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1、三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1.(2020 全国卷)设函数 f(x)cos x 6 在，的图象大致如图，则 f(x)的最小正周期为( ) A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.3 2 解析由图象知 T2，即 2 |2，所以 1|2. 因为图象过点 4 9 ，0 ，所以 cos 4 9 6 0，所以4 9 62k 2，kZ，所以 9k 2 3 2，kZ. 因为 1|2，故 k0，得 3 2. 故 f(x)的最小正周期为 T2 4 3 .故选 C. 答案 C 2.(2020 天津卷)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f

4、向右平移 6个单位长度，所得图象的函数解析式为y3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 .令2x 12k 2，kZ，得对称轴的方程为 xk 2 7 24，kZ，分析知当 k1 时，对称轴为直线 x 5 24，与 y 轴最近. 答案 x5 24 5.(2020 北京卷)若函数f(x)sin(x)cos x的最大值为2，则常数的一个取值为_. 解析法一由 f(x)sin(x)cos x sin xcos cos xsin cos x cos sin x(1sin )cos x cos2（1sin ）2sin(x) 其中tan 1sin cos . sin(x)1， cos2（1

5、sin ）2 22sin 2 时，f(x)的最大值为 2，2sin 2， sin 1， 22k，kZ，的一个取值可为 2. 法二 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2，又 sin(x)1，cos x1，则 sin(x)cos x1 时，f(x)取得最大值 2. 由诱导公式，得 22k，kZ. 的一个取值可为 2. 答案 2(答案不唯一，只要等于 22k，kZ 即可) 6.(2019 全国卷)函数 f(x)sin 2x3 2 3cos x 的最小值为_. 解析 f(x)sin 2x3 2 3cos x cos 2x3cos x 2cos2x3cos x1 2 cos x3 4 2

6、 17 8 ，因为 cos x1，1，所以当 cos x1 时，f(x)取得最小值，即 f(x)min4. 答案 4 考点整合 1.常用的三种函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数 ysin x ycos x ytan x 图象递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k k 2，k 2 递减区间 2k 2，2k 3 2 2k，2k 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k，0) k 2，0 k 2 ，0 对称轴 xk 2 xk 周期性 2 2 2.三角函数的常用结论 (1)yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k 2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk 2(

7、kZ)求得. (2)yAcos(x)，当 k 2(kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 xk(kZ)求得. (3)yAtan(x)，当 k(kZ)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)ysin x 向左(0)或向右(0) 平移|个单位 ysin(x) 纵坐标变为原来的A倍横坐标不变 yAsin(x)(A0，0). ysin x 向左(0)或向右(0) 平移| |个单位 ysin(x) 纵坐标变为原来的A倍横坐标不变 yAsin(x)(A0，0). 热点一三角函数的定义与同角关系式【例 1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆

8、x2y21 上的四段弧 (如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tan cos 0.因为cos 22cos212 3，所以cos 30 6 ，sin 6 6 ，得|tan | 5 5 . 由题意知|tan | ab 12 ，所以|ab| 5 5 . 答案 (1)C (2)B 探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点 P 的位置无关.若角已经给出，则无论点 P 选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的. 2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异

9、为同、化高为低、化繁为简等. 【训练 1】 (1)(2020 唐山模拟)若 cos 2sin 1，则 tan ( ) A.4 3 B.3 4 C.0 或4 3 D.0 或3 4 (2)(2020 济南模拟)已知 cos 6 sin 4 3 5 ，则 sin 11 6 _. 解析 (1)由题意可得 cos 2sin 1， cos2sin21，解得 sin 0， cos 1 或 sin 4 5， cos 3 5，所以 tan 0，或 tan 4 3.故选 C. (2)cos 6 sin 3 2 cos 1 2sin sin 3 2 cos 3 2sin 3sin 6 4 3 5 ， sin

