1、1 高三数学试题 一、单项选择题 1.已知 | 13Axx ，0,2,4,6B ，则AB () A.0,2B.1,0,2C.|02xxD. 1|2xx 2.已知复数 z 满足134zii，则| z ( ) A. 5 2 B. 5 4 C. 5 2 D. 5 2 2 3.已知xR ，则“ 1 2 1 x ”是“21x ”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 8 2x 展开式中 4 x 项的系数为（） A.16B.1C.8D.2 5.已知向量 ,2ax ，2,by ，2, 4c ，且/a c ，b c ，则ab vv () A. 3B
2、. 10 C. 11 D.2 3 6.已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛物线上一点，PAl，A 为垂足.若 直线 AF 的斜率为 3 ，则 PAF 的面积为() A.2 3B.4 3C. 8D.8 3 7.已知 3 1 log 3 a a ， 1 3 3log b b ， 1 3 1 log 3 c c ，则 a，b，c 的大小关系是() A.cbaB.abcC.bcaD. bac 2 8.已知函数( )2sin(2 )f xx的图象过点,2 6 A ，则() A. 把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin2yx的图象 B. 函数 fx 在区间 ,0 2
3、上单调递减 C. 函数 fx在区间 0,2内有五个零点 D. 函数 fx在区间0, 3 上的最小值为 1 二、多项选择题 9.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则能使双 曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 的是() A. 离心率为 5 4 B. 双曲线过点 9 5, 4 C. 渐近线方程为340 xy D. 实轴长为 4 10.已知菱形ABCD中， 60BAD，AC与BD相交于点O，将ABD沿BD折起，使 顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是() A.BDCMB. 存在一个位置，使CDM
4、V为等边 三角形 C.DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的 最大值为60 11.已知定义在0, 2 上的函数 fx的导函数为 fx，且 00f， ( )cos( )sin0fxxf xx，则下列判断中正确的是() A. 6 624 ff B.ln0 3 f C.3 63 ff D.2 43 ff 3 12.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚 动） ， 点D恰好经过坐标原点， 设顶点,B x y的轨迹方程是 yf x， 则对函数 yf x 的判断正确的是() A. 函数 yf x是奇函数B. 对任意的xR，都有 44f xf x
5、C. 函数 yf x的值域为0,2 2 D. 函数 yf x在区间6,8上单 调递增 三、填空题 13.曲线 (1) x yxe在点(0,1)处的切线的方程为_ 14.已知 sincos 1 1 cos2 ， 1 tan() 3 ，则tan_. 15.在四面体S ABC中，2SASB，且SASB，5BC ，3AC ，则该四面 体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_. 16.在平面直角坐标系xOy中，A为直线:3l yx上在第三象限内的点， 10,0B ，以线 段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD，则圆C的标准 方程为_. 四、解答题 17.在 ABC 中，a
6、，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满 ()(sinsin)( 3sinsin)baBAcBC. （1）求A的大小； （2）再在2a ， 4 B ， 3cb这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的 条件补充在下面的问题中，并解答问题.若_，_，求ABC的面积. 4 18.已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列，且 2 3a ， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列2 n a 的前 n 项和， 1 n n b S ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 19.如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD， /AD BC，90
7、ABC， 45BCD，2BCAD. （1）求证：BDPC； （2）若PCBC，求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值. 5 20.近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3 3 模式，其中语 文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高 校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生 物6门科目中自选3门参加考试（6选3） ，每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某 高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从 中抽取n名学生进行调查，其中，女生
8、抽取45 人. （1）求n的值； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两 个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这 两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到的一个不完 整的2 2 列联表，请将下面的2 2 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科 目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生10 女生25 总计 （3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生， 再从这9名女生中抽取4人， 设这4人中选择“物
9、理”的人数为X， 求X的分布列及期望.附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 P Kk0.050.010.0050.001 0 k3.8416.6357.87910.828 6 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 直线 3 2 yx与椭圆E 在第一象限内的交点是M，且 2 MFx轴， 12 9 4 MF MF . （1）求椭圆E的方程； （2） 是否存在斜率为 1 的直线l与以线段 12 FF为直径的圆相交于A，B两点， 与椭圆E相 交于C，D两点，且 12 13 |
10、 | 7 CDAB ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明 理由. 22.已知函数( ) (1ln ) x f xemx， 其中0m ， fx 为 fx的导函数， 设 ( ) ( ) x fx h x e ， 且 5 2 h x 恒成立. （1）求m的取值范围； （2）设函数 fx的零点为 0 x，函数 fx的极小值点为 1 x，求证： 01 xx. 7 高三数学试题答案 一、单项选择题 1.已知 | 13Axx ，0,2,4,6B ，则AB () A.0,2B.1,0,2C.|02xxD. 1|2xx 【答案】A 2.已知复数 z 满足134zii，则| z ( ) A. 5 2 B.
