1、高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 秘秘密密启用前启用前 绵阳东辰绵阳东辰中学中学高高 2019 级高二上期期中测试级高二上期期中测试 数学试题（理科）数学试题（理科） 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分分. 在每小题的四个选项中，只有一在每小题的四个选项中，只有一个个是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 直线330()xymmR的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 2. 下列双曲
2、线中，渐近线方程为2yx 的是（ ） A. 2 2 1 4 y x B. 2 2 1 4 x y C. 2 2 1 2 y x D. 2 2 1 2 x y 3. 若直线220axy与直线840 xay平行，则a的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 4或4 D. 2 4. 给出下面一个程序如右： 此程序运行的结果是（ ） A5,8 B8,5 C8,13 D5,13 5. P在圆 22 1xy上变动时，它与定点3,0Q 的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ） A 2 2 34xy B 2 2 31xy C 2 2 2341xy D 2 2 2341xy 6已知点( 2,1)P 在抛物线 2 :2(
3、0)C ypx p的准线上，其焦点为F，则直线PF 的斜率是（ ） A 1 3 B 3 2 C2 D 1 4 7. 椭圆 22 1 4924 xy 的焦点为 12 ,F F，点P在椭圆上，若 1 6PF ，则 12 PFF的面积为（ ） A24 B28 C 40 D48 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 8. 直线l：210mxym 与圆C： 22 (2)4xy 交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ） A. 2430 xy B. 430 xy C. 2430 xy D. 2410 xy 9已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 离心率为 3 2
4、，直线l与椭圆C交于,A B两点，且线段AB 的中点为2,1M ，则直线l的斜率为（ ） A. 1 3 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10已知P为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别为C的左、右焦点，且 12 PFPF，若 21 tan7PF F，则C的离心率为（ ） A. 5 2 8 B. 4 2 7 C. 3 2 5 D. 2 2 3 11已知 12 ,F F分别为双曲线 22 1 43 xy 的左右焦点，P为双曲线右支上一点， 2 F关于直线 1 PF 的对称点为 1 ,M F关于直线 2 PF的对称点为N，则当|MN最小时， 12 sin
5、FPF的值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 3 12. 在等腰梯形ABCD中， /ABCD，且2,1,2ABADCDx，其中0,1x，以,A B 为焦点且过点D的双曲线的离心率为 1 e，以,C D为焦点且过点A的椭圆的离心率为 2 e，若对任意 0,1x ，不等式 12 tee恒成立，则t的最大值是（ ） A3 B5 C2 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，分，共共 20 分分.请将答案写在答题卡上请将答案写在答题卡上. 13. 若双曲线 22 1 54 xy 的左焦点在抛物线 2 2(0)ypx p的准线上，则p=_.
6、 14. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的_ 15已知P是椭圆 2 2 1 4 x y上的一点，F为右焦点，点A的坐标为(0, 6)，则 AFP周长的最大值为_. 10p S 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 16已知圆，为圆 上的两个动点，且，为弦的中点.直线 上有两个动点，且.当在圆上运动时， 恒为锐角，则线段 中点的横坐标取值范围为_ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共6个小题，个小题，17 题题 10 分，其余每小题分，其余每小题 12 分，分，共共70分）分） 17已知一个圆经过坐标原点和点(2，0)，且圆心C在直线2yx上 （1）求圆C的方程； （2）过