10、6 4 5， sin 11 6 sin 6 2 sin 6 4 5. 答案 (1)C (2)4 5 热点二三角函数的图象及图象变换【例 2】 (1)(多选题)(2020 新高考山东、海南卷)如图是函数 ysin(x)的部分图象，则 sin(x)( ) A.sin x 3 B.sin 32x C.cos 2x 6 D.cos 5 6 2x (2)(2019 天津卷)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将 y f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x).若 g(x)的最小正周期为 2，且 g 4 2，则 f 3 8

11、 ( ) A.2 B. 2 C. 2 D.2 解析 (1)由图象知T 2 2 3 6 2，得 T，所以 2 T 2.又图象过点 6，0 ，由“五点法”，结合图象可得 3，即 2 3 ，所以 sin(x) sin 2x2 3 ，故A错误；由sin 2x2 3 sin 32x sin 32x 知B正确；由sin 2x2 3 sin 2x 2 6 cos 2x 6 知C正确；由sin 2x2 3 cos 2x 6 cos 2x5 6 cos 5 6 2x 知 D 错误.综上可知，正确的选项为 BC. (2)由 f(x)是奇函数可得 k(kZ)，又|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由

12、图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定常根据 “五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置. 【训练 2】 (1)(多选题)(2020 济南历城区模拟)将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向左平移 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)的图象.若 g(x1)g(x2)9，且 x1，x22，2，则 2x1x2的可能取值为( ) A.59 12 B.35 6 C.25 6 D.49 12 (2)(2020 长沙质检)函数 g(x)Asin(x)(A0，0，02)的部分图象如图所示，已知

13、g(0)g 5 6 3，函数yf(x)的图象可由yg(x)图象向右平移 3 个单位长度而得到，则函数 f(x)的解析式为( ) A.f(x)2sin 2x B.f(x)2sin 2x 3 C.f(x)2sin 2x D.f(x)2sin 2x 3 解析 (1)将函数 f(x)2sin 2x 6 的图象向左平移 12个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)2sin 2x 3 1 的图象.由 g(x1)g(x2)9，知 g(x1) 3，g(x2)3，所以 2x 3 22k，kZ，即 x 12k，kZ.由 x1，x2 2，2，得 x1，x2的取值集合为 23 12 ，11 12 ，

14、 12， 13 12 .当 x123 12 ，x2 13 12 时，2x1x259 12 ；当 x113 12 ，x223 12 时，2x1x249 12 .故选 AD. (2)由函数 g(x)的图象及 g(0)g 5 6 3，知直线 x5 12为函数 g(x)的图象的一条对称轴，所以T 4 5 12 6 4，则 T，所以 2 T 2，所以g(x)Asin(2x)，由题图可知 6，0 为“五点法”作图中的第三点，则 2 6，解得 2 3 ，由 g(0) 3，得 Asin 2 3 3，又 A0，所以 A2，则 g(x)2sin 2x2 3 ，所以 g(x)的图象向右平移 3个单位长度后得

15、到的图象对应的解析式为 f(x) 2sin 2 x 3 2 3 2sin 2x，故选 A. 答案 (1)AD (2)A 热点三三角函数的性质【例 3】 (1)若 f(x)cos xsin x 在a，a上是减函数，则 a 的最大值是( ) A. 4 B. 2 C.3 4 D. (2)(2020 天一大联考)已知 f(x)cos x 6 (0)，f 6 f 3 ，且 f(x)在区间 6， 3 内有最小值，无最大值，则 ( ) A.8 3 B.14 3 C.8 D.4 (3)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数 yf(x)的图象关于直线

16、 x 对称，则的值为_. 解析 (1)f(x)cos xsin x 2cos x 4 ，且函数 ycos x 在区间0，上单调递减，则由 0 x 4，得 4x 3 4 .因为 f(x)在a，a上是减函数，所以 a 4， a3 4 ，解得 a 4.所以 00，0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 yAsin(x)的增区间(或减区间). 【训练 3】 (1)(多选题)(2020 济南质检)已知函数 f(x)2sin(2x)(0)，若将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后，得到图象关于 y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.5

