xf x，故 B 正确. 对于 C. ( )f x在 1 , 4 m上单调递减，当 12 1 , 4 、xxm时，设 11 ( ,()A xf x 、 22 , ()B xf x，则 AB 的中点 C 1212 ( )() , 22 xxf xf x ，又设 1212 , 22 xxxx Df ， 数形结合可知，点 D 位于点 C 的下方，即 1212 ( )() 22 xxf xf x f ，故 C 正确. 对于 D，设 ( ) ( )(0) f x g xx x ，则 ( )g x表示( )yf x 在 y 轴右侧图象上的点与原点所在直 线的斜率, 数形结合
18、可知，( ) g x是增函数， 当 12 0 xx 时， 12 ()()g xg x ， 则 12 12 ( )()f xf x xx ， 即 2112 ()()x f xx f x ，故 D 错误.故选 BC. 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13. 24 25 14. 1 15. 18 3 16. 1349 13. 24 25 解析解析： 4324 sin,cos.sin22sincos 5525 14.1 解析 解析：以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立直角坐标系， 则(0,0), (
19、0,2),(2,0),(1,1),(1,0)BACDE ， (1,-2),(1,1)AE=BD，即1AE BD . 15.18 3 解析：解析：设球的半径为 R，则 2 424R， 6a,h,R解得设正三棱柱的底面边长 高为, 3 3 a则正三棱柱底面正三角形外接圆的半径为； 222 11 34 ahR所以+=，由基本不等式可得 22 113 6 343 ahah，所以6 3ah，当 且仅当 22 11 34 ah时，等号成立. 故该正三棱柱的侧面积为3ah，其最大值为 6 3 318 3. 16.1349 解析：解析：当1k时，1 1 a为幸福数，符合题意； 当2k时，) 3(log) 3(
20、log6log5log 4254321 kkaaaa kk 令 4 log (3),km mZ，则 3443 mm kk . 由2432020542023,25 mm km . 故“幸福数”的和为 5 2345 4(41) 1 (43)(43)(43)(43)151349 4 1 . 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17.解析：解析：设|2,| 14AxaxaBxx=-=- .1 分 由 已 知 得 p q，但qp，则 B A.5 分 则 1 24 a a - ? 即 1 2 a a ，所以2a .9 分 故实数 a 的取值范围是 ) 2
21、,+?.10 分 18.解析：解析：(1)由频率直方图可知0.00750.01200.35（） ， 0.00750.01 0.015200.65（）2 分 因0.350.50.65，所以所求中位数在(40,60, 不妨设中位数为 x，则0.35400.0150.5x（）,得50 x. 所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为 504 分 (2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40有 20 人， 设样本中核酸检测呈阴性的人数为 n,则 20 0.01 20 n ，即100n.6 分 用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为 505 (505 100)=5 101 , 即该小区
22、此次核酸检测呈阳性的人数为 5.8 分 （3）由（2）可知，此次核酸检测呈阳性的人数为 5，又因其男女比例为 3：2， 所以其中男性为 3 人，女性为 2 人.9 分 将其 3 名男性分别记为 1，2，3，2 名女性记为 a,b， 从中任选两人的基本事件有（1，2） ， （1，3） ， （1，a） ， （1，b） ， （2，3） ， （2，a） ， （2，b） ， （3，a） ， （3，b） ， （a,b） ，共 10 种，. .10 分 其中至少有一名男性的基本事件有（1，2） ， （1，3） ， （1，a） ， （1，b） ， （2，3） ， （2，a） ， （2， b） ， （3，a）
23、， （3，b） ，共 9 种.9 分 所以至少选到一名男性的概率 9 10 P .12 分 19.解析：解析： （1）: 22 ()3bcabc，可得： 222 bcabc1 分 由余弦定理可得： 222 1 cos 22 bca A bc 3 分 0,A， 3 A .4 分 （2）sinsin2sin2ACBB，sinsin2sin2CBCBB5 分 sin cosB cossinsin cosB cossin4sincosCCBCCBBB， 可得：cossin2sin0BCB.7 分 cos0B，或sin2sinCB.8 分 当cos0B时， 2 B ，可得 4 tan3 a c A 11
24、48 3 4 2233 ABC Sac；.9 分 当sin2sinCB时，由正弦定理知2cb, 由余弦定理可得： 222222 16423bcbcbbbb11 分 解得 4 3 3 b， 8 3 3 c， 14 38 338 3 23323 ABC S .12 分 20解析：解析：(1)1n时，得2 1 a;. 1 分 由4 nn aS得 11 4 nn aS 两式相减得 1 20 nn aa 即 1 1 2 n n a a 3 分 所以数列 n a是等比数列, 2 1 1 22 2 n n n a .4 分 (2) 2 log2 nn ban .5 分 1)3()2( 1 nnbb nn .
25、6 分 所以数列 n b是公差为-1 的等差数列.7 分 (2) 22121 log2,32 ,1 2 nnnn banbn bn .8 分 ) 12 1 32 1 ( 2 1 ) 12)(32( 1 )21)(23( 11 1212 nnnnnnbb nn .10 分 ) 12 1 32 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1 nn Tn 12 ) 12 1 1( 2 1 n n n .12 分 21. 解析：解析： （1）由题意知( )sincos ,f xa bmxnx .1 分 因为( )3 6 f x 过点（，
26、）和 4 -2 3 （，） 3sincos 66 , 44 2sincos 33 mn mn .2 分 解得 3, 1mn.4 分 （2）由（1）知( )3sincos2sin() 6 f xxxx 由题意知( )()2sin() 6 g xf xx 5 分 设( )g x的图像上符合题意的最高点为 0 (,2)x，由题意知 2 0 44x，所以 0 0 x .6 分 即到点(0,4)的距离为 2 的最高点为（0,2） 将其代入( )g x得sin()1x，因为0,所以 3 8 分 因此( )2sin()2cos 2 g xxx .9 分 又由已知得( )2cos2 , ( ),() 2 h
27、xx h xkkkZ 在 递增，在,() 2 kkkZ 递 减 10 分 又 5 , 12 12 x ，得( )h x在,0 12 递增，在 5 0, 12 递减. 12 分 22. 解析解析： （1）若 a=1 时，由 ( )f xx 得 1 4222 xxx ，令2xt， 则 2 320tt，得 t=1 或 t=2，即2122 xx 或，则 x=0 或 x=1 则 ( )f x的不动点为 0 和 1.3 分 （2）由题意知， ( )f xx 即 1 4222 xxx a 有解， 令2xt， 0,1x ，则 1,2t ，则 2 22tatt在1,2上有解 则 2 22 21 tt at tt
28、 .5 分 当 1,2t 时， 2 yt t 在1, 2 递减，在2,2 递增，则 2 2 2,3yt t 则22 21,2a，即 1 2,1 2 a 7 分 （3） 1212 |()()| 22()()2f xg xf xg x ，即 212 ()2()()2g xf xg x 则 2max12min ()2()()2g xf xg x .8 分 又 ( )g x在-1,0上是减函数，则 2max2min ()( 1)2,()(0)1g xgg xg，则 1 0()3f x 9 分 令2xt， 1,0 x ，则 1 ,1 2 t， 2 1228tat 则 2 2 66 2 11 2 t at tt t at tt .10 分 又 6 yt t 在 1 ,1 2 t上递增，则 max 5y ；又 1 2yt t 11 分 则522a ，即 5 1 2 a .12 分