11、5 4 C. 5 2 D. 5 2 2 【答案】D 3.已知xR ，则“ 1 2 1 x ”是“21x ”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 4. 8 2x 展开式中 4 x 项的系数为（） A.16B.1C.8D.2 【答案】B 5.已知向量 ,2ax ，2,by ，2, 4c ，且/a c ，b c ，则ab vv () A. 3B. 10 C. 11 D.2 3 8 【答案】B 6.已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛物线上一点，PAl，A 为垂足.若 直线 AF 的斜率为 3 ，则 PAF 的
12、面积为() A.2 3B.4 3C. 8D.8 3 【答案】B 7.已知 3 1 log 3 a a ， 1 3 3log b b ， 1 3 1 log 3 c c ，则 a，b，c 的大小关系是() A.cbaB.abcC.bcaD. bac 【答案】C 8.已知函数( )2sin(2 )f xx的图象过点,2 6 A ，则() A. 把 yf x的图象向右平移 6 个单位得到函数2sin2yx的图象 B. 函数 fx在区间 ,0 2 上单调递减 C. 函数 fx在区间 0,2内有五个零点 D. 函数 fx在区间0, 3 上的最小值为 1 【答案】D 二、多项选择题 9.已知双曲线 C：
13、22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F，则能使双 曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 的是() A. 离心率为 5 4 B. 双曲线过点 9 5, 4 C. 渐近线方程为340 xy D. 实轴长为 4 【答案】ABC 10.已知菱形ABCD中， 60BAD，AC与BD相交于点O，将ABD沿BD折起，使 9 顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是() A.BDCMB. 存在一个位置，使CDMV为等边 三角形 C.DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的 最大值为60 【答案】ABD 11.已知定义
14、在0, 2 上的函数 fx的导函数为 fx，且 00f， ( )cos( )sin0fxxf xx，则下列判断中正确的是() A. 6 624 ff B.ln0 3 f C.3 63 ff D.2 43 ff 【答案】CD 12.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚 动） ， 点D恰好经过坐标原点， 设顶点,B x y的轨迹方程是 yf x， 则对函数 yf x 的判断正确的是() A. 函数 yf x是奇函数B. 对任意的xR，都有 44f xf x C. 函数 yf x的值域为0,2 2 D. 函数 yf x在区间6,8上单 调递增 【答案】BC
15、D 10 三、填空题 13.曲线 (1) x yxe在点(0,1)处的切线的方程为_ 【答案】21yx 14.已知 sincos 1 1 cos2 ， 1 tan() 3 ，则tan_. 【答案】 1 7 15.在四面体S ABC中，2SASB，且SASB，5BC ，3AC ，则该四面 体体积的最大值为_，该四面体外接球的表面积为_. 【答案】(1). 30 6 (2).8 16.在平面直角坐标系xOy中，A为直线:3l yx上在第三象限内的点， 10,0B ，以线 段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，ABCD，则圆C的标准 方程为_. 【答案】 22 7645xy 四、解
16、答题 17.在 ABC 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满 ()(sinsin)( 3sinsin)baBAcBC. （1）求A的大小； （2）再在2a ， 4 B ， 3cb这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的 条件补充在下面的问题中，并解答问题.若_，_，求ABC的面积. 【答案】 （1） 6 A ； （2）见解析 11 【解析】 （1）因为( )(sinsin)( 3sinsin)baBAcBC ， 又由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得 ()()( 3)ba bacbc ， 即 222 3bcabc ， 所以 222 33 cos 222 bcbc A
17、 bcbc a ， 因为0A， 所以 6 A . （2）方案一：选条件和. 由正弦定理 sinsin ab AB ，得sin2 2 sin a bB A . 由余弦定理 222 2cosbacacB ，得 222 (2 2)22 2 cos 4 cc ， 解得 26c . 所以ABC的面积 112 sin2 ( 26)31 222 SacB . 方案二：选条件和. 由余弦定理 222 2cosabcbcA ，得 222 433bbb ， 则 2 4b ，所以2b . 所以 2 3c ， 所以ABC的面积 111 sin2 2 33 222 SbcA . 18.已知数列 n a为公差不为 0 的
