1、理科数学试题 第 1 页 （共 4 页） 怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中 20212021 届高三“五校”联考理科数学试题届高三“五校”联考理科数学试题 考试时间：考试时间： 20202020 年年 1212 月月 4 4 日日 考生注意：考生注意： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的 答案标号涂黑；第卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超
2、出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分） ，三角函数、解三角形， 平面向量，复数，数列。 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合24 ,Axx 2 430Bx xx，则AB I A14xx B23xx C 23xx D14xx 2.已知复数z满足i1 iz ，其中i为虚数单位，则z的共轭复数为 A1i B1 i C1 i D1
3、 i 3.设: |1| 1px,: 22qx ,则p是q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.已知点A B，是圆O上两点， 2 3 AOB，AOB的平分线交圆O于点C，则OC A 11 22 OAOB B 33 22 OAOB C 22 33 OAOB DOA OB 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科 学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（图 1 所示）.假定在水流量稳定的情况 理科数学试题 第 2 页 （共 4 页） 下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O
4、到水面的距离h为1.5 m， 筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度为 rad /s 12 ，如图 2 所示，盛水桶M在 0 P处距水面的 距离为3 m，则2 s后盛水桶M到水面的距离近似为 A3.2 m B3.4 m C3.6 m D3.8 m 图图 1 1 图图 2 2 6.记 n S是等差数列 n a的前n项和，已知 3 0S ， 6 8a ，则 10 a A12 B14 C16 D18 7.函数 2 1 ( ) log | f x x 的部分图象可能是 A B C D 8.已知 2 . 0 2a，2 . 0log2b， 2log 2 . 0 c，则, ,a b c的大小关系为 Aab
5、c Bbac Ccba Dacb 9.已知ABC是边长为3的等边三角形，点D为 ABC内一点，且120ADC，1AD ， 则BD A 1 2 B 3 2 C. 1 D2 理科数学试题 第 3 页 （共 4 页） 10.已知函数 2 2 ( )log |1|21f xxxx，则不等式(21)(1)fxf x的解集为 A 2 ( ,1)(1,2) 3 B 2 ( 2,0)(0, ) 3 C 2 ( ,2) 3 D 2 (, 2)( ,) 3 11.已知函数 ( )sin(),(0,|) 2 f xx， 4 x 是( )f x的零点，直线 4 x 是( )f x图象的 对称轴，且( )f x在 ()
6、 4 2 ，上单调，则的最大值为 A1 B2 C3 D4 12.若关于x的不等式 2 e(ln ) x a xxx对任意(0,+ )x恒成立，则实数a的取值范围为 A 2 (,e B( ,e C(,1 D 1 (, e 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量,a b为单位向量，其夹角为 3 ，则|2|ab . 14.函数 2 ( )23lnf xxxx的极小值为 . 15.已知复数 12 ,z z满足 1 | 1z ， 2 34iz ，其中i为虚数单位，则 12 |zz的最大值为 . 16.已知 n S是等比数列
7、 n a的前n项和，q为 n a的公比且 43 lnSS.若1 1 S，则下列命题中所有正 确的序号是 . 10q ； 4 0a ； 321 SSS； 321 SSS. 三、解答题：三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题满分为 10 分，第 1822 题每题满分为 12 分. 17.（10 分） 已知函数 1 2 2 ( )(1)f xxax . 理科数学试题 第 4 页 （共 4 页） （1）若函数( )f x的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若 1 ,2 2 x ，都有 1 2 f x 成立，求实数a的取值范围. 18.（12 分） 已知
8、向量a=(cos ,sin )xx，b 33 (cossin ,cossin)xxxx，设函数( ) f xab. （1）求函数( )f x的最小正周期及单调递增区间； （2）若关于x的方程( )0f xm在 0, 2 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围. 19.（12 分） 设数列 n a满足 1 3a ， 1 233 nn aan . （1）计算 2 a， 3 a，猜想 n a的通项公式并加以证明； （2）求数列 1 3 n n a 的前n项和 n S. 理科数学试题 第 5 页 （共 4 页） 20.（12 分） ABC的内角 , ,A B C的对边分别是, ,a b c.设 si
