1、1 高三教学质量检测考试 数学 201911 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 1 = 2,3, 3 n ABa bABAB ，则 A 1 12 3 ， ，B 1 1 3 ，C 1 2 3 ，D 1 12 3 ， ， 2函数 2 ln 214yxx的定义域为 A 1 ,2 2 B 1 ,2 2 C 1 2, 2 D 1 2, 2 3.设函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ，则 2 3log 3ff A15B13C11D9 4已知, ,a b c满足 abc，且0ac ，那么下列选
2、项中不一定 成立的是 AabacB0ab cC 22 a cb cD0ac ac 5已知向量, a b，满足2,2ab，则向量ab与的夹角的余弦值为 A 2 5 B 2 4 C 2 3 D 2 2 6二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成 果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”由于二十四节气对古时候农事的进行起着非 常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏 暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒 易经里对二十四节气的晷影长的记录中， 冬至和夏至的晷影长是实测得到的， 其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，
3、 在 下表中，冬至的晷影最长为 1300 寸，夏至的晷影最短为 148 寸，那么易经中所记 录的清明的晷影长应为 A77.2 寸B72.4 寸C67.3 寸D62.8 寸 2 7已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 13248 3,6=aaaaS ，则 A45B81C117D153 8函数 sinf xAx（其中0, 2 A ）的图象如图所示，为了得到 sing xAx的图象，只需将 f x图象 A向右平移 4 个单位长度 B向左平移 4 个单位长度 C向右平移 12 个单位长度 D向左平移 12 个单位长度 9已知 2 1 sin, 42 f xxxfxf x 为的导函数，则 f
4、x的图象大致是 10已知定义在 R 上的函数 f x满足 6,3f xf xyf x为偶函数，若 f x 在(0，3)内单调递减则下面结论正确的是 A 1 2 10ln2ffef B 1 2 ln210feff C 1 2 ln210fffe D 1 2 ln210ffef 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的，全部选对的得 4 分。选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 11下列命题中，是真命题的是 A已知非零向量,a bababab，若则 B若:0,1ln ,pxxx 则 000 :0,1lnpxxx C在AB
5、C中“sinA+cosA=sinB+cosB”是“A=B”的充要条件 D若定义在 R 上的函数 yf x是奇函数，则 yff x也是奇函数 12 设 f x是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 若 存 在 两 个 不 相 等 的 实 数 12 ,x x， 使 得 3 12 12 22 f xf xxx f ，则称函数 f x具有性质 P，那么下列函数中，具有性质 P 的函数为 1 ,0 0,0 x f xx x ； 2 logf xx； 3 f xxx； 2 x f x ABCD 13设函数 sin0 6 f xx ，已知 f x在0,有且仅有 3 个零点，对于下 列 4 个说法正确的是 A
6、在0,上存在 12 ,x x，满足 12 2f xf x B f x在0,有且仅有 1 个最大值点 C f x在0, 2 单调递增 D的取值范围是 13 19 , 66 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 14若tan2 ，则cos2 2 _ 15若函数 32 31f xxaxx在区间 1 ,1 2 上单调递减，则实数a的取值范围为 _. 16ABC中，D 为 AC 上的一点，满足 1 3 ADDC 若 P 为 BD 上的一点，满足 0,0APmABnAC mn ，则 mn 的最大值为_； 41 mn 的最小值为 _(本题第一空 2 分，第二空 2 分) 17设ABC
7、的内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c，已知, ,a b c依次成等比数列，且 1 coscossin 2 ACBC，则_ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 4 18(12 分) 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，且 34 6,20aS (1)求 n a； (2)若 12 , kk a a S 成等比数列，求正整数 k 的值 19(14 分) 设函数 2 2sin2 3sincosf xxxx的图象关于直线x对称，其中为常数， 且 1 ,1 2 (1)求函数 f x的解析式； (2)若 1,0,f，求的值 20(14 分)
8、 已知函数 1 ln,0f xaxaR a x . (1)若曲线 f x在点 1,1f处的切线与 y 轴垂直，求a的值； (2)若在区间(0，e上至少存在一点 0 x，使得 0 0f x成立，求a的取值范围 5 21(14 分) 如图，在平面四边形 ABCD 中， 3 ,24 4 ABCBACDAC CDAB (1)若20AC ，求ABC 的面积； (2)若 6 ADC ，求 AC 22(14 分) 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 80 万元，同时将受 到环保部门的处罚，第一个月罚 4 万元，以后每月增加 2 万元如果从今年一月起投资 500 万元添加回收净化设
9、备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低 原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产净收入 g(n)是生产 时间 n 个月的二次函数 g(n)=n2+kn(k 是常数)， 且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万元， 从第 5 个月开始，每个月的生产净收入都与第 4 个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且 还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元 (1)求前 6 个月的累计生产净收入 g(6)的值； (2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入 23(14 分) 已知 5 ,ln 2 x e f xg xx