7、点( 2,2)P 作圆C的切线PA和PB，求直线PA和PB的方程 18已知坐标平面上两个定点0,4A，0,0O，动点,M x y满足：3MAOM （1）求点M轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记(1)中的轨迹为C，过点 1 ,1 2 N 的直线l被C所截得的线段的长为2 2，求直线l的方程 19已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为 （1）求双曲线C的方程 （2）经过点(2,1)M作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长 2 2 :16C xyABC 2 2AB GAB :20l xyPQ2PQ ABC PGQ PQ M 22 1 41 xy 3 高二
8、上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 20已知椭圆C： 22 22 xy ab 1（ab0）的左、右焦点分别为 12 ,F F，点A 为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB| 7且 12 | 4AFAF. （1）求椭圆C的方程； （2）过点 2 F作直线l交椭圆C于,M N两点，记,AM AN的斜率分别为 12 k k,，若 12 3kk，求直线 l的方程. 21已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且 ，其中点为抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，,是抛物线上不同的两点，且满，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标. 22. 已知椭圆 22 22 :1(0) x
9、y Cab ab 的长轴长为4，焦距为2 2. （1）求椭圆C的方程； （2）过动点(0,)(0)Mm m 的直线交x轴与点N，交C于点,A P (P在第一象限)，且M是线段PN 的中点. 过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B. （）设直线,PM QM的斜率分别为 12 ,k k，证明 2 1 k k 为定值； 2 :20C ypx pQCQPy P 1 2 QPQFF C 1 2 2 M ， ABC 8 5 AMBM kk AB 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） （）求直线AB的斜率的最小值. 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 绵阳东辰
10、学校高绵阳东辰学校高 2019 级高二上期期中测试级高二上期期中测试 数学数学答案答案（理科）（理科） 15：CABCD 610:DAACA 1112:BB 13：6 14：45 15：10 16：(,0)(3,) 12.解：由平几知识可得1 41BDx，所以 121 2 22 ,1 1 411 41 x eeee xx ，因为 121 1 1 eee e 在0,1x上单调递减， 所以 12 251 +5 2141 ee ， 由不等式 12 tee恒 成立，得5t ，即t的最大值是5，选 B. 15.解：如图所示，设椭圆的左焦点为 F，由题意可知 2,1,3abc，则( 3,0)F，因为A的坐
11、 标为(0, 6)，所以 3AFAF， 由椭圆的定义可得 24PFPFa，因 PAPFAF， 所以AFP周长为 434310AFPAPFAFPAPF， 当且仅当 , ,A P F三点共线时取等号，所以AFP周长的最大值为 10，故答案为：10 16.解：圆 2 2 :16C xy的半径为6,2 2,ABG为弦AB的中点， 2CG，G的轨迹是以C为圆心，以 2 为半径的圆， 设PQ中点为,2M a a，2PQ，且当AB在圆C上运动时，PGQ恒为锐角， 则以C为圆心以 2 为半径的圆与以M为圆心以 1 为半径的圆外离， 则 2 2 33aa ，即 2 30aa，解得 0a 或3a ， 线段PQ中点
12、M的横坐标取值范围为 ,03,U，故答案为 ,03,U. 17.解：(1)根据题意，设圆心 C 的坐标为（m，2m），又由圆经过坐标原点和点（2，0），则有 2222 020220mmmm，解可得：m=1， 则圆心的坐标为（1，2），半径 22 2 1 0205r ， 则圆的方程为： 22 125xy； （2）由（1）的结论，圆 C的方程为： 22 125xy； 过点 P（-2，2）作圆 C的切线 PA和 PB，则 PA、PB的斜率都存在， 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 设切线的方程为 y-2=k(x+2），即 y-kx-2k-2=0， 则有 2 3 5 1 k d k
13、 ，解可得： 5 2 k ，则直线 PA 和 PB的方程为 y-2= 5 2 （x+2） 18.解：(1)由3MAOM得 2222 (0)(4)3xyxy ， 化简得： 22 19 () 24 xy，轨迹为圆 （2）当直线l的斜率不存在时，直线 1 : 2 l x 符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l的方程为： 1 1() 2 yk x ，即 1 10 2 kxyk ， 由圆心到直线的距离等于 2 3 | 91 22 2 42 1 k d k ，解得 4 3 k ， 直线l方程为4310 xy 所求的直线l的方程为：4310 xy 或 1 2 x . 19.解：（1）由题意得椭圆 22 1
