1、 保密启用前 广东省 2021届高三综合能力测试 数学试卷 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答 案无效 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 第第I卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一
2、、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题意要求的符合题意要求的. 1.设集合 M = x|lx3, N = x|2 x4， 则 MN=( ) A. x|1x 2 B. x |2 x 3 C. x|3 x4 D. x |1x4 2. (i2)(l +2i)=( ) A. 4 3i B.5i C. 5i D. 4 + 3i 3. 已知 a= 5 5 ，b= 2 3 5 ，c = log2 3，则( ) A. abc B. acb C. cb a D. ba0）,C
3、1与 C2相交于 A,B两点，且|AB|=2 3， 则抛物线 C2的方程为（ ） A. y2 = 3x B. y2 = 2x C. y2 = 3 3x D. y2 = 8x 6. 一生产过程有 4道工序，每道工序需要安排一人操作，现从甲、乙、丙等 5 名工人中安排 4 人分别操作一道工序，甲无法操作第一道工序，乙只能操作第四道工序，则不同的安排 方案共有（ ） A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D.72 种 数学试卷第 1页共 4页 7.设 2 ( )1 21 x f x ，则/(x)的图像大致为( ) 8.球 O与棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1A1的各个面都相切，点
4、 M为棱 DD1的中点，则平面 AMC 截球 O所得截面的面积为( ) A. 3 B.2 3 C. D.4 3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 10.9.已知函数 f(x) = sin(3x)( 20,b0)满足条件：(1)焦点为 F1(-5,0),F2(5,0);(2)离心率为5 3， 求得双曲线 C 的方程为 f(x,y) = 0 .若
5、去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线 C 的方程仍 为 f(x,y)= 0，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为( ) A. 双曲线 C 上的任意点 P都满足|PF1|-|PF2|=6 B. 双曲线 C 的虚轴长为 4 C. 双曲线 C 的一个顶点与抛物线 y2=6x的焦点重合 D. 双曲线 C 的渐近线方程为 4x 3y =0 11.下表为森德拉姆(Sundaram, 1934)素数筛法矩阵，其特点是每行每列的数均成等差数列，下 面结论正确的是( ) 4 7 10 13 16 19 7 12 17 22 27 32 10 17 24 31 38 45 13 22 31 40 49 58
6、16 27 38 49 60 71 19 32 45 58 71 84 A. 第 3 行第 10列的数为 73 B. 第 2 行第 19列的数与第 6 行第 7列的数相等 C. 第 13 行中前 13 列的数之和为 2626 D. 200会出现在此矩阵中 数学试卷第 2 页共 4页 12. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态， 经抢修 排气扇恢复正常，排气 4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 64 ppm,继续排气 4 分钟后 又测得浓度为 32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y (ppm)与排气时间 Z (分钟)之间 存在函数关系 y=f(t)，其
7、中 y =f (t) f(t) =R (R为常数).若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5ppm 为 正常，人就可以安全进入车库了.则( ) A.R = 1 4 e B. ln2 4 R C.排气 12 分钟后，人可以安全进入车库 D.排气 32 分钟后，人可以安全进入车库 第第 II 卷卷(非选择题共非选择题共 90 分分) 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，分， 13. 曲线 y = ln(2x + l)在点(0,0)处的切线方程为 . 14. 长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB = BC = 2，AC1与 B1C 所成角的正
8、切值为 2，则该长方体 的体积为 . 15.已知向量 a，b 满足|a-b|=2且 0a b1，则|a + b|的取值范围是 ，|3a +b|的最大值是 . 16. 甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为1 2，甲队 有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的 概率降为1 4.若核心球员在每局比赛受伤的概率为 1 2，则甲队获得冠军的概率为 . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) 在a = 2 3
9、, sinB = 2sinC ,bsinB=8这三个条件中任选两个 ，补充在下面问题中，若 问题中的三角形存在，求三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC,它的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b，c，且 bsin2A=asinB , ， ? 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 18. （12 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为 16,12,20, E，F分别为 A1C,BC的中点. (1) 求证：平面 ABE 丄平面 BB1C1C ； (2) 求证：C1F / / 平
10、面 ABE. B 数学试卷第 3页共 4 页 19. (12 分) 在数列an,bn中，已知数列an的前 n项和 Sn满足 2Sn=anbnl(nN*). (1) 若 bn=n + 2f求证：数列 1 n a n 是常数列，并求数列an的通项公式; (2) 若 an=2n,求数列bn的前 n 项和 Tn. 20. (12 分) 随着智能手机的普及， 手机计步软件迅速流行开来， 这类软件能自动记载用户每日健步的 步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了 2000 人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位：千步，假设每天健步的步数均在 3 千步至 2
11、1千步之间).将样本数据分成3,5),5,7),7,9)，9，11)，11，13)，13，15), 15,17),17，19)，19,21九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率 分布估计总体的频率分布. (1) 求图中 a的值； (2) 设该企业正常上班的员工健步步数(单位：千步) 近似服从正态分布 N(,2),其中近似为样本的平均数(各 区间数据用中点值近似计算)，取 = 3.64,若该企业恰有 10 万人正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数 Z位 于区间4.88,15.8范围内的人数； (3) 现从该企业员工中随机抽取 20 人，其中有 A名 员工的日健步步数在13千步
12、至15千步内的概率为P(X = k), 其中 k=0，1，2,.，20，当 P(X = k)最大时，求 k的值. 参考数据：若随机变量服从正态分布 N(,2),则 频率 P( +)0.6827，P(2 +2) 0.9545，P(3 +3)0.9973 . 21. (12 分) 已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2,椭圆 C 上的点到焦点的距离的 最大值为 3. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设点 A,F分别为椭圆 C 的左顶点、右焦点，过点 F的直线交椭圆 C 于点 P,Q，直线 AP.AQ 分别与直线 l:x = 3交于点 M,N ,求证：直线 FM 和直线 FN 的斜率之积为定值. 22. (12 分) 已知函数 f(x) = exax3. (1) 若 3 e 27 a ,判断函数 f(x)有几个零点，并说明理由； (2) 当 x0，f(x)1 6x 4 +1 2x 2 +1恒成立，求实数 a 的取值范围. 数学试卷第 4页共 4页