10、x x (1)当0 x 时，证明 f xg x； (2)已知点 ,sin , cosP x xf xQxx，点，若 O 为坐标原点，设函数 h xOP OQ ， 当, 2 x 时，试判断 h x的零点个数 6 高三教学质量检测考试 数学参考答案及评分标准 201911 说明： 一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生和解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确答案应得分数一半： 如果后继 部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就
11、不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：每小题 4 分，满分 40 分 1A2B3C4C5B6D7D8C9B10A 二、多项选择题：每小题 4 分，满分 12 分 11ABD12ABC13AD 三、填空题：每小题 4 分，满分 16 分 14 4 5 5 15 4 a 16 1 ,16 16 17. 3 2 四、解答题：满分 82 分 18.解： （1）设公差为 d，则 31 26,aad1 分 41 4 3 420, 2 Sad 3 分 解得， 1 2,2,ad5 分 2122 . n ann6 分 （2）
12、 2 21 2 ,22223 . 2 kk kk ak Skkk 8 分 又 12 , kk a a S 成等比数列， 2 2232kkk，9 分 2 560kk，10 分 61,kk 或11 分 又,6kNk .12 分 7 19.解： （1） 2 2sin2 3sincosf xxxx 3sin2cos21xx2 分 2sin 21 6 x .3 分 图象关于直线x对称， 2, 62 kkZ .4 分 11 1 , 232 k ，又，5 分 令 5 1= 6 k 时，符合要求，6 分 5 2sin1 36 f x 函数.7 分 （2） 5 2sin11, 36 f 8 分 5 sin0,
13、36 9 分 53 =, 36510 kkkZ ，即，11 分 0,，12 分 7 0=1= 1010 kk 当时，；当时， 7 = 1010 或.14 分 20.解： （1） 1 ln,f xax x 22 11 , aax fx xxx 1 分 曲线 f x在点 1,1f处的切线与 y 轴垂直， 10, f 2 分 110,fa 3 分 1.a4 分 8 （2） 2 1 0, ax fxa x ，且 令 1 0,fxx a 得5 分 若在区间0,e上存在 0 x，使得 0 0f x，即 f x在区间0,e上的最小值小于 0. 6 分 当 1 0 a ，即0a 时， 00fx在，上恒成立，
14、f x在区间0,e上的最小值为 1 f ea e .7 分 由 11 0aa ee ，得.8 分 当 1 0e a 时，即 1 a e ， 此时，当 11 0,0,xfxxefx aa 时，当时， f x在区间 1 0, e 上的最小值为 11 ln,faa aa 9 分 由 11 ln1 ln0faaaa aa ，得ae.10 分 当 1 e a ，即 1 0,a e 此时当0,xe上时， 0fx恒成立， 0f x在，e上的最小值为 1 f ea e ，12 分 显然 1 0a e 不成立.13 分 综上可知，所求a的取值范围为 1 aae e 或.14 分 21.解： （1） 3 ,2,2
15、0 4 ABCABAC ， 由余弦定理可得， 222 2cos,ACABBCAB BCABC2 分 2 2 2044, 2 BCBC 2 2 2160,BCbc 9 2 24 2BCBC ，或（舍去） ，4 分 112 sin2 2 22 222 ABC SAB BCABC .6 分 （2）设0 44 BACCADBCA ，则，7 分 在ABC中， 2 , 3 sinsin sinsin 44 ACABAC ABCBCA 即， 2 sin 4 AC .9 分 在 4 sinsinsin sin 6 ACCDAC ACD ADCCAD 中，即， 2 . sin AC 11 分 由 22 2sin
16、cos sin sin 4 ，解得，12 分 又 5 0,sin 45 ， 2 2 5 sin AC .14 分 22.解： （1）据题意 2 333309gk， 解得100.k 2 100 .g nnn2 分 第 4 个月的净收入为 43107gg万元. 642 107gg 2 44002 107630 万元.4 分 （2） 2 100 ,4, 4443,4, nn n g n gnggn 10 即 2 100 ,4, 10712,4. nn n g n nn 6 分 要想投资开始见效，必须且只需 1 500 1208042 2 n n g nnn ， 即 2 773800g nnn，8 分
17、 当1,2,3,4n 时， 22 100773800,nnnn 即 2 2233800,nn 即223380nn，显然不成立.11 分 当4n 时， 2 10712773800nnn， 即 2 303920nn，即30392n n， 验算得10n 时，30392n n，13 分 所以，经过 10 个月投资开始见效.14 分 23.解： （1）令 5 ln 2 x e xf xg xxx x . 则 2 5 1 2 . x exx x x 1 分 令 5 ,0, 2 x G xex x 则 5 , 2 x Gxe 由 5 0ln 2 Gxx，得， 由 5 0 2 Gxx，得0ln， 5 0 ln
18、 2 G x 在，递减，在 5 ln, 2 递增，3 分 555555 lnln1 ln0 222222 G xG ， 11 5 00 2 x ex在，上恒成立.4 分 01x在，递减，在1 ，递增， 5 10, 2 xe5 分 f xg x.6 分 （2） ,sincosP x xf xQxx点，点， sincos , x h xOP OQxxex 1 sincos , xx h xexxex 当,0 2 x 时，可知,0 xx exxe ， 又sin0,cos0,xx 0,0 2 h xh x 在，单调递减，8 分 01,0 22 hh . 0 2 h x 在，上有一个零点，9 分 当0,cossin0,0 4 x xxxex 时， cossin ,sincos0 xx exxxh xxxex恒成立. 0 4 h x 在，上无零点.10 分 当,0cossin 4 2 xxx 时， cossinsincos0 x h xxxxexx， 4 2 h x 在，上单调递增.11 分 12 44 222 0,0 22424224 hhee 又， 4 2 h x 在，上存在一个零点。12 分 当, 2 x 时， sin0,cos0,x sincos0 x h xxxex恒成立， 2 h x 在，无零点13 分 综上， 2 h x 在，上零点个数为 2.14
