1、衡阳市八中衡阳市八中 2019 级高二第级高二第 2 次月考试题次月考试题 一、选择题： 1由公差为d的差数 1 a， 2 a， 3 a新组成的列数： 14 aa， 25 aa， 36 aa是（ ） A公差为d的等差数列 B公差为2d的等差数列 C公差为3d的等差数列 D非等差数列 2命题“0,x ， 3 0 xx”的否定是（ ） A,0 x ， 3 0 xx B,0 x ， 3 0 xx C 0 0,x， 3 00 0 xx D 0 0,x， 3 00 0 xx 3已知直线l 平面，则“直线m平面”是“ml”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、 4椭圆 22 1 94 xy 的离心率是（ ） A 13 3 B 2 3 C 5 3 D 5 9 5若双曲线 2 2 2 312 x y a 的离心率为 2，则其渐近线方程为（ ） A 3 3 yx B3yx C 1 3 yx D3yx 6攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式。依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖。 也有单檐和重檐之分。多见于亭阁式建筑，园林建筑。以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的 上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的 3 倍，则此正四棱锥的内切球半径 与底面边长比为（ ） A 3 3 B 2 4 C 2 2 D3 7函数 2
3、2 11 xx f x xx （xR）的图象大致是（ ） A B C D 8 椭圆 22 22 1 xy ab （0ab） 上一点M关于原点的对称点为N，F为椭圆的一个焦点， 若0MF NF， 且 3 MNF ，则该椭圆的离心率为（ ） A 2 1 2 B 2 2 C 3 3 D31 二、选择题 9空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下 表： AQI 指数值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测我校附近的化工厂排放废气对周边空气质量指数
4、的影响，我校科学兴趣小组在校内测得 9 月 1 日 20 日 AQI 指数的数据并绘成折线图如下： 下列叙述正确的是（ ） A这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1 4 C校内 9 月的前半个月的空气质量越来越好 D总体来说，校内 9 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 10已知曲线C: 22 1mxng（ ） A若0mn，则C是圆，其半径为n B若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上 C若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为 m yx n D若0m，0n，则C是两条直线 11公差不为零的等差数列 n a满足 38 aa， n S为 n
5、 a前n项和，则下列结论正确的是（ ） A 11 0S B 10nn SS （110n） C当 11 0S时， 5n SS D当 11 0S时， 5n SS 12定义： I M表示函数 yf x在I上的最大值，已知奇函数 f x满足44f xfx，且当 0,4x时， f xx，正数a满足 0,2 2 aaa MM，则（ ） A 0, 4 a M B 0, 2 a M Ca的取值范围为6，9 Da的取值范围为4，9 三、填空题： 13已知等比数列 n a的公比 1 4 q ，则 14710 25811 aaaa aaaa 等于_ 14已知1a ，6b ， 4aba ，则向量a与b的夹角是_ 15
6、如果不等式1xa成立的充分不必要条件是 1 2 2 x，则实数a的取值范围是_ 16已知 1 F为双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段 1 PF与以该 双曲线实轴为直径的圆相交于A，B两点，且 1 FAABBP，则该双曲线的离心率为_ 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E的一个长轴端点M及一个短轴端点N在直线24yx 上 （1）求椭圆E的离心率 （2）若P是椭圆C上一点， （异于M，N） ，试求PMN面积的最大值 18设命题p: 2 1 lg 4 f xaxx 定义域为R，命题q: 0 xR，使
7、得 00 sin3cosxxa （1）如果命题q是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果命题“pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数a的取值范围 19已知 n S是数列 n a的前nn 项和，且 1 4 nn Sa（n N） （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 1 log n n b na ，数列 n b的前n项和为 n T，求使得 2020 n T m 成立的最小正整数m 20 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab （0ab） ， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、 右焦点， 四点 1 2, 2P， 2 2, 2P ， 3 0, 2P， 4 2,2P中恰有三点在椭圆