17、 6 B. 12，0 是 f(x)的图象的一个对称中心 C.f()2 D.x 6是 f(x)图象的一条对称轴 (2)(多选题)关于函数 f(x)|cos x|cos|2x|，则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B. 是 f(x)的最小正周期 C.f(x)在 3 4 ，5 4 上单调递增 D.当 x 3 4， 5 4 时，f(x)的最大值为 2 解析 (1)将函数f(x)的图象向右平移 6个单位长度后，得到y2sin 2 x 6 2sin 2x 3 的图象，其关于 y 轴对称， 3k 2，kZ，k 5 6 ，kZ.又00，0 2 ，_. 是否存在正整数，使得函数 f(x)在 0，

18、2 上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解若选，则存在满足条件的正整数.求解过程如下：令 xk，kZ，代入 x5 6，解得 k5 6 ，kZ. 因为 0 2，所以 6，所以 f(x)2cos x 6 . 当 x 0， 2 时，x 6 6， 2 6 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 6，解得 05 3. 所以存在正整数 1，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的. 若选，则存在满足条件的正整数 .求解过程如下： f(x)cos x 3sin x2cos x 3 2cos(x)，且 0 2，所以 3. 当 x 0， 2 时，x 3 3，

19、 2 3 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 3，解得 04 3. 所以存在正整数 1，使得函数 f(x)在 0， 2 上是单调的. 若选，则存在满足条件的正整数 .求解过程如下：因为 f(x)f(0)恒成立，即 f(x)maxf(0)2cos 2，所以 cos 1. 因为 0 2，所以 0，所以 f(x)2cos x. 当 x 0， 2 时，x 0， 2 . 若函数 f(x)在 0， 2 上单调，则有 2 ，解得 00)的部分图象，将其向左平移1 4 个单位长度后与函数 g(x)的图象重合，则 g(x)可以表示为( ) A.sin x B.sin x C.sin 2x

20、D.sin 2x 解析由图象知T 2 5 4 1 41，T 2 2，得，由1 4 ，得 3 4 ， f(x) sin x3 4 ，将 f(x) 的图象向左平移 1 4 个单位长度后得 g(x) sin x1 4 3 4 sin x 的图象，故 g(x)可以表示为sin x. 答案 B 3.函数 f(x) tan x 1tan2x的最小正周期为( ) A. 4 B. 2 C. D.2 解析 f(x) tan x 1tan2x sin x cos x 1sin 2x cos2x sin xcos x cos2xsin2xsin xcos x 1 2sin 2x，所以

21、f(x)的最小正周期 T2 2 . 答案 C 4.(2020 百师联盟检测)将函数 f(x)2sin(3x)(0)图象向右平移 8个单位长度后，得到函数的图象关于直线 x 3对称，则函数 f(x)在 8， 8 上的值域是 ( ) A.1，2 B. 3，2 C. 2 2 ，1 D. 2，2 解析依题意，yf x 8 2sin 3x3 8 的图象关于 x 3对称.3 3 3 8 k 2，k 8，kZ.又 0，所以 7 8，故 f(x)2sin 3x7 8 .当 x 8， 8 时， 23x 7 8 5 4. 22sin 3x7 8 2，故 f(x)在 8， 8 上的值域是 2，2. 答案 D

22、 5.(多选题)(2020 海南新高考诊断)已知函数 f(x)sin 2xsin 2x 3 ，则( ) A.f(x)的最小正周期为 B.曲线 yf(x)关于点 3，0 对称 C.f(x)的最大值为 3 D.曲线 yf(x)关于直线 x 6对称解析 f(x)sin 2x1 2sin 2x 3 2 cos 2x 3sin 2x 6 ，则 T，f(x)的最大值为 3，曲线 yf(x)关于直线 x 6对称，但曲线 yf(x)不关于点 3，0 对称.故选 ACD. 答案 ACD 二、填空题 6.如图，以Ox为始边作角(0)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为 3 5， 4 5 ，则sin 2