18、等差数列，且 2 3a ， 1 a， 2 a， 5 a成等比数列. 12 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列2 n a 的前 n 项和， 1 n n b S ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【答案】 （1）21 n an； （2） 323 42(1)(2) n nn 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为()d d 0. 由题意得 1 2 111 3 4 ad ada ad ， 解得 1 1 2 a d . 所以21 n an. （2）依题意得，221 n an， 1231 22222 nnn Saaaaa 357(21)(21)nn 2 (21 3) 2
19、2 nn nn . 所以 1231nnn Tbbbbb 1111111111 1 232435112nnnn 1111 1 2212nn 323 42(1)(2) n nn . 19.如图，在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD， /AD BC，90ABC， 45BCD，2BCAD. 13 （1）求证：BDPC； （2）若PCBC，求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 3 【解析】 （1）证明：取BC的中点E，连接DE， 因为2BCAD，所以AD BE ， 又因为/AD BC，所以四边形ABED是平行四边形. 因为90ABC所以四边形A
20、BED是矩形. 所以DEBC. 又45BCD 所以 1 2 DECEBC. 所以BCD是直角三角形，即BDCD. 又PD 底面ABCD，BD 底面ABCD， 所以BD PD. 又CD 平面PCD，CD 平面PCD，且PDCDD. 所以BD 平面PCD. 又PC 平面PCD， 所以BDPC. 14 （2）如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系Dxyz， 设 1AD ，则2BC ， 由（1）知 1DE ， 2DC ， 2DB . PCBC又， 所以 2PD . 所以 22 ( 2,0,0),(0, 2,0), (0,0, 2),0 22 BCPE
21、 所以 (2, 2,0),BC (0, 2,2)PC . 设平面PBC的法向量为 , ,nx y z ，则 nBC nPC 所以 0 0 n BC n PE ，即 220 220 xy yz ， 取1x ，则1y ， 1z ， 所以平面PBC的一个法向量为1,1,1n . 15 又平面PAD的一个法向量为 22 ,0 22 mDE 所以 26 cos, 3|3 1 m n m n m n 所以平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 . 20.近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3 3模式，其中语 文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分
22、.另外考生还要依据想考取的高 校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生 物6门科目中自选3门参加考试（6选3） ，每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某 高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从 中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45 人. （1）求n的值； （2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两 个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这 两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，下表是根据调查结果得到
23、的一个不完 整的2 2 列联表，请将下面的2 2 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科 目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生10 女生25 总计 （3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生， 再从这9名女生中抽取4人， 设这4人中选择“物理”的人数为X， 求X的分布列及期望.附： 16 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ，nabcd 2 0 P Kk0.050.010.0050.001 0 k3.8416.6357.87910.828 【答案】 （1）100n ； （2）
24、联表见解析，有，理由见解析； （3）分布列见解析， 20 9 【解析】 （1）由题意得 45 1000450 n ， 解得100n . （2）22 列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生451055 女生252045 总计7030100 2 2 100 (45 2025 10) 8.12896.635 55 45 70 30 K ， 故有99%的把握认为选择科目与性别有关. （3） 从45名女生中分层抽样抽9名女生， 所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地 理”. 9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X可为0，1，2，3， 4， 设事件X发生的概率为P