8、上C上 （1）求椭圆C的方程； （2）过 1 F的直线l交椭圆C于A，B两点，且 2 AF，AB， 2 BF成等差数列 试求： （I）AB； （II）直线AB的斜率 21如图，我校励志楼侧旁的篮球场地是边长为 1 百米的正方形区域ABCD，学校为方便广大师生晚上锻 炼，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ始终为45（其中P，Q分别在边BC， CD上） ，设PAB，tant （1）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长是否为定值？若为定值，求出该定值； （2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少平方百米？ （3）求AP AQ的取值范围 22已知圆M:
9、2 22 14xyn（1n ）及点1,0N，P是圆M上的动点，线段PN的垂直平分线 交直线PM于点Q，记点Q的轨迹为曲线C，且QMN面积的最大值为3 （1）说明曲线C的形状，并求其方程； （2）若直线l过点N且不垂直于坐标轴，l与曲线C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点D 探究：直线AD是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由 衡阳市八中衡阳市八中 2019 级高二第级高二第 2 次月考试题答案次月考试题答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C B B A D ABD BCD BC AC 二、填空题： 134 14
10、2 3 （或写成120） 15 3 1, 2 16 97 5 三、解答题： 17解： （1）由题意知椭圆E的焦点在y轴上，0,4M，2,0N，所以长半轴长4a，短半轴长2b 半焦距 22 2 3cab，故椭圆E的离心率 3 2 c e a （2）椭圆E的标准方程为 22 1 164 yx ， 设与直线MN平行且与椭圆相切的直线l方程为：2yxm 由 22 2 416 yxm xy 得 22 84160 xmxm 由 22 1632160mm 4 2m， 记P到直线MN距离为d 因为 1 5 2 PMN SMN dd ，要使 PMN S最大，只须d最大即可， 此时4 2m，则 max 44 2
11、5 d ，故 max 4 12 PMN S 18解： （1）q为真命题时，22a （2）p为真命题时，由 0 10 a a 1a 1 p真q假时， 0 22 a aa 或 2a 2 p假q真时， 0 22 a a 21a 故2,2,1a 19解： （1）由 1 4 nn Sa 则 1 1 8 a 11 1 4 nn aS 由可得： 1 1 2 nn aa （nN ） ， 所以 n a是以 1 8 为首项， 1 2 为公比的等比数列，故 1 2 111 822 n n n a （2） 2 1111 1 log1212 n n b nannnn 则 12 111111111 233412222 n
12、n Tbbb nnn 所以只须使 1 20202 m 1010m，故所求最小正整数m为 1010 20 解：（1） 因为 1 P， 2 P关于y轴对称， 由题意知 1 2, 2P， 2 2, 2P ， 3 0, 2P在椭圆C上 则2b， 2 2 22 2 2 1 2a ，所以 2 8a ，故椭圆C的方程为 22 1 84 xy ； （2）由 22 24ABAFBFaAB，所以 48 2 33 ABa 由题意可设直线l方程为2yk x， 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 22 28 2 xy yk x 2222 1 28880kxk xk 显然 2 3210k ， 2 22 2 22
13、 12 222 3214 21 88 2 11 1 21 21 23 kk k ABkxxk kkk 2 1k 故直线AB的斜率1k （注：也可先推得 2 22 2 cos ab AB a c （为AB倾斜角） ，由 8 2 3 AB 2 1 cos 2 1 AB k ） 21解： （1）tanBPt， 1 tan 41 t DQ t 所以1CPt ， 12 1 11 tt CQ tt 2 2 221 1 11 tt PQt tt （01t ） CPQ的周长 2 21 12 11 tt lt tt （百米）为定值 （2） 1112 12122 2121 t Stt tt 阴 （当12t 即2
14、1t 时取等号） 故阴影部分面积S最大值为22（平方百米） （3）以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系， 则 112 1,1122 22,1 112 tt AP AQttt ttt 22解： （1）1,0N在M内部，由条件可得2QMQNQMPQnMN 所以Q点轨迹是以M，N为焦点的椭圆，记QMN边MN上的高为h， 由 2 1 1 2 QMN MSN hn ，则有 2 13n 2n 故曲线C是以M，N为焦点的椭圆，其方程为 22 1 43 xy ； （2）若AD过定点，由椭圆对称性知定点Q在x轴上 由条件可设直线AD方程为1xty， 11 ,A x y， 22 ,B x y 则 22 ,D xy 由 22 3412 1 xy xty 22 34690tyty 则0 ，当 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t 直线AD方程为 12211221 0yyxxxyx yx y 当0y 时， 1221 122112 121212 11218 114 6 tyytyyx yx yty yt x yyyyyyt ， 此时4,0Q故直线AD过定点4,0Q