9、n2sinAC ab . （1）判断ABC的形状； （2）若ABC的外接圆半径为1，求ABC周长的最大值. 21.（12 分） 第二届阜阳花博会 2020 年 9 月 28 日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上” 据调 研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉 30 余种，计划在花博会期间举行展销活动经分析预 算，投入展销费x万元时，销售量为m万个单位，且 1 12 x x m（aax 2 0，a为正实数） 假定 销售量与基地的培育量相等， 已知该基地每培育m万个单位还需要投入成本(21)m万元 （不含展销费） ， 花卉的销售价定为 4 (11) m 万元/万个单位 （1）写出该
10、花卉基地的销售利润y万元与展销费x万元的函数关系； （2）展销费x为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：注：利润=销售价 销售量 投入成本展销费） 理科数学试题 第 6 页 （共 4 页） 22.（12 分） 已知函数 ln ( )ex x f xa x ，( )( )g xxf xx. （1）若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线过点(2,1)，求实数a的值； （2）当 2 1 e a 时，证明：( )2g x . 理科数学试题 第 7 页 （共 4 页） 20212021 届高三“五校”联考理数答案届高三“五校”联考理数答案 20202020 年年 1212 月月 4
11、4 日日 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B C A D D C B D C A C B 11.【解析】 由对称轴和零点可知 212 (), 444 k T kNT ，得到Nkk, 12 由( )f x在区间 () 4 2 ，上单调可知 242 T ，得到4 由可知可能取 3. 当3时，可得 4 ， 4 3sin xxf 满足在 24 ，上单调，所以 3满足题意，故 的最大值为 3. 12.【解析】 解法一：易知 2 ln0 xxx在 (0,)x时恒成立，从而可知 0a满足题意； 当0a时，原不等式可化为 2 1ln ex xxx a
12、 .记 2 ln ( ) ex xxx g x ，则 max 1 ( )gx a . 而 (1)(ln1) ( ) ex xxx g x ，ln1 0 xx ， 因此，(0,1)x时( )0g x ；(1,)x时( )0g x ； 所以， max 1 ( )(1) e gxg， 11 ea ，0ea. 又0a也满足题意，所以a的取值范围为(,e，故选 D. 理科数学试题 第 8 页 （共 4 页） 解法二：原不等式可化为 ln e e(ln ) x xx a xx x ，令lntxx，则1t . 从而etat在1,)t恒成立，由切线法知，ea . 二、填空题：二、填空题： 13 题. 7 14
13、 题.1 15 题.6 16 题. 15.【解析】 由复数的几何意义可知，复数 1 z在复平面内对应的点P在以原点为圆心的单位圆上， 2 z对应的 点为定点(3,4)Q，则 12 zz表示P，Q两点间距离，由解析几何知识得最大值为 22 3416 . 16.【解析】 43 ln,SS 3433 0,ln1SSSS，进而得 4 1a . . 0, 1 1 qa又 22 10,11,qqqqq 若，则 2 113 1,(1)1,1,aaqqS 即 2323 4341 ln0,(1)0, 10,SSSaqqqqqq .1, 0)1)(1 (, 0)1 ()1 ( 22 相矛盾这与qqqqqq 131
14、23 10,.qaaSSS 即 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. . 17.【解析】 （1）由题意可知 2 10 xax 在R上恒成立，故02 分 可得，解得22a 4 分 理科数学试题 第 9 页 （共 4 页） （2）由题意可得， 1 2 2 1 (1) 2 xax ，也即 1 ,2 2 x 时 2 14xax 恒成立 可化为 2 3x a x ， 6 分 设 2 3x g x x ，只要 min ag x即可 8 分 2 3 10gx x ，所以 min 111 22 g xg ，所以 11. 2 a 10 分 18.【解析】 （1） 44 ( )coscos sinsin
15、 cossinf xxxxxxx 2222 (cossin)(cossin)2sin cosxxxxxx cos2sin2xx 2sin 2 4 x 2 分 周期 2 2 T 3 分 由222,Z 242 kxkk 4 分 解得 3 ,Z 88 kxkk 5 分 所以，函数( )f x的单调递增区间为 3 , ,Z 88 kkk .6 分 （2）由方程( )0f xm在 0, 2 上有两个不同的实数解 理科数学试题 第 10 页 （共 4 页） 可得( )mf x在 0, 2 上有两个不同的实数解 即函数ym与函数 ( ),0 2 yf xx的图象有两个交点 8 分 令 2 4 tx，则 5
16、44 t 即函数ym与函数( )2sing tt， 5 44 t 的图象有两个交点 函数( )yg t在 , 4 2 上单调递增，在 5 , 24 上单调递减，草图如下 且 5 ( )2, ( )1, ()1 244 ggg 10 分 故12m. 12 分 19.【解析】 （1）. 9, 6 32 aa 2 分 猜想：,3nan 3 分 证明：由已知可得 ),3(2) 1( 3 1 nana nn ,) 1( 323 1 nana nn 理科数学试题 第 11 页 （共 4 页） . 21 32(3)aa .3, 3 1 naa n 6 分. （2）,. 33 1 1nn n na ）得由（