23、cos 21 1tan _. 解析由三角函数定义，得 cos 3 5，sin 4 5，原式2sin cos 2cos 2 1sin cos 2cos （sin cos ） sin cos cos 2cos22 3 5 2 18 25. 答案 18 25 7.设函数 f(x)cos x 6 (0).若 f(x)f 4 对任意的实数 x 都成立，则的最小值为_. 解析由于对任意的实数都有 f(x)f 4 成立，故当 x 4时，函数 f(x)有最大值，故 f 4 1， 4 62k(kZ)，8k 2 3(kZ).又 0，min 2 3. 答案 2 3 8.(2020 长沙联考)已知函数 f

24、(x)sin x 3 (0)，若 f(x)在 0，2 3 上恰有两个零点，则的取值范围是_. 解析 0 x2 3 ，且 0， 3x 3 2 3 3，又 f(x)在区间 0，2 3 上恰有两个零点，2 3 32 且 2 3 33.解之得 5 24. 答案 5 2，4 三、解答题 9.(2019 浙江卷)设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知 0，2)，函数 f(x)是偶函数，求的值； (2)求函数 y f x 12 2 f x 4 2 的值域. 解 (1)因为 f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数 x 都有 sin(x)sin(x)，即 sin xcos cos x

25、sin sin xcos cos xsin ，故 2sin xcos 0，所以 cos 0. 又 0，2)，因此 2或 3 2 . (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin2 x 12 sin2 x 4 1 2 1cos 2x 6 1 2 1cos 2x 2 11 2 3 2 cos 2x3 2sin 2x 1 3 2 cos 2x 3 . 由于 xR，知 cos 2x 3 1，1，因此，所求函数的值域为 1 3 2 ，1 3 2 . 10.(2020 长沙联考)已知函数 f(x)sin x 6 (0)的图象向左平移 2个单位后与函数 g(x)cos(2x) | 2 图象重合.

26、 (1)求和的值； (2)若函数 h(x)f x 8 g x 8 ，求 h(x)的单调递增区间及图象的对称轴方程. 解 (1)由题意得 2，所以 f(x)sin 2x 6 ，则 f x 2 sin 2x5 6 cos 2x 3 . | 2， 3. (2)h(x)f x 8 g x 8 sin 2x 12 cos 2x 12 2sin 2x 3 ，令 2x 3k 2，kZ，解得 x k 2 12，kZ， h(x)图象的对称轴方程为 xk 2 12，kZ. 令 2k 22x 32k 2，kZ，得 k5 12xk 12，kZ. 所以 h(x)的单调递增区间为 k5 12，k 12 ，kZ.

27、 B 级能力突破 11.(2020 潍坊模拟)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)是偶函数，所以 f(0)A或 f(0)A，则 sin 1.又 00，所以 A2，所以 g(x)2cos x 2 6 .又 x0，所以 6 x 2 6 2 3 ，所以当x 2 6 6，即 x0 时，g(x)取得最大值 g(0) 3. 答案 1 3 12.已知函数 f(x)sin 2x sin x 3cos 2x 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2，求 cos(x1x2)的值. 解 (1)f(x)cos

28、xsin x 3 2 (2cos2x1) 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 . 当 2x 3 22k(kZ)，即 x 5 12k(kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1. (2)令 2x 3 2k(kZ)，解得x 5 12 k 2 (kZ)，所以函数 f(x)图象的对称轴为 x 5 12 k 2 (kZ)，当 x(0，)时，对称轴为 x 5 12 或 x 11 12 . 又方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2. x1x25 6(易证 x1x2 11 6 不合题意)，则 x15 6x2， cos(x1x2)cos 5 62x2 sin 2x2 3 ，又 f(x2)sin 2x2 3 2 3，故 cos(x1x2)2 3.

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