14、41 xy 的焦点为 F1（ 3 ，0），F2（ 3，0）， 设双曲线方程为 22 2 xy ab 1，a0，b0， 则 c2a2+b23，e 3 c a c 3 a，解得 a21，b22，双曲线方程为 x2 2 2 y 1 （2）把 A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线 x12 1 2 y121，x22 1 2 y221， 两式相减，得（x1x2）（x1+x2） 1 2 （y1y2）（y1+y2）0， 把 x1+x24，y1+y22代入，得 4（x1x2）（y1y2）0， kAB 12 12 yy xx 4，直线 L的方程为 y4x7，把 y4x7代入 x2 2 2 y 1， 消
15、去 y 得 14x256x+510，x1+x24，x1x2 51 14 ，k4， |AB| 22 121 2 1()417kxxx x 511190 164 147 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 20.解：（1）依题意可得 22 4 7 acac ab 解得 2 3 a b ，所以椭圆方程为 23 1 43 xy （2） 由 （1） 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 2 1,0F， 设直线l的方程为1xmy， 联立方程得 23 1 1 43 xmy xy ， 消去x整理得 22 34690mymy， 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9
16、 34 y y m 因为 11 1xmy， 22 1xmy，所以 12 2 8 34 xx m ， 2 12 2 124 34 m x x m 因为 12 3kk，即 12 12 3 22 yy xx ， 所以 12121 212 2336120my yyyx xxx 代入得 2 2222 961248 2336120 34343434 mm m mmmm 解得3m，即l：310 xy 21.解：（1）设 0,4 Q x，根据抛物线的定义可得 0 2 QF p x 又QPy轴于点P，则 0 QPx， 1 2 QPQF，所以 00 1 22 p xx ，则 0 2 p x 所以,4 2 p Q
17、，由Q在抛物线C上，162 2 p p，解得4p 所以抛物线C的方程为 2 8yx （2）证明：点 1 2 2 M ，在抛物线 2 8yx上.设AB：x myn ， 1122 ,A x yB x y 由 2 8 xmyn yx 得 2 880ymyn 1212 88yymy yn ， 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 1212 22 12 12 2222 11 11 22 8282 AMBM yyyy kk yy xx 12 121212 8328864328 222+4816 +45 yym yyy yyynm 所以6432581648mnm ，整理得32nm 将32nm
18、代入x myn 得32xmym，即23xm y. 所以直线AB恒过定点23， 22.解：（1）设椭圆的半焦距为 c.由题意知24,22 2ac， 所以 22 2,2abac .所以椭圆 C 的方程为 22 1 42 xy . （2）（）设 0000 (,)(0,0)P xyxy，由 M(0,m)，可得 00 (,2 ),(, 2 ).P xm Q xm 所以直线 PM 的斜率 00 2mmm k xx ，直线 QM 的斜率 00 23mmm k xx . 此时3 k k .所以 k k 为定值3. （）设 1122 ( ,), (,)A x yB x y.直线 PA 的方程为 y=kx+m，直
19、线 QB 的方程为 y=3kx+m. 联立 22 , 1, 42 ykxm xy 整理得 222 (21)4240kxmkxm. 由 2 0 1 2 24 21 m x x k ，可得 2 1 2 0 2(2) (21) m x kx ， 所以. 同理 22 22 22 00 2(2)6 (2) , (181)(181) mk m xym kxkx . 所以 2222 21 2222 000 2(2)2(2)32(2) (181)(21)(181)(21) mmkm xx kxkxkkx ， 2222 21 2222 000 6 (2)2(2)8 (61)(2) (181)(21)(181)(21) k mmkkm yymm kxkxkkx ， 高二上数学（理科）半期试题卷第 1 页（共 4 页） 所以 2 21 21 6111 (6). 44 AB yyk kk xxkk 由 0 0,0mx，可知 k0，所以 1 62 6k k ，等号当且仅当 6 6 k 时取得. 此时 2 6 6 48 m m ，即 14 7 m ，符号题意. 所以直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 .