17、7 分 . 33 1 . 3 3 3 2 3 1 132nn n nn S . 33 1 . 3 3 3 2 3 1 3 1 1432 nn n nn S 8 分 - 可得, 33 1 . 3 1 3 1 3 2 12 nn n n S 10 分 nn n n S 3234 1 4 3 1 12 分 20.【解析】 （1）解法一： ABC中，由 sin2sinAC ab 及正弦定理得， 2sincossin sinsin AAC AB . 2cossinsinABC 2 分 又 sinsin()CAB， 2cossinsin()ABAB ，进而sin()0AB， AB，从而即得ABC为等腰三角
18、形. 5 分 解法二： ABC中，由 sin2sinAC ab 及正弦定理得， 2sincossinAAC ab ， 理科数学试题 第 12 页 （共 4 页） 进而 2 cosaAc ab . 2cos c A b . 2 分 由余弦定理， 222 2 2 bcac bcb ，化简得 22 ab，即ab. 所以，ABC为等腰三角形. 5 分 （2）由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC （2R为ABC的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sinaA bB cC， 2(sinsinsin)abcABC 7 分 由（1）知，AB且ABC， 4sin2sin2 , (0,
19、) 2 abcAAA 9 分 令 ( )4sin2sin2 , (0,) 2 f AAAA， 则 2 ( )4cos4cos24(2coscos1)4(2cos1)(cos1)fAAAAAAA， 易知，当 (0,) 3 A时，( )0fA ，( )f A为递增的； 当 (,) 3 2 A时，( )0fA ，( )f A为递减的. 11 分 所以，当 3 A时( )f A有最大值 2 ( )4sin2sin3 3 333 f， 理科数学试题 第 13 页 （共 4 页） 也即ABC周长的最大值为3 3. 12 分 21.【解析】 （1）由题意得，xm m my 12 4 11 2 分 xm39
20、x x x 3 1 12 9 4 分 x x 1 9 21， 所以x x y 1 9 21（aax 2 0，a为正实数） 5 分 （2）由（1）得x x y 1 9 21 1 9 122 x x， 7 分 易知20 x，函数递增，2x，函数递减 8 分 又0 2 aa，a为正实数，故1a 9 分 所以，当2 2 aa，即2a时，31x，2x时，函数取得最大值； 10 分 当2 2 aa，即21a时，aax 2 时，函数取得最大值 11 分 综上所述，当2a时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21a时，展销 费为 2 ()aa万元时，该花卉基地可以获得最大利润. 12 分 22.
21、【解析】 （1）解法一： 由题意， 2 1 ln ( )e, x x fxa x 1 分 (1)e 1, (1)e.fafa 2 分 理科数学试题 第 14 页 （共 4 页） 从而，曲线( )f x在点(1,(1)f处切线方程为 e( e1)(1)yaax ， 3 分 又该切线过点(2,1)，则有1ee 1aa， 4 分 解得0a. 5 分 解法二： 由题意， 2 1 ln ( )e, x x fxa x 1 分 (1)e 1, (1)e.fafa 2 分 由曲线( )f x在点(1,(1)f处切线过点(2,1)， 则有 (1) 1 e 1 12 f a ， 4 分 即1ee 1aa，解得0
22、a. 5 分 （2）解法一： 由题意， 2 ( )eln,(0) x g xxxx x ， 则 22 11 ( )(1)e1(1)(e) xx g xxx xx . 7 分 易知10 x ，记 2 1 ( )exh x x ，则可知( )h x在(0,)上递减， 且 1 (1)10 e h ， 1 (2)0 2 h ， 0 (1,2)x .使得 0 ()0h x. 9 分 从而，当 0 (0,)xx时( )0h x ，即( )0g x；当 0 (,)xx时( )0h x ，即( )0g x. 理科数学试题 第 15 页 （共 4 页） ( )g x在 0 (0,)x递增，在 0 (,)x 递减
23、. 10 分 由 0 ()0h x可得 0 2 0e 1 x x 及 00 ln+2xx ， 0 2 max0000 g( )()eln1212 x xg xxxx . (注：此处或者处理为“由 0 ()0h x可得 0 2 0e 1 x x ， max000 g( )()1 ln1 ln22ln2 12xg xxx ” ） 从而， ( )2g x . 12 分 解法二： 记 ( )ln1,0h xxxx，则 1 ( )1,h x x 6 分 易知，(0,1), ( )0;(1,), ( )0.xh xxh x时时 所以，在(0,1)递增，在(1,)递减，则( )(1)0h xh.7 分 从而
24、有 ( )ln10,ln1;h xxxxx (e )lnee10,e1. xxxx hx 9 分 由题意及上述结果， 22 5 ( )eln(2) 1(1)312 4 x g xxxxx xxxxx . 12 分 解法三： 由题意， 欲证 2 ( )eln2, x g xxxx ，只需证 2 ln2 ex xx xx . 6 分 ()hx 理科数学试题 第 16 页 （共 4 页） 记 ln ( ),0. xx m xx x 则 1 ln ( ), x m x x 从而易知( )m x在ex处有极大值也是最大值 1 1 e . 8 分 记 2 2 ( )e,0. x n xx x 则 2 2 2 ( )e, x n x x 易知( )n x在(0,)递增，且 11 (1)20,(2)10 e2 nn ， 因此 0(1,2), x 0 ()0n x，( )n x有最小值 0 ()n x. 而 0 21 2 0 0 221 ()ee1 2e x n x x 11 分 从而即证( )( )m xn x，也即 ( )2g x . 12 分