25、 X， 则 4 4 4 9 1 (0) 126 C P X C ， 13 54 4 9 2010 (1) 12663 C C P X C ， 22 54 4 9 6010 (2) 12621 C C P X C ， 31 54 4 9 4020 (3) 12663 C C P X C ， 4 5 4 9 5 (4) 126 C P X C 17 所以X的分布列为： X01234 P 1 126 10 63 10 21 20 63 5 126 期望 1206040520 ()01234 1261261261261269 E X . 21.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左
26、、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 直线 3 2 yx与椭圆E 在第一象限内的交点是M，且 2 MFx轴， 12 9 4 MF MF . （1）求椭圆E的方程； （2） 是否存在斜率为 1 的直线l与以线段 12 FF为直径的圆相交于A，B两点， 与椭圆E相 交于C，D两点，且 12 13 | | 7 CDAB ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明 理由. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）存在， 2 2 yx 或 2 2 yx 【解析】 （1）设 1 ,0Fc， 2 ,0Fc， 由题意，得 3 , 2 M cc 因为 12 339 2 ,0, 224 MF MFccc
27、 解得1c ，则 3 1, 2 M ， 又点M在椭圆上，所以 22 22 19 1 4 1 ab ab ，解得 2 2 4 3 a b . 18 所以椭圆 E 的方程为 22 1 43 xy ； （2）假设存在斜率为 1 的直线l，设为yxm， 由（1）知， 12 ( 1,0), (1,0)FF， 所以以线段 12 FF为直径的圆为 22 1xy. 由题意，圆心0,0到直线l的距离 | 1 2 m d ，得| |2m . 2 22 | 2 12 122 2 m ABdm ， 由 22 1 43 xy yxm 消去 y， 整理得 22 784120 xmxm . 由题意， 2222 ( 8 )4
28、 74123364848 70mmmm ， 解得 2 7m ，又| |2m ，所以 2 2m . 设 1122 ,C x yD xy， 则 2 1212 8412 , 77 mm xxx x 2 2 21 4 6 7 |12 77 m CDkxx ， 若 12 13 | | 7 CDAB ， 则 22 4 612 13 227 77 mm 整理得 42 436170mm ， 解得 2 1 2 m ，或 2 17 2 m . 19 又 2 2m ，所以 2 1 2 m ，即 2 2 m . 故存在符合条件的直线l，其方程为 2 2 yx ，或 2 2 yx . 22.已知函数( ) (1ln )
29、 x f xemx， 其中0m ， fx 为 fx的导函数， 设 ( ) ( ) x fx h x e ， 且 5 2 h x 恒成立. （1）求m的取值范围； （2）设函数 fx的零点为 0 x，函数 fx的极小值点为 1 x，求证： 01 xx. 【答案】 （1） 3 , 2 ； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题设知，( )1ln(0) x m fxemxx x ， ( ) ( )1ln x fxm h xmx ex ， 2 (1) ( )(0) m x h xx x ， 由( )0h x，得1x ，所以函数 h x在区间(1,)上是增函数； 由( )0h x，得01x，所以函数 h
30、 x在区间0,1上是减函数. 故 h x在1x 处取得最小值，且 11hm . 由于 5 ( ) 2 h x 恒成立，所以 5 1 2 m，得 3 2 m ， 所以m的取值范围为 3 , 2 ； （2）设( )( )1ln x m g xfxemx x ，则 2 2 ( )1ln x mm g xemx xx . 设 2 2 ( )1ln (0) mm H xmx x xx ， 则 2 233 22 22 ( )0 m xx mmm H x xxxx ， 20 故函数( )H x在区间(0,)上单调递增，由（1）知， 3 2 m ， 所以(1)10Hm ， 1 1ln21 ln2 20 2 H
31、m ， 故存在 2 1 ,1 2 x ，使得 2 0H x， 所以，当 2 0 xx时， 0H x ， 0gx，函数 g x单调递减； 当 2 xx时， 0H x ， 0gx，函数 g x单调递增. 所以 2 x是函数 g x的极小值点.因此 21 xx，即 1 1 ,1 2 x . 由（1）可知，当 3 2 m 时， 5 ( ) 2 h x ，即 3 35 2 1ln 22 x x ，整理得 1 ln1x x ， 所以ln m mxm x . 因此 11 11 1 ( )1ln(1)0 xx m g xg xemxem x ，即( )0fx. 所以函数 fx在区间(0,)上单调递增. 由于 1 0H x，即 1 2 11 2 1ln0 mm mx xx ， 即 1 2 11 2 1ln mm mx xx ， 所以 11 1 110 2 1 1 2 1ln0 xx x f xemxmef x x . 又函数 fx在区间(0,)上单调递增，所以 01 xx.